필드 트레이스

수학에서 필드 트레이스는 L에서 K까지의 K-선형 지도인 유한장 확장 L/K에 관해서 정의된 특정한 함수다.

정의

K를 필드로 하고 L의 유한한 확장(따라서 대수적 확장)을 K에 대한 벡터 공간으로 볼 수 있다.L의 원소인 α에 의한 곱셈,

${\displaystyle m_{\alpha }:$$L\to L{\text{{}}}{\alpha$}($x)=\alpha$ x$\},$

이 벡터 공간의 K-선형 변환이다.트레이스, Tr_L/K(α)는 이 선형 변환의 (선형 대수) 트레이스로 정의된다.^[1]

L에서 α의 경우, α₁(α), ..., α_n(α)를 K(K의 일부 확장장에서) 위에 α의 최소 다항식의 뿌리(다중성으로 계산됨)가 되도록 한다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )}$.

L/K가 분리가 가능한 경우 각 루트는 한^[2] 번만 나타난다(그러나 이는 위의 계수가 1이라는 것을 의미하지는 않는다. 예를 들어 α가 K의 ID 요소 1이라면 트레이스는 [L:K] 곱하기 1이다).

특히 L/K가 갈루아 연장이고 α가 L에 있다면, α의 흔적은 α의 모든 갈루아 결합체의 합이다.^[1]

${\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal}(L/K)}\sigma(\alpha ),}$

여기서 Gal(L/K)은 L/K의 Galois 그룹을 의미한다.

예

Let ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ be a quadratic extension of ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Then a basis of ${\displaystyle L/\mathbb {Q} {\text{ is }}\{1,{\sqrt {d}}\}.}$ If ${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$ then the matrix of $$${\displaystyle {m\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 다음과$$ 같다.

a ${\$b&$a}\오른쪽$

and so, ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\a$$lpha )+{\overline {\buffma _{1}(\chba )\right)=$a+$b{\sqrt{d}+a-b{\sqrt{d$}=2a$\}$^[1]α의 최소 다항식은 X² - 2a X + a² - d b이다².

추적의 속성

유한한 확장에 대해 추적 함수의 몇 가지 특성이 유지된다.^[3]

추적 Tr_L/K : L → K는 K-선형도(K-선형 함수)로, 즉 K-선형도(K-선형 함수)이다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K}$.

α α ∈ K이면 ${\displaystyle {Tr}_{}}$ L${\displaystyle {}_{}}$/ K ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (\alpha }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle L}$: K${\displaystyle \alpha }$. ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}}$

덧붙여, 트레이스는 필드의 탑에서 잘 동작한다: 만일 M이 L의 유한한 연장이라면, M에서 K까지의 트레이스는 L에서 K까지의 트레이스와 함께 M에서 L까지의 트레이스의 구성일 뿐이다.

${\displaystyle {\mathrm{Tr}}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$/ ${\displaystyle K_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{Tr}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$/ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Tr}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$/ L ${\$

유한장

L = GF(qⁿ)를 유한장 K = GF(q)의 유한한 확장으로 한다.L/^[4]K는 갈루아 연장이기 때문에 α가 L에 있으면 α의 흔적은 α의 모든 갈루아 결합체의 합이다.

${\displaystyle {\mathrm{TR}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$/ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \alpha }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$+${\displaystyle }$α q +${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {q{}^{}}^{}}$ + ${\displaystyle {n^{}}^{}}$- ${\displaystyle {1^{}}^{}}$ ${\$}(\alpha $)=\alpha ^{q$}+\$alpha ^{n-1$

이 설정에서는 다음과 같은 추가 속성이 있다.^[5]

• ${\displaystyle {}_{}\mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle L_{}{}_{}}$/ K ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle q^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle$ $\}.$
• For any ${\displaystyle \alpha \in K}$, there are exactly ${\displaystyle q^{n-1}}$ elements ${\displaystyle b\in L}$ with ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha }$.

정리.^[6]b ∈ L의 경우${\displaystyle ,}$ F를_b 지도(${\displaystyle {Tr}_{}}$ L${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (b}$ a ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba$)가 되도록 한다$.$$}$ {b$$ if_b c인 경우 F ≠ F_c. 더구나 L에서 K로 K-선형 변환은 필드 L에 따라 b가 달라지기 때문에 F형식의_b 지도가 정확히 된다.

K가 L의 주요 하위 분야일 때, 그 추적을 절대추적이라 하고, 그렇지 않으면 상대추적이라고 한다.^[4]

적용

A quadratic equation, ax² + bx + c = 0, with a ≠ 0, and coefficients in the finite field ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$ has either 0, 1 or 2 roots in GF(q) (and two roots, counted with multiplicity, in the quadratic extension GF(q²)).GF(q)의 특성이 홀수인 경우 판별인 Δ = b² - 4ac은 GF(q)의 뿌리 수를 나타내며 고전적인 이차 공식은 뿌리를 준다.그러나 GF(q)가 짝수 특성(예: 일부 양의 정수 h에 대해 q = 2^h)을 갖는 경우, 이러한 공식은 더 이상 적용되지 않는다.

유한장 GF(2^h)의 계수를 사용하여 2차 방정식 도끼² + bx + c = 0을 고려한다.^[7]b = 0이면 이 방정식은 GF(q)의 고유한$$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{솔루션}}{}}}$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle c\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\$을(를) 가진다.b ≠ 0이면 치환 y = ax/b는 2차 방정식을 다음과 같은 형태로 변환한다.

${\displaystyle {}^{}y}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ y +${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \text{여기}}$서 ${\displaystyle \Delta }$= ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle \frac{{b\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\$ y$^{2}+y+\cHB =0,{\text{{{}}, 여기서 }\proc ={b^{2$

This equation has two solutions in GF(q) if and only if the absolute trace ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.}$ In this case, if y = s is one of the solutions, then y = s + 1 is the other.k를 ${\displaystyle {\mathrm{Tr}}_{}}$ G ${\displaystyle F_{}}$(${\displaystyle {}_{}q}$ )${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$( 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{k}}$)${\displaystyle }$= 1.${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)(k)=1.}$ 식에$$ 대한 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}}$.

h = 2m + 1일 경우 다음과 같은 간단한 표현으로 해결 방법이 제시된다.

${\displaystyle y}$= ${\displaystyle s}$=${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ 2 +${\displaystyle {{}^{}}^{}{{\Delta \mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {2{\mathrm{}}^{}}^{}}$ +${\displaystyle {{}^{}}^{}}$…${\displaystyle }$+${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {2{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {m^{}}^{}}$ ${\$y=\$s=\cHB +\cHB ^{2^{2}}+\cHB ^{4}+\ldots +{2^{2$^{2m$\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

추적 양식

L/K가 분리될 수 있을 때, 추적은 추적 형태를 통해 이중성 이론을 제공한다: L × L에서 K로 송신 (x, y)에서 Tr_L/K(xy)로 가는 지도는 추적 형태라고 불리는 비데오네이션, 대칭, 이선형이다.L/K가 갈루아 확장인 경우, 갈루아 그룹에 대해서는 추적 형태가 불변한다.

추적 형태는 다른 이상 이론에서 대수적 숫자 이론에 사용된다.

유한도 자기장 확장 L/K에 대한 추적 양식은 K의 어떤 필드 순서에 대해서도 음이 아닌 서명을 한다.^[8]비음수 서명이 있는 모든 위트 등가 등급이 추적 양식을 포함한다는 역은 대수적 숫자 필드 K에 대해 사실이다.^[8]

L/K가 분리할 수 없는 확장인 경우 추적 양식은 동일하게 0이다.^[9]

참고 항목

• 필드 노멀
• 감소된 추적

메모들

참조

• Hirschfeld, J.W.P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0
• Isaacs, I.M. (1994), Algebra, A Graduate Course, Brooks/Cole Publishing
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 20 (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-39231-4, Zbl 0866.11069
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Field theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 158 (Second ed.), Springer, Chapter 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl 1172.12001
• Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7

추가 읽기

• Conner, P.E.; Perlis, R. (1984). A Survey of Trace Forms of Algebraic Number Fields. Series in Pure Mathematics. Vol. 2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017.
• 섹션 VI.5