완전경계공간

수학의 위상 및 관련 분기에서 총경계성은 집합이 반드시 닫히지 않는 상황에 대한 콤팩트함의 일반화다.완전히 경계된 세트는 고정된 모든 "크기"의 하위 집합에 의해 엄밀하게 커버될 수 있다. (여기서 "크기"의 의미는 주변 공간의 구조에 따라 달라진다.)

프리콤팩트(또는 프리콤팩트)라는 용어는 같은 의미로 쓰이기도 하지만, 프리콤팩트(precompact)는 비교적 콤팩트하다는 뜻으로도 쓰인다.이러한 정의는 전체 메트릭 공간의 하위 집합에 대해 일치하지만 일반적으로 일치하지는 않는다.

미터법 공간

미터법 공간$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\디스플레이$ 스타일$(M,d)}$은(는) ${\디스플레이$ 스타일 $\varepsilon >0}$의 모든 실수에 대해 조합이 M을 포함하는$$ 반경 $radius{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\varepsilon }$의 M에 유한한 오픈 볼 컬렉션이 존재하는 경우에만 완전히 경계된다.동등하게, 미터법 공간 M은 그리고 만약 매 > 0 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 표지의 각 요소의 반경이 최대 $most{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon$}인 경우에 한하여 완전히 경계된다$.$ 이것은 유한한 ε-net의 존재와 동등하다.^[1]미터법 공간은 모든 시퀀스가 카우치 부분군을 허용하는 경우 카우치 프리콤팩트라고 하며, 완전한 미터법 공간에서는 세트가 완전히 경계된 경우에만 카우치 프리콤팩트라고 한다.^[2]

완전히 경계된 각 공간은 경계로 되어 있다(정확하게 많은 경계 세트의 조합이 경계로 되어 있기 때문에).그 반대는 유클리드 공간의 하위 집합(하위 공간 위상 포함)에 대해서는 해당되지만 일반적으로는 해당되지 않는다.예를 들어, 이산형 메트릭이 장착된 무한 집합은 경계되지만 완전히 경계되지는 않는다.^[3]

균일(토폴로지) 공간

측정기준은 유한한 커버의 각 요소가 비교 가능한 크기임을 보장하기 위해서만 전체 경계도의 정의에 나타나며, 균일한 구조로 약화될 수 있다.균일한 공간 X의 부분집합 S는, 어떤 수행자 E에 대해서, 카르테시안 사각형이 E의 부분집합인 각각의 X의 부분집합에 의한 S의 유한 표지가 존재하는 경우에만 완전히 경계된다(즉, E는 "크기" ε를 대체하고, 부분집합은 그 카테시안 사각형이 E의 부분집합인 경우 E의 부분집합)^[2]

이 정의는 콤팩트한 공간과 카우치 완료라는 개념을 가진 공간의 어떤 범주로도 확장될 수 있다: 공간은 그것의 (카우치) 완료가 콤팩트한 경우에만 완전히 경계된다.

예제 및 기본 속성

• 모든 콤팩트 세트는 개념이 정의될 때마다 완전히 경계된다.
• 모든 완전 경계선 집합은 경계선이다.
• 실제 선의 부분집합,^[4][3] 또는 보다 일반적으로 유한 차원 유클리드 공간의 부분집합은 경계가 있는 경우에만 완전히 경계된다.
• 힐버트 공간의 단위 공, 또는 보다 일반적으로 바나흐 공간의 단위 공은 공간이 유한한 치수를 갖는 경우에만 완전히 경계(표준 위상)된다.
• 콤팩트 세트의 등거리 경계 함수는 균일한 위상에서 사전 컴팩트하다. 이것이 아르젤라-아스콜리 정리다.
• 미터법 공간은 완전히 경계된 미터법 공간에 대해 동형인 경우에만 분리가 가능하다.^[3]
• 완전히 경계된 부분집합의 폐쇄는 다시 완전히 경계되었다.^[5]

콤팩트 세트와의 비교

미터법 공간에서 세트는 완전하고 완전한 경계가 있는 경우에만 압축되며,^[4] 선택 공리가 없으면 전진 방향만 유지된다.프리콤팩트 세트는 콤팩트 세트와 많은 속성을 공유한다.

• 콤팩트 세트와 마찬가지로, 완전히 경계된 세트의 유한 결합은 완전히 경계된다.
• 콤팩트 세트와는 달리, 완전히 경계된 세트의 모든 부분 집합은 다시 완전히 경계된다.
• 콤팩트 세트의 연속 이미지는 콤팩트하다.사전 컴팩트 세트의 균일 연속 영상이 사전 컴팩트하다.

위상학 그룹에서

총 경계성의 개념은 미터법 공간과 밀접하게 연관되어 있지만 위상학 집단의 더 큰 대수학적 구조는 어떤 분리 특성을 교환할 수 있게 해준다.예를 들어, 미터법 공간에서 세트는 완전하고 완전한 경계가 있는 경우에만 소형이다.아래 정의에 따르면 위상학적 벡터 공간(Hausdorff 또는 완전하지는 않아도 됨)에 대해서도 동일하다.^[5][6][7]

정의의 일반적인 논리 형식: 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$이(가) $완전히{\displaystyle }$ 경계되는$$ 경우, $크기{\displaystyle }$ E,${\displaystyle }$${\$$displaystyle E}$에 S ${\$$displaystyle S}$의 각 요소가 최대 $E{\displaystyle .}$ ${\pdis$}의 크기를 갖도록$$ 제한된$$ 커버가 존재하는 경우에만 해당된다.$레이스타일 E.}$ $X$${\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 자체의 하위 집합으로 간주될 때 완전히 경계된 경우에만 완전히 경계된다$$.

우리는 정체성의 어떤 동네 가U⊆ X{\displaystyle U\subseteq X}에 S⊆ X{\displaystyle S\subseteq X}이라고 한 부분 집합( 떠났다)U{U\displaystyle}-small 만일(S−)이 협약을 입양하는+S⊆ U.{\displaystyle(-S)+S\subseteq 미국}[5] 부분 집합 S{S\displaystyle}의 위상 group $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 충족하면 완전히 경계(왼쪽)된다.

1. 정의:For any neighborhood ${\displaystyle U}$ of the identity ${\displaystyle 0,}$ there exist finitely many ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ such that ${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\lef$$t(x_{j}+)$$U\right:$$=\왼쪽(x_{1}+)$$U\오른쪽)+\cdots +\왼쪽(x_{n}+$$오른쪽이요.$$}$
2. For any neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle 0,}$ there exists a finite subset ${\displaystyle F\subseteq X}$ such that ${\displaystyle S\subseteq F+U}$ (where the right hand side is the Minkowski sum ${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$).
3. For any neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle 0,}$ there exist finitely many subsets ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ and each ${\displaystyle$$B_{j}}$는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ - small이다$$.^[5]
4. For any given filter subbase ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ of the identity element's neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ (which consists of all neighborhoods of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X}$) and for every ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ there exists a많은$$ $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ B$}$에 의한$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 커버 - $X{\displaystyle }$ .${\displaystyle X.}$
5. S{S\displaystyle}코시:정체성의 모든 인근 지역 U{U\displaystyle}과 나는 S{\displaystyle 1세}모든 셀 수 있게 무한한 부분 집합에{S\displaystyle,}이 뚜렷한 x, y∈ 나는{\displaystyle x,y\in 나는}가)− y∈ U.{\displaystyle x-y\in 미국}[5](S{\disp 존재하는 경계를 이루고 있다.$레이스타일 S}$은(는) 유한하므로 이 조건은 빈칸으로 만족한다).
6. 다음 세 가지 세트 중 어느 하나라도 완전한 경계(왼쪽)가 되는 것을 만족(위의 정의 중 하나)한다.
   1. $폐쇄{\displaystyle }$ ${\displaystyle \stackrel{}{}\text{'}\stackrel{}{}}$= ${\displaystyle {CL}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle {\s}=\operatorname {cl}$ X .${\displaystyle$ $X$$}$에 $있는$ S ${\displaysty$ S$}$ $_{X}S}$
      • 이 세트가 목록에 있다는 것은 다음과 같은 특성이 유지됨을 의미한다: ${\displaystyle {CL}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$이(가) 완전히 경계된 경우에만(왼쪽$$) S ${\displaysty S}$이(가) 완전 경계됨을 의미한다(위에서 언급한 정의 조건에 따라).아래 나열된 다른 세트에 대해서도 동일한 특성화가 유지된다.
   2. The image of ${\displaystyle S}$ under the canonical quotient ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$ which is defined by ${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$ (where ${\displaystyle 0}$ is the identity element).
   3. $S{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle 0}$} . ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$$}$^[8]

프리컴팩트라는 용어는 보통 하우스도르프 위상 벡터 공간의 맥락에서 나타난다.^[9][10]이 경우 다음 조건도 $모두{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$이(왼쪽) 완전히 경계되는 것과 동등하다.

7. $완료{\displaystyle }$ $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$$$$^{\$$displaystyle X$$}$의$$${\displaystyle {X}$에서 $닫힘$ ${\displaystyle {Cl\stackrel{}{}}_{}}$ X ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ${\displaystyle {^}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}S}$은(는) 소형이다$.$^[9][11]
8. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 울트라필터는 Cauchy 필터다.

완전히 경계된 권리의 정의는 유사하다: 단순히 상품의 순서를 바꾸기만 하면 된다.

조건 4는 ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}}$의 모든 부분 집합이 완전히$$ 경계임을 의미한다(사실상 콤팩트하게, 위의 § 컴팩트 세트와의 비교 참조).$예$를 들어 X ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff가 아닌 경우${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}}${\$displaystyle$\{$0\}$은(는) 닫히지 않은 컴팩트한 전체 집합이다$$.^[5]

위상 벡터 공간

위상 벡터 공간은 추가되는 아벨 위상학 그룹이기 때문에 위의 조건이 적용된다.역사적으로, 정의 1(b)은 위상학적 벡터 공간에 대한 전체 경계성의 첫 번째 개혁이었다; 그것은 1935년 존 폰 노이만의 논문으로 거슬러 올라간다.^[12]

이 정의는 약한 위상이 부여된 국소 볼록한 공간에서 사전 컴팩트 집합이 정확히 경계 집합이라는 매력적인 특성을 가지고 있다.

분리 가능한 Banach 공간의 경우, 기능들의 약한 수렴 시퀀스 측면에서 사전 컴팩트 집합(표준 위상)의 훌륭한 특성이 있다: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 분리 가능한 Banach 공간인 경우 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$은 함수 c의 모든 약한 수렴 시퀀스인 경우에만 사전$$ 컴팩트된다.$S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$에 균일하게 적용됨

볼록성과의 상호작용

• 위상 벡터 공간의 완전히 경계된 부분 집합체의 균형 잡힌 선체가 다시 완전히 경계된다.^[5][14]
• 콤팩트(완전 경계) 세트 두 개의 밍코스키 합계는 콤팩트(전체 경계)하다.
• 국부적으로 볼록한 공간(하우스도르프)에서는 $완전히{\displaystyle }$ 경계된 세트 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 볼록한 선체와 원반형 선체가 K ${\displaystyle K}$이(가) 완성되는 경우에만 완전히 경계된다$$.^[15]

참고 항목

• 콤팩트 공간
• 로컬 컴팩트 공간
• 비응축성 측정값
• 직교 공간
• 파라콤팩트 공간
• 비교적 컴팩트한 서브 스페이스

참조

참고 문헌 목록