공차관계

보편 대수학과 격자 이론에서 대수적 구조에 대한 공차 관계는 구조의 모든 연산과 양립할 수 있는 반사 대칭 관계입니다.따라서 허용 오차는 하나의 합동과 같습니다. 단, 전이성의 가정이 떨어졌다는 것을 제외하면 말입니다.^[1]집합에서, 연산군이 비어 있는 대수적 구조에서, 공차 관계는 단순히 반사 대칭 관계입니다.공차 관계를 갖는 집합을 공차 공간이라고 설명할 수 있습니다.^[2]관용 관계는 무차별성/차별성 현상을 연구하는 데 편리한 일반적인 도구를 제공합니다.수학에 대한 중요성은 푸앵카레에 의해 처음으로 인식되었습니다.^[3]

정의들

대수 구조 (A$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ (A$,F)}$ 의 공차 관계는 일반적으로 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 의 모든 연산과 호환되는$$ A ${\displaystyle A}$ 의 반사 대칭 관계로 정의됩니다$.$ 공차 관계는 특정 조건을 만족하는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 의 덮개로도 볼 수 있습니다.고정 대수 구조의 경우 두 정의의 공차 관계가 일대일 대응 관계에 있기 때문에 두 정의는 동등합니다.대수적 구조$({\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F)}$ ${\displaystyle(A,F)}$의 공차 관계는 포함 하에 대수 격자 ${\displaystyle \mathrm{톨러}}$⁡${\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle$ {$Tolr}(A)}$를 형성합니다.모든 합동 관계는 공차 관계이므로 합동 격자 ${\displaystyle \mathrm{Cong}}$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cong}(A)}$은 공차 격자 ${\displaystyle \mathrm{Toler}}$ ⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Toler}(A)}$의 부분 집합이지만$,$ ${\displaystyle \mathrm{Cong}}$ ⁡${\displaystyle (A)}${\$displaystyle \operatorname {Cong}(A)$은 반드시 ${\displaystyle \mathrm{Toler}}$ ⁡${\displaystyle (A)}${\$displaystyle$}의 부분 격자일 필요는 없습니다.$\operatorname {Tolr}(A$^[4]

이항관계로

대수 구조$({\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F)}$ ${\displaystyle(A,F)}$의 공차 관계는 다음 조건을 만족시키는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$sim$$}$의 이진 관계입니다$.$

• (Reflexibility) $a{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ ∈ ${\displaystyle A}$에 대한 ${\displaystyle a\sima}$ ${\displaystyle a\in A}$
• (대칭) $a{\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\simb}$이면 $b$ ~${\displaystyle }$$a$ ${\displaystyle b\sima$},${\displaystyle b}$$$∈ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a,b\in A}$
• (호환성) - $각$ n$${\$displaystyle$ n$}$ -ary 연산 ${\displaystyle f}$ ∈ F ${\displaystyle$f\in $F}$ 및 $a$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}\dots ,}$ ${\displaystyle b_{}}$ n ∈ ${\displaystyle A}${\$displaystyle$ $a_$${1},\$dots$,a_$${n$$},b_{1},\$dots$,b_{n}\in$ A$\},$ ${\displaystyle {만약}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$i ~$$$b$ i ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ a_{i}\sim ${\displaystyle {b\_}_{}}$${i},$ …,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i$=$1,\$dots$,n}$ 다음 f (a${\displaystyle }$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle a_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$~ f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle b_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ f ($a)$$_{1},\dots,a_{n})\simf$즉, 집합 $\{({\displaystyle a}$$,$ ${\displaystyle b}$) :${\displaystyle a}$~ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{(a,b)\colon a\sim b\}}$는 두 $개$의$$A {\$displaystyle$A}의$$ 직하곱 ${\displaystyle {A2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 하위 대수인 것을 특징으로 하는 방법.

합동 관계는 경과적인 공차 관계입니다.

커버로

대수적 구조$({\displaystyle A,F)}${\$displaystyle(A,F)}$에 대한 공차 관계는 다음 세 조건을 만족하는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 C${\mathcal {C}}$ 커버입니다.^{[5]: 307, Theorem 3}

• ${\displaystyle 모든}$ $C$ ∈ C ${\displaystyle C\in {\$$mathcal {C$$}}$ 및 ${\displaystyle S}$ ⊆ C ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}$에 대해$,$ 만약 $C$가 ${\displaystyle S}$를$$⊆ ⋃한다면$,$ ${\displaystyle S}$ ⊆ C ${\displaystyle \textstyle$$C\subseteq$\$bigcup {\$$mathcal {S$$}}\subseteq C를$⋂합니다$.$
  • 특히 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 서로 다른 두 요소는 비교할 수 없습니다$$.(이를 보려면 $S$ = ${\displaystyle \{D\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S$}}=\{$D\}$를 사용합니다.)
• 모든 $S$ ⊆ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S\subseteq A}$에 대해$$$S$ ${\$$displaystyle$ $S}$가 C ${\$$mathcal$ ${C}}$의 어떤 집합에도 포함되지 않으면$${${\displaystyle s,}$${\displaystyle t}$}$$⊆ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{s,$${\displaystyle t}$$\}\$$displaystyle \{s,t\}\$$subseteq S}$이($)$C {\displaystyle {\mathcal ${C}$의 어떤 집합에도 포함되지 않도록 합니다$.$
• ${\displaystyle n}$ $-ary$ $f$ ∈ F ${\displaystyle f\in F}$ 및 C ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\mathcal {C}}$에 ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle C_{1},\dots,$${\displaystyle {}_{}}$${n}\$${\displaystyle n_{}}$displaystyle C_{1${\displaystyle \},\{\backslash }$mathcal {C}에${\displaystyle 대해}$ C {\$displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots,C_{n})\n{\mathcal {C}$에 대해 $\{{\displaystyle f}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) :${\displaystyle }$c ${\displaystyle i_{}}$ ∈ C ${\displaystyle i_{}}$ ⊆${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$/${\displaystyle }$~${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( C ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,C_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \f(c_{1})$$,\dots,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim})$ ($C_{1},\dots,C_{n}).$(이러한 $({\displaystyle f}$/${\displaystyle }$~${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle {C1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,{Cn}_{}}$ ${\displaystyle (f/{\sim})$ ($C_{1},\dots,C_{n}}$는 유일할 필요가 없습니다$$.)

$A$의$$모든 $파티션$ {\$displaystyle$A}은(는) 처음 두 조건을 충족하지만$$ 반대는 아닙니다.합동 관계는 집합 파티션을 구성하는 공차 관계입니다.

두 정의의 동등성

$~{\displaystyle \sim }$을$($를${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{대수적}}$ 구조 $,$ F) {\$displaystyle$ (A, F$)}$의 공차$$이항 ${\displaystyle \mathrm{관계}}$라고${\displaystyle }$하자${\displaystyle .}$$$A / ~ {\$displaystyle$$A/{\sim$ }를 $최대$ 부분 집합 C ⊆$$ {\$displaystyle$ c$\sim$d}, ${\displaystyle d}$∈ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$의 계열이라 하자$.$ 그래프 이론 항을 $사용$하여 A${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\d$$isplaystyle A/{\sim}}$은 그래프$({\displaystyle A}$,${\displaystyle }$~${\displaystyle }$) ${\displaystyle(A,\sim)}$의 모든 최대 클리크의 집합입니다$.$ ~${\displaystyle \sim$}이$($가) 합동 관계라면 $A{\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\$은 동치 클래스의 몫 집합입니다.그러면 $A{\displaystyle }$ /${\displaystyle }$~ ${\$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 커버이며 커버$$ 정의의 세 조건을 모두 만족합니다.(마지막 조건은 존의 보조자를 사용하여 보여줍니다.)반대로, $C$ ${\displaystyle {\$$mathcal {$$C}}$을(를$)$ A {\$displaystyle$ A$}$의 $덮개$라고 하고$,$C {\$displaystyle {\mathcal$ {C$}}$이($가$$)$ A {\displaystyle $A}$에 대한 허용 오차를$$형성한다고 가정합니다$.$ A {\displaystyle$$$A}$에서$C$ {\$displaystyle$ \$sim$$_${\mathcal {$C}}을($를) 생각해 보십시오. a${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle b}$인 경우에만 C가 ${\displaystyle C}$를 ∈합니다.${\displaystyle }$${\displaystyle 일부}$$$$C$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}$에 대한 ${\displaystyle a,b\in C}$입니다$.$ 그러면$$~ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}$은(는) $A${\$displaystyle A}$의 허용 오차를 이항 관계로 나타냅니다.맵 ~$$↦ ${\displaystyle A}$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {\sim}\maps to$ A$/{\sim}}$은(는) $이진$ 관계로서의 공차와 C ↦ ~${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}\maps$ to ${\sim _{\mathcal$ {$C}}\$maps to {\mathcal {C}}입니다$.$따라서 두 정의는 동일합니다.허용 오차가 덮개로 분할된 경우에만 이항 관계로 경과적입니다.따라서 합동 관계의 두 가지 특징 또한 일치합니다.

허용 오차 관계에 대한 몫대수

$({\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F)}$ ${\displaystyle (A,F)}$을 대수 구조라 하고 $~{\displaystyle \sim$}을$($를) $A$ ${\displaystyle$ A$}$의 허용 오차 관계라 하자$.$ 각 ${\displaystyle n}$ -ary $연산$ f ∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F}$ 및 C ${\displaystyle 1_{}}$에 대해${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ C ${\displaystyle n_{}}$ ∈ ${\displaystyle A}$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle C_{1},\dots, C_{n}\in A/{\sim}}$에 고유 $($${\displaystyle f}$/${\displaystyle }$~${\displaystyle }$) (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ n)이 있다고 하자.${\displaystyle {}_{})}$ ${\displaystyle A}$ /${\displaystyle }$~ ${\displaystyle(f/{\sim})(C_{1},\dots,C_{n})\in$ A$/{\sim}}$를 ${\displaystyle \in }$합니다.

${\displaystyle \{f(c_{1},\dots,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim})(C_{1},\dots,C_{n})}$

그렇다면 이것은 몫대수의 자연스러운 정의를 제공합니다.

${\displaystyle(A/{\sim},F/{\sim})}$

~${\displaystyle \sim }$ 위의${\displaystyle }$($,F) {\displaystyle$(A,F$)\}.$ 합동 관계의 경우, 유일성 조건은 항상 참이고 여기서 정의된 몫 대수는 일반 대수와 일치합니다.

합동 관계와의 주요한 차이점은 공차 관계에 대해 고유성 조건이 실패할 수 있고, 실패하더라도 몫대수는${\displaystyle }$(${\displaystyle A,F)}$ ${\displaystyle (A,F)}$가 속한$$ 변이체를 정의하는 항등식을 상속하지 않을 수 있으므로 몫대수는 다시 변이체의 일원이 되지 못할 수 있습니다.따라서 대수적 구조의 다양한 $V{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대해 다음 두 조건을 고려할 수 있습니다.^[4]

• (허용률 인수분해성) {\mathcal ${V}}$의 모든$$(${\displaystyle A}$${\displaystyle ,F)}$ ∈ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle(A,F)\in {\mathcal$ {V} 및 (A$,F) {\displaystyle$$\sim }$에 대한 허용률 인수분해성입니다$.$ 고유성 조건이 참이므로 몫 대수$({\displaystyle A}$/ ${\displaystyle ~,F/}$~ )$${\$displaystyle(A/{\sim },F/{\sim })}$이(가)
• (강한 공차 인수분해성) $\{\backslash$mathcal ${V}}$에서 ($)$ V ${\displaystyle$ ($A$$,$$F)\$in ${\mathcal$ {V}} 및 (${\displaystyle$$\sim }$∈에 대한 V {\displaystyle ($A,F)}$에 대해 고유 조건이$$참이고$$(${\displaystyle A}$/${\displaystyle ~,F/}$~ ) {\$mathcal${$V}}$에서 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })\in$ {\mathcal {V}.

모든 강한 허용 오차 요인 유형은 허용 오차 요인을 갖지만 그 반대는 아닙니다.

예

놓다

집합은 연산이 전혀 없는 대수적 구조입니다.이 경우 공차 관계는 단순히 반사 대칭 관계이며 집합의 다양성이 공차 계수를 강하게 갖는다는 것은 사소한 일입니다.

무리

그룹에서 모든 공차 관계는 합동 관계입니다.특히, 이것은 링, 벡터 공간, 모듈, 부울대수 등과 같이 그들의 연산 중 일부가 잊어졌을 때 그룹인 모든 대수 구조에 적용됩니다.^{[6]: 261–262} 따라서 그룹, 링, 벡터 공간, 모듈 및 부울 대수의 다양성 또한 매우 작은 허용 오차를 가질 수 있습니다.

격자

격자 $L$ ${\displaystyle L}$의 공차 관계$$~ ${\displaystyle \sim }$에 대하여$$$L$ /${\displaystyle }$~$${\$displaystyle$ L$/{\sim$}}의 모든 $집합$은$$L {\$displaystyle$L}의 볼록한 부분 격자입니다$.$ $따라서$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$A ∈${\displaystyle }$L /$$~ {\$displaystyle A\in$ L$/{\sim$에 대하여 다음과 같습니다.

${\displaystyle A=\mathop {\uparrow} A\cap \mathop {\downarrow} A}$

특히 다음과 같은 결과가 있습니다.

• ${\displaystyle }$$a$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\simb}$인 $경$${\displaystyle 우}$에만 ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{b\; ~\; w}}$edge b {\$displaystyle a\ve$ b$s$${\displaystyle i}$$ma\∨$ b}.
• $a{\displaystyle }$ ~${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\simb}$이고 $a{\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{c이면}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \le }$ b ${\displaystyle a\leq$ c$,d\leq b},$$c{\displaystyle }$~ d ${\displaystyle$ c$\simd}$입니다$.$

격자의 다양성은 강한 허용 오차 요인입니다.즉, 임의의 격자$({\displaystyle L_{},}$ ∨ ${\displaystyle L_{}{}_{}{}_{}}$∧ L) {\$displaystyle$ ($L,\$vee _${L$},\$wedge$ _${L})}$와 L {\$displaystyle$$\sim$ $}$의 임의의 공차 관계가 주어졌을 때$,$ $각$ A에 대하여${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ∈ ${\displaystyle L}$/${\displaystyle }$~$$${\$$displaystyle A,B\in$ L$/{\sim }$의 고유한 $A$ ∨ ${\displaystyle L_{}}$/${\displaystyle {}_{}}$~${\displaystyle B_{}}$∈ ${\displaystyle L}$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle A\ve _{L/{\sim }},$$A\wedge _{L/{\sim}}B$$\in$ L$/{\sim}}:$

${\displaystyle \{a\vee _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee _{L/{\sim}}B}$

${\displaystyle \{a\wedge _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge _{L/{\sim}}B}$

그리고 몫대수

${\displaystyle(L/{\sim}},\vee _{L/{\sim}},\wedge _{L/{\sim}})}$

다시 격자입니다.^{[7][8][9]: 44, Theorem 22}

특히, 우리는 공차 관계에 대한 분배 격자와 모듈형 격자의 몫 격자를 형성할 수 있습니다.그러나 합동 관계의 경우와 달리 몫 격자는 다시 분산 또는 모듈형일 필요가 없습니다.즉, 분포 격자와 모듈형 격자의 다양성은 공차 요인이지만 강한 공차 요인은 아닙니다.^{[7]: 40 [4]}실제로, 다양한 격자들의 모든 하위 변수들은 허용 오차 계수이고, 그 자체를 제외한 유일한 강력한 허용 오차 계수 하위 변수는 사소한 하위 변수(단일 요소 격자로 구성됨)입니다.^{[7]: 40} 이것은 모든 격자가 2요소 격자의 직접적인 곱의 하위 격자의 공차 관계에 대한 몫 격자의 하위 격자와 동형이기 때문입니다.^{[7]: 40, Theorem 3}

참고 항목

• 종속관계
• 준전이적 관계 - 사회적 선택 이론에서 무관심을 공식화하기 위한 일반화
• 러프세트

참고문헌

추가열람

• Gerasin, S. N., Shlyakhov, V. V. 그리고 Yakovlev, S. V. 2008.피복과 공차 관계를 설정합니다.사이버네틱스와 시스템.제44호, 제3호(2008년 5월), 333-340. 도이:10.1007/s10559-008-9007-y
• Hryniewecki, K. 1991, 관용의 관계, 공식화된 수학, Vol. 2, No. 1, 1991년 1월-2월.