완전 이론

수학 논리학에서 이론의 언어에 있는 모든 닫힌 공식에 대해 그 공식이나^{[clarification needed]} 부정이 입증할 수 있다면 이론은 완전하다.궤델의 첫 불완전성 정리에서 증명되었듯이 일반적인 수학 추리가 공식화될 수 있을 만큼 일관되고 풍부한 재귀적으로 공리화할 수 있는 1차 이론은 완성될 수 없다.null

이 완전한 감각은 논리에 공식화될 수 있는 모든 이론에 대해 모든 의미론적으로 유효한 진술이 (적절한 의미에서) 증명 가능한 이론이라고 주장하는 완전한 논리의 개념과는 구별된다.괴델의 완전성 정리는 이런 후자의 완전성에 관한 것이다.null

완전한 이론은 T-schema를 내부적으로 모델링하는 여러 조건에서 종결된다.

• 공식 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 경우$:$ $A{\displaystyle }$ ∈ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle$ $A$$\in$ S$}$ 및$$$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\$displaystyle $B$$\$$in$ S}인$경우에만,$A only B ${\displaystyle \wedge }$ B ∧ S {\$displaystyle B$$\in$ S$},$
• 공식 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 경우$:$ $A{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle A\in$ S$}$ 또는$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B\in S}$인 $경우$에만 해당된다$.$

최대 일관 집합은 고전적 논리학과 모달 논리학의 모델 이론의 기본 도구다.주어진 경우에 그들의 존재는 대개 조른의 보조정리 결과로서, 모순은 미세하게 많은 전제만을 사용하는 것을 수반한다는 생각에 근거한다.모달 로직의 경우 이론 T(필수 규칙으로 닫힘)를 확장하는 최대 일치 집합의 집합에 표준 모델이라 불리는 T 모델의 구조를 부여할 수 있다.null

예

완전한 이론의 몇 가지 예는 다음과 같다.

• 프레스버거 산술
• 타르스키의 유클리드 기하학 공리
• 끝점이 없는 밀도 선형 순서 이론
• 주어진 특성의 대수적으로 닫힌 장에 대한 이론
• 진짜 폐쇄된 분야의 이론
• 셀 수 없는 모든 범주형 이론
• 모든 셀 수 있는 범주형 이론
• 3개의 원소로 이루어진 그룹

참고 항목

• 린덴바움 보조정리
• 우와우트-보우트

참조

• Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic (Fourth ed.). Chapman & Hall. p. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.