위상학적 복잡성

수학에서 위상학적 공간 X(TC(X)로도 표기됨)의 위상학적 복잡성은 2003년 마이클 파버가 도입한 운동 계획 문제와^{[further explanation needed]} 밀접하게 연관된 위상학적 불변성이다.

정의

X는 위상학적 공간이고 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$= {${\displaystyle \gamma }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle PX=\{\gamma$ : $[0,1]\,\to \,X\}$은 X의 모든 연속 경로의 공간이다$$.${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle }$) =${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle }$,$$${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle }$1${\displaystyle }$)${\displaystyle$ $\pi$:PX$\to \,X\times$ X$}$을(를) π으로 정의한다$.$π : P ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle X}$ x \$pi$ :${\displaystyle }$($0),\gamma (1).$위상학적 복잡성은 다음과 같은 최소 숫자 k이다.

• $개방형{\displaystyle }$ ${\displaystyle {커버}_{}}$ {${\displaystyle \mathrm{Ui}}$} i = 1k {\$displaystyle$ $\{U_{i}\}_{i=1}^{k}}$ X ${\displaystyle \times }$ X {\$displaystyle X\times X$
• 각 ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ k ${\displaystyle$ i$=1,\ldots,k$에 대해 로컬 섹션 ${\displaystyle s_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle U{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$→ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle s_{i}\,$$U_{i}\to \,PX.$$}$

예

• 위상학적 복잡성: TC(X) = X가 수축 가능한 경우에만 1이다.
• 구체 ${\displaystyle {Sn}^{}}$ ${\$의 위상학적 복잡성은 n 홀수의 경우 2이고 n의 경우 3이다$$.예를 들어, 원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1}$의 경우$,$ 두 점 사이의 경로가 고유한 경우 점 사이의 지오데틱이 되도록 정의할 수 있다.어떤 쌍의 항정신병 포인트도 시계 반대 방향으로 연결될 수 있다.
• $F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle$ F$(\mathb {R} ^{m},n)$가 유클리드 m-공간에서 n개의 구별되는 점의 구성 공간인 경우

${\displaystyle TC(F(\mathb {R} ^{m,n))={\cHB{case}2n-1&\matrm {for\,\,{\it {m}\,\,\\m}\\2n-2&\matrm {for\, {\it {m}\,\, even, even.} \end{case}}}$

• 클라인 병의 위상학적 복잡성은 5이다.^[1]

참조

• Farber, M. (2003). "Topological complexity of motion planning". Discrete & Computational Geometry. Vol. 29, no. 2. pp. 211–221.
• 아르민도 코스타:구성공간의 위상학적 복잡성, 박사학위논문, Durham University