촘촘한 스판

미터법 기하학에서 미터법 공간 M의 미터법 봉투 또는 좁은 범위는 M을 삽입할 수 있는 주입 미터법 공간이다.어떤 의미에서 그것은 유클리드 공간에 설정된 점의 볼록한 선체와 유사하게 M의 점들 사이의 모든 점들로 구성된다.촘촘한 스팬은 M의 주입 봉투나 하이퍼콘벡스 선체라고도 한다.주입형 선체라고도 불렸으나 대수학에서는 모듈의 주입형 선체와 혼동해서는 안 되며, 미터법 공간보다는 R-모듈의설명이 유사한 개념이다 관련된 범주에.

빡빡한 스팬은 이스벨(1964)에 의해 처음 설명되었고, 1960년대 홀츠티슈스키에 의해 연구되고 적용되었다.그것은 후에 드레스(1984)와 크로박 & 라모어(1994)에 의해 독자적으로 재발견되었다; 이 역사는 체포이(1997)를 참조하라.빡빡한 스팬은 T 이론의 중심 구조 중 하나이다.

정의

유한한 미터법 공간의 좁은 범위는 다음과 같이 정의할 수 있다.(X,d)는 X가 유한한 미터법 공간이고, T(X)는 X에서 R까지의 함수 집합이 되도록 한다.

1. 모든 x, y in X, f(x) + f(y) ≥ d(x,y) 및
2. X의 각 X에 대해, X에는 y가 존재하며, 이러한 y는 f(x) + f(y) = d(x,y)이다.

특히 (위 속성 1에서 x = y를 취함) f(x) ≥ 0 모든 x에 대해. 위의 첫 번째 요건을 해석하는 한 가지 방법은 f가 (X,d)의 거리와 함께 삼각형 불평등을 만족시켜야 하는 X의 점까지의 가능한 거리 집합을 정의하는 것이다.두 번째 요건은 이러한 거리들 중 어느 것도 삼각형 불평등을 위반하지 않고는 줄일 수 없다고 명시하고 있다.

T(X)에서 f와 g의 두 함수를 고려할 때, Δ(f,g) = max f(x)-g(x)를 정의한다; 만약 T(X)를 벡터 ^X 공간 R의 하위 집합으로 본다면, 이것은 벡터 사이의 일반적인 L 거리다_∞.X의 좁은 범위는 미터법 공간(T(X), Δ이다.x를 f_x(y) = d(x,y) = d(x,y) 함수에 매핑하여 X를 촘촘한 스팬에 등축으로 내장하는 것이 있다.X의 어떤 두 점 사이의 거리가 좁은 범위에서 해당하는 점 사이의 거리와 같다는 것을 보여주기 위해 X의 삼각 불평등을 이용한 Δ의 정의를 확장하는 것은 간단하다.

위의 정의는 치수 n의 공간에 n개의 점 세트의 좁은 범위를 포함시킨다.그러나 Develin(2006)은 측정지표에 대한 적절한 일반적 위치 가정으로, 이 정의가 n/3과 n/2 사이의 치수를 갖는 공간으로 이어진다는 것을 보여주었다.드벨린&스터름펠스(2004)는 각 지점에서 서로 거리 벡터의 열대 볼록한 선체가 공간의 다른 지점을 가리키기 때문에 유한한 미터 공간의 좁은 범위에 대한 대체 정의를 제공하려고 시도했다.그러나 같은 해 말 에라툼 드벨린 & 스터름펠스(2004a)에서 열대 볼록 선체에 항상 팽팽한 스팬이 들어 있지만, 그것과 일치하지 않을 수도 있다고 인정했다.

일반(그리고 무한한 유한)미터 공간은 이날 삼엄한 스판은 정의에서 f())그 inf을 위에 속성 2을 수정한 버전을 사용하여 정의할 수 있는+f(y)-d(x, y))0.[1] 대안적인 정의에 기반을 두라는 개념에 대한 계량 공간 목표를 그것의 부분 공간이었다 설명한 Holsztyński(1968년)는 것이injective 봉투이다. 의바나흐 공간의 범주에서 바나흐 공간은 좁은 범위와 일치한다(선형 구조를 잊어버린 후).이 정리는 임의의 바나흐 공간으로부터 X가 콤팩트한 공간인 C(X) 형식의 바나흐 공간까지 일정한 문제를 줄일 수 있게 한다.

예

그림은 평면에서 16개의 점으로 구성된 X를 보여준다; 이 점들로부터 유한한 미터 공간을 형성하기 위해 우리는 맨해튼 거리(L₁ 미터)를 사용한다.^[2]그림에 표시된 파란색 영역은 직교 볼록 선체로, z를 정점으로 하는 4개의 닫힌 사분면에 각각 X의 점을 포함하도록 z 지점의 집합이다.그러한 점 z는 좁은 범위의 점에 해당한다. 점 z에 해당하는 함수 f(x)는 f(x) = d(z,x)이다.이 형식의 함수는 맨하탄 미터법에 대한 삼각형 불평등에 의해 맨하탄 미터 평면의 어떤 z에 대해서도 좁은 범위의 속성 1을 만족시킨다.팽팽한 스팬의 속성 2를 표시하려면 X에서 특정 지점 X를 고려하십시오. f(x)+f(y)=d(x,y)와 같은 X에서 y를 찾아야 한다.그러나 x가 z를 정점으로 하는 사분면 중 하나에 있다면 y는 반대 사분면의 어떤 점으로 간주될 수 있으므로 속성 2도 만족한다.반대로 좁은 범위의 모든 지점은 이러한 지점의 직교 볼록 선체의 한 지점에 이러한 방식으로 대응한다는 것을 알 수 있다.그러나, 더 높은 치수의 맨해튼 지표를 가진 점 세트와 직교 선체가 분리된 평면 점 세트의 경우, 팽팽한 스팬은 직교 볼록 선체와 다르다.

적용들

• 드레스, Huber & Moulton(2001)은 생물학적 데이터에서 진화 나무를 재구성할 때 좁은 범위의 적용을 설명한다.
• 좁은 범위는 K-server 문제에 대한 몇 가지 온라인 알고리즘의 역할을 한다.^[3]
• 스터름펠스&유(2004)는 빡빡한 스팬을 이용해 최대 6점까지 메트릭스 공간을 분류한다.
• Chepoi(1997)는 절삭 측정지표를 보다 일반적인 유한 측정지표로 포장하는 결과를 입증하기 위해 엄격한 범위를 사용한다.

메모들

참조

참고 항목

• Kuratowski 임베딩, Banach 공간에 모든 메트릭스 공간을 포함, 좁은 범위와 유사하게 정의됨

외부 링크

• Joswig, Michael, Tight spans.