경계 집합(위상 벡터 공간)

수학의 기능적 분석과 관련 영역에서, 제로 벡터의 모든 이웃이 그 집합을 포함하도록 부풀릴 수 있다면 위상학적 벡터 공간의 세트를 경계 또는 폰 노이만 경계라고 한다. 경계가 없는 세트를 무한대라고 한다.

경계 집합은 경계 집합의 극 집합이 절대적으로 볼록하고 흡수하는 집합이기 때문에 이중 쌍으로 벡터 공간에 국소적으로 볼록한 극 토폴로지를 정의하는 자연스러운 방법이다. 이 개념은 1935년 존 폰 노이만과 안드레이 콜모고로프에 의해 처음 도입되었다.

정의

모든 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 $스칼라$ s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ s$,}$에 대해 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle :=}${${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ :${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle sA:$$=\{sa:a\in A\}.$$}$

Given a topological vector space (TVS) ${\displaystyle (X,\tau )}$ over a field ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ a subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X}$ is called von Neumann bounded or just bounded in ${\displaystyle X}$ if any of the following equivalent conditions are satisfied:

1. 정의: 원본의 모든$$ $주변{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$에 대해 실제 > ${\$$displaystyle r$$>0}$이(가) 존재하며, ${\displaystyle 이러한}$ r은 s ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle r}$. ${\displaystyle s$$}$을(를) 충족하는$$ 모든 스칼라 ${\displaystystyle s$$}$에 $대해$ B ${\$$subseteq sV$$}$이다$.$
   • 이것이 1935년 존 폰 노이만이 도입한 정의였다.^[1]
2. $[\displaystyle B}$는 원산지의 모든 동네에 흡수된다.^[2]
3. 원점의 모든$$ 주변 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 $대해{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$$ars{\displaystyle }$ V$.$ {\$displaystyle$ B\$subseteq sV$와 ${\displaystyle \mathrm{같은<img\; alt="s"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.09ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="96">}}$ 스칼라 s {\$displaystyle$ s$}$이(가) 존재한다$.$$}$
4. ${\displaystyle \mathrm{원본}}$의 모든$$ $주변{\displaystyle }$ V ${\displaystyle$ $V$$}$에 대해 s${\displaystyle }$ r .{\$displaystyle s.$ {\$displaystyle$ s${\displaystyle \}}$을(를) 만족하는 모든 스칼라 s ${\displaystyle s$$}$에 $대해{\displaystyle }$ s ${\displaystyle Bv}$ V$$${\displaystystyle$. {$leq r}$과 같은 실제 $}$이 있다.
5. 오리진의 모든$$ 주변 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$$}$에 대해 $실제{\displaystyle }$ ${\displaystyle >}$ 0 ${\$$displaystyle tB}\subseteq V}$을$($를) 모든 0< t < t> . ${\displaystyle r$ . {\displaystystyle 0$<t\leq r.}$에 대해$$ t }과 같은 실제 r이 있다.
6. 위의 4가지 조건 중 하나이지만 "이웃"이라는 단어가 "균형 근린", "개방 균형 근린", "폐쇄 균형 근린", "개방 근린", "폐쇄된 근린"이라는 단어로 대체되었다.
   • 예: 조건 2는 다음과 같이 될 수 있다. ${\displaystyle }$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 기원지의 모든 균형 잡힌 이웃에 의해 흡수되는$$ 경우에만 제한된다$$.^[1]
7. For every sequence of scalars ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ that converges to 0 and every sequence ${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle B,}$ the sequence ${\displaystyle \$$왼쪽(s_{i}b_{i}\오른쪽)_{i=1}^{\puty }}$ $X$에서 0으로 수렴$$.${\displaystyle X.}$
   • 이것이 안드레이 콜모고로프가 1934년에 사용한 "경계"의 정의였는데, 이는 1933년 스타니스와프 마주르와 브와디스와프 오를리츠가 메트리저블 TV에 대해 소개한 정의와 동일하다. Kolmogorov는 TVS가 원산지의 경계 볼록한 이웃을 가지고 있는 경우에만 반증할 수 있다는 것을 증명하기 위해 이 정의를 사용했다.^[1]
8. For every sequence ${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle B,}$ the sequence ${\displaystyle \left({\frac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ in ${\displaystyle X.}$^[4]
9. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 모든 카운트 가능한 부분 집합은 (이 정의$$ 조건 이외의 정의 조건에 따라)^[1] 경계된다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 연속 세미노름의 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 의해 토폴로지가 정의된 로컬 볼록 공간인$$ 경우, 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

10. ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle$ p$(B)}$은(는) 모든 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}$에 대해 경계된다$$.$}$^[1]
11. There exists a sequence of non-zero scalars ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ such that for every sequence ${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle B,}$ the sequence ${\displaysty$$\left(s_{i}b_{i}\right)_{i=$1}^{\\$ft{}}}$은(이 정의 조건 이외에는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($으)^[1]로 경계한다$$.$$
12. 모든 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle p\in {\mathcal {P},}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 반규격 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle(X,p$)에서 경계(이 조건 이외의 정의 조건에 따라)된다$$$.$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $세미노름{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$을(를) 가진 세미노름 공간인$$ 경우($$모든 정규 공간은 세미노름 공간이고 모든 표준은 세미노름 공간이라는 점에 유의) 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

13. $모든$에 대해$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle (b}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r}$ {\$displaystyle$ $p(b)\leq r}$이(가$)$ 있는 실제 r> ${\$$displaystyle$ $r>0}$이(가) 있다$.$$}$^[1]

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $TVS{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 벡터 하위 공간인$$ 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

14. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$은$({\displaystyle }$는) { ${\displaystyle 0\}}$ . ${\displaystyle \{0\}$의 닫힘에 포함되어 있다$$.$}$^[1]

경계가 없는 부분집합을 무한대라고 한다.

경계 집합의 본론 및 기본 시스템

위상학적 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 있는 모든 경계 집합의 컬렉션을 von Neumann bornology 또는 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 (캐논리적) bornology라고 한다$$.

X의 한정적 하위 집합 X{X\displaystyle}의 한정적 세트를 기반이나 근본적인 시스템은 B{\displaystyle{{B\mathcal}}}B∈ B.{\displaystyle B\in{{B\mathcal}의 X{X\displaystyle}의 모든 속박 일부 하위 집합과 같은}{X\displaystyle}.}모든 평면에 하위 집합의 집합[1]. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) X . ${\displaystyle$ X$}$의 경계 집합의 기본 시스템을 구성한다${\displaystyle .}$

예

로컬 볼록형 TVS에서 폐쇄형 및 경계형 디스크 세트는 경계형 세트의 베이스가 된다.^[1]

안정성 특성

달리 명시되지 않는 한 위상 벡터 공간(TV)은 하우스도르프일 필요도 없고 국소적으로 볼록할 필요도 없다.

• 어떤 TVS에서든 유한조합, 유한합, 스칼라배수, 번역, 서브셋, 폐쇄, 내부, 그리고 경계 세트의 균형 잡힌 선체가 다시 경계된다.^[1]
• 국부적으로 볼록한 TVS에서, 경계된 세트의 볼록한 선체가 다시 경계된다. 공간이 국소적으로 볼록하지 않은 경우 이는 사실이 아닐 수 있다.^[1]
• 연속 선형 지도 아래 경계 집합의 이미지는 코도메인의 경계 부분 집합이다.^[1]
• TVS의 임의 제품의 하위 집합은 모든 돌출부가 경계인 경우에만 경계된다.
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 벡터 하위 공간이고$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle$ S$\subseteq$ M$,}$인 경우 $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $S}$이(가) $X{\displaystyle }$. ${\\displaystystystystystyte$ X$}$에 바인딩된 $경우$에만 $M}$으로 경계된다.

예제 및 충분한 조건

• 위상 벡터 공간(TV)에서는 유한 집합이 경계된다.^[1]
• TVS의 모든 완전 경계 부분 집합은 경계된다.^[1]
• 위상학적 벡터 공간에 있는 모든 비교적 컴팩트한 세트는 경계로 되어 있다. 공간에 약한 위상이 장착되어 있다면 그 반대도 사실이다.
• Cauchy 순서의 점 집합은 경계로 되어 있으며, Cauchy net의 점 집합은 경계할 필요가 없다.
• 모든 TVS에서$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle 0}$}$${\$displaystyle$\{$0\}$의 닫힘의 모든 부분 집합은 제한된다$$.

비예시

• 모든 TVS에서${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}${\$displaystyle$\{$0\}$의 닫힘에 포함되지 않는 벡터 하위 공간은 바인딩되지$$ 않는다(즉, 바인딩되지 않음).
• 경계 부분 $집합{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$이(가) 있는 프리셰트 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$이(가) 있고, $또한$ 밀도가 높은 벡터 하위 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$$\}$이$($가$)$ $M$ . ${\displaystystyle M.}$의 모든 경계 부분 집합에 포함되어 $있지{\displaystyle }$ 않다$.$

특성.

• 유한 유니온, 유한 민코우스키 합, 폐쇄, 내부, 그리고 경계 세트의 균형 잡힌 선체가 경계를 이루고 있다.
• 연속 선형 지도 아래 경계 집합의 이미지는 경계된다.
• 국소적으로 볼록한 공간에서는 경계 집합의 볼록한 외피가 경계를 이룬다.
  • 국소 볼록성이 없는 경우 이는 거짓이며, $>{\displaystyle 0<p<1})$에 대한 Lp 공간 ${\displaystyle {Lp}^{}}$ p$${\$displaystyle$ L$^{p}}}$ 공간에는$$ 비극성 오픈 볼록 하위 집합이 없기 때문이다.
• 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간은 위상이 단일 세미놈에 의해 정의될 수 있는 경우에만 0의 경계 근방을 가진다.
• 경계 집합의 극성은 절대적으로 볼록하고 흡수하는 집합이다.

일반화

경계 집합의 정의는 위상학 모듈로 일반화할 수 있다. 위상학적 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 통한 $위상학적{\displaystyle }$모듈 M {\$displaystyle A$$}$의 부분 집합 $A$는 ${\displaystyle {0M}_{}}$의 $N{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle N}$에 대해$$ ${\displaystyle {0R}_{}}${\$displaystystyle 0_{M}$의 주변 $환경{\displaystyle }${\$displaystystyledown$ w}이 있는$$ 경우$$ 경계된다.${\displaystyle \mathrm{모자}}$ $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle wA\subseteq$ B$.}$

참고 항목

• Bornological space – 다른 공간에 대한 경계 선형 연산자가 항상 연속적인 위상 벡터 공간
• Bornivorous 세트 – 모든 경계 서브셋을 흡수할 수 있는 세트
• 경계함수 – 값이 경계된 수학함수의 유형
• 경계 연산자 – 경계된 하위 세트를 경계된 하위 집합으로 보내는 선형 연산자
• 경계점 – 벡터 공간의 부분 집합과 관련된 수학 개념
• 컴팩트 공간 – 닫힘 및 경계 개념 일반화 속성이 있는 위상학적 공간
• 콜모고로프의 규범성 기준
• 국부 경계성
• 완전경계공간

참조

참고 문헌 목록

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