상이한 이상

대수적 수 이론에서, 서로 다른 이상(때로는 단순하게 다른 이상)을 정의하여 필드 추적에 관해서 대수적 수 필드 K의 정수 링에서 (가능) 이중성의 결여를 측정한다.그런 다음 정수의 링의 주요 이상에 대한 래미화 데이터를 인코딩한다.그것은 1882년 리처드 데데킨드에 의해 소개되었다.^[1][2]

정의

O가_K K의 정수의 링이고 tr이 K에서 합리적인 숫자 필드 Q까지의 필드 추적을 나타내는 경우,

${\displaystyle x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}}$

O의_K 2차적 일체형 형태야2차 형태로서의 차별성은 +1이 될 필요는 없다(사실 이것은 케이스 K = Q에 대해서만 발생한다).역차이 또는 코드화^[3][4] 또는 데데킨드의 보완 모듈을^[5] x ∈ K의 집합 I로 정의하여 tr(xy)가 O의_K 모든 y에 대한 정수인 경우, 나는 O를_K 포함하는 K의 소수 이상이다.정의에 따르면, 다른 이상 Δ는_K 역분수 이상⁻¹ I: O의_K 이상이다.

Δ의_K 이상적인 규범은 K의 필드 판별 D에_K 의해 생성된 Z의 이상과 동일하다.

최소 다항식 f를 가진 K의 원소 α의 차이는 Δ(α) = f′(α)로 정의된다. 만약 α가 필드 K를 생성한다면(^[6]그리고 그렇지 않으면 0): 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle \cHB(\prod)=\prod \left\prod -\reft ^{(i)}\}$

여기서 α는⁽ⁱ⁾ α 그 자체를 제외한 α의 특성 다항식의 모든 뿌리에 걸쳐 있다.^[7]O에서 모든_K 정수 α의 상이한 이상이 생성된다.^[6][8]이것이 디데킨드의 원래 정의다.^[9]

다른 점은 또한 지역 영역의 한정된 정도 확장에 대해 정의된다.p-adic 분야에서는 폰트랴긴 이원화에 기본적 역할을 한다.

상대적 상이함

상대적 다른 Δ는_{L / K} 숫자 필드 L / K의 확장에 대해 유사한 방식으로 정의된다.그러면 상대적 차이의 상대적 규범은 상대적 판별 Δ와_{L / K} 같다.^[10]필드 L / K / F의 탑에서 상대적 차이는 Δ_{L / F} = Δ로_{L / KK / F} 연관된다.^[5][11]

상대적 차이는 상대적 Kahler 차동 모듈 ${\displaystyle {\Omega {}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {O_{}}_{}^{}}$ L${\displaystyle {{}_{}{O}_{}}_{}^{}}$ K ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$1}:{1}:{$1$^[10][12]1}:{1} :

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{{}모든 }y_in O_{L}\}.}$

상대적 상이한 Δ의_{L / K} 이상적인 등급은 항상 L의 정수의 고리인_L O 등급 그룹의 사각형이다.^[13] 상대적 차별은 상대적 차이의 규범이기 때문에,^[14] 실로_K O 등급 그룹의 등급의 사각형이다. O-module로서_K O를_L 위한 Steinitz 등급의 사각형이다.^[15]

라미화

상대적 차이는 필드 확장자 L/K의 래미화 데이터를 인코딩한다. L에서 p의 인수화가 1보다 높은 전력에 L의 프라이밍을 포함하면 K의 Prime 이상 p는 L로 반증한다. 이는 p가 상대 판별 Δ를_{L / K} 나눈 경우에만 발생한다.더 정확히 말하자면

P = P₁^e(1)...P_k^e(k)

p를 L의 주요 이상으로 인자화하면 P는_i 상대적인 다른 Δ를_{L / K} 나눈다. P는 만약 P가_i ramis화된다면, 즉 ramisation index e(i)가 1보다 크면 Δ를 나눈다.^[11][16]raminated prime P가 Δ를 나누는 정확한 지수를 p의 차등지수로 부르며, P가 길들여져 ramised하면 e - 1과 같다. 즉, p가 e를 나누지 않을 때 말이다.^[17]P가 광범하게 래밍되는 경우, 차등 지수는 e ~ e + eν_P(e) - 1 범위에 있다.^[16][18][19] 차등 지수는 Galois 확장에 대한 상위 래밍 그룹의 순서로 계산할 수 있다.^[20]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infit }(G_{i} -1).}$

로컬 연산

국소 필드 L/K의 확장에 대해서는 다른 것을 정의할 수 있다.이 경우 우리는 전력 적분 기초를 생성하는 원시 원소 α에 의해 생성된 확장을 단순하게 받아들일 수 있다.f가 α에 대한 최소 다항식이라면 f'(α)에 의해 다른 것이 생성된다.

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Translated by Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR 1290116.
• 2009년Dedekind, Richard (1882), "Über die Discriminanten endlicher Körper", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 29 (2): 1–56 8월 5일 회수
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1991), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36664-X, Zbl 0744.11001
• Hecke, Erich (1981), Lectures on the theory of algebraic numbers, Graduate Texts in Mathematics, vol. 77, translated by George U. Brauer; Jay R. Goldman; with the assistance of R. Kotzen, New York–Heidelberg–Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90595-2, Zbl 0504.12001
• Narkiewicz, Władysław (1990), Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd, substantially revised and extended ed.), Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers, ISBN 3-540-51250-0, Zbl 0717.11045
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, translated by Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, Zbl 0423.12016
• Weiss, Edwin (1976), Algebraic Number Theory (2nd unaltered ed.), Chelsea Publishing, ISBN 0-8284-0293-0, Zbl 0348.12101