전환 커널

확률의 수학에서 전환 커널이나 커널은 응용 분야가 다른 수학의 함수다.예를 들어, 커널은 무작위 측정 또는 확률적 프로세스를 정의하는데 사용될 수 있다.커널의 가장 중요한 예는 마르코프 커널이다.

정의

$({\displaystyle S}$, ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle (S$, ${\mathcal{S}}},$$$(${\displaystyle T\mathcal{}}$, T${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($T, ${\mathcal {T})}$을(를) 두 개의 측정 가능한 공간으로 한다$$.A함수

${\displaystyle \kappa \colon S\time {\mathcal{T}\to [0,+\fty ]}$

다음 두 조건이 지속되는 경우$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}($t})까지의 (전환) 커널이라고 한다.^[1]

• 고정 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$ ${\$에$$대한 매핑

$\displaystyle s\mapsto \kappa(s,B)}$

$S{\displaystyle \mathcal{}}$/ ${\displaystyle B\mathcal{}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ])}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}/{\mathcal {B}([0,+\fty ])}$ - 측정$$ 가능;

• 모든 고정 $s{\displaystyle }$for ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$에 대해$,$ 매핑

$\displaystyle B\mapsto \kappa(s,B)}$

$({\displaystyle T}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle (T,{\mathcal{T})$에 대한 측정값 입니다$.$

전환 커널 분류

전환 커널은 보통 그들이 정의하는 측정에 의해 분류된다.이 측정치는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \kappa _{s}\colon {\mathcal {T}\t}\to [0,+\fty ]}$

와 함께

${\displaystyle \kappa _{s}(B)=\kappa(s,B)}$

모든 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$ ${\$ 및$$ 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle s\in S}$에 대해 이 표기법으로 커널 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$을(를) 호출한다^[1][2]$.$

• 모든 $\kappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$이 하위 확률 측정값인 경우 하위 확률 커널, 하위 확률 커널 또는 하위 마코프 커널
• a 마르코프 커널, 확률 커널 또는 확률 커널(모든 ${\displaystyle {all}_{}}$ s ${\$이 확률 측정값인 경우
• 모든 ${\$가 유한 측정인 경우 유한 커널
• a 모든 $\kappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$이(가) $\$ {\displaystyle \cappa _{$s{\displaystyle }$}인 $경우{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle \sigma$} -complete$$ 측정값
• s-값 커널은 유한한 커널의 계수 가능한 합으로 쓸 수 있는 커널이다.
• A한결같이σ{\displaystyle \sigma}-finite 커널이 있다면 sκ(B나는)<>로 T{T\displaystyle};∞{\displaystyle \kappa_{s}(B_{나는})&lt에서 가장 셀 수 있게 많은 측정 가능한 세트 B1, B2,…{\displaystyle B_{1},B_{2},\dots}에 모든 s∈에 \infty}S{\displaystyles\in S}과 모든 있다. 나는 ∈${\displaystyle \mathbb{N}}$ ${\$ $\}.$

운영

In this section, let ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ and ${\displaystyle (U,{\mathcal {U}})}$ be measurable spaces and denote the product σ-algebra of ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$$S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$ ${\$ 포함

커널 제품

정의

Let ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ be a s-finite kernel from ${\displaystyle S}$ to ${\displaystyle T}$ and ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ be a s-finite kernel from ${\displaystyle S\times T}$ to ${\displaystyle U}$. Then the product ${\displaystyle \kappa ^{1}\oti$$두$ 개의 커널 중$$ $\kappa ^{2}}$개는 다음과^[3][4] 같이 정의된다.

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\time({T}\mathcal {U})\to[0,\fty ]}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)}$

모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle U\mathcal{}}$ ${\$에 대해$.$

속성 및 주석

The product of two kernels is a kernel from ${\displaystyle S}$ to ${\displaystyle T\times U}$. It is again a s-finite kernel and is a ${\displaystyle \sigma }$-finite kernel if ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ and ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ are ${\displaystyle \sigma }$-finite kernels낟알의 산물은 또한 연관성이 있다, 그것은 그것이 만족한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle(\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}}\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{3}}}}}}$

3개의 적합한 s-배열 커널에 대해 ${\displaystyle {for\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$^{$1},\kappa ^{2},\kappa$^{$3$

The product is also well-defined if ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ is a kernel from ${\displaystyle T}$ to ${\displaystyle U}$. In this case, it is treated like a kernel from ${\displaystyle S\times T}$ to ${\displaystyle U}$ that is independent of ${\displaystyle S}$. This is equivalent to설정

$[\displaystyle \kappa(s,t),A):=\카파(t,A)}$

모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U\mathcal{}}$ ${\$ 및 모든$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$에 대해$.$^[4][3]

커널 구성

정의

Let ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ be a s-finite kernel from ${\displaystyle S}$ to ${\displaystyle T}$ and ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ a s-finite kernel from ${\displaystyle S\times T}$ to ${\displaystyle U}$. Then the composition ${\displaystyle \kappa ^{1}\cd$$ot \kappa ^{2$}}개의$$ 커널은 다음과^[5][3] 같이 정의된다.

${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}\to [0,\infully ]}$

${\displaystyle (s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d}t)\int _{U}\kappa ^{2}(s,t),\mathrmatcm {1}_{B}(u)}$

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$ 및$$ 모든 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U\mathcal{}}$ ${\$에 대해$.$

속성 및 주석

구성은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$까지의 커널로, 다시$$ s-마인트가 된다.낟알의 구성은 그것이 만족한다는 의미인 연관성이 있다.

${\displaystyle(\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdapa ^{3}}}$

for any three suitable s-finite kernels ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$. Just like the product of kernels, the composition is also well-defined if ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ is a kernel from ${\displaystyle T}$ to ${\displaystyle U}$.

대체 표기법은 $\kappa {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}이다$.$

연산자로서의 커널

$T$${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$+ ${\$$mathcal$ ${\$mathcal {\$mathcal${T${\displaystyle \}^\{+\},\{\backslash mathcal\mathcal{}}$$$$}^{\mathcal {T}$에 대한 양의 측정 가능한 함수의 집합이 되도록$$ 한다$.$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 T ${\displaystyle T}$까지의 모든 커널 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은(는) 선형 연산자와 연결할 수 있다$$.

${\displaystyle A_{\kappa }\colon {\mathcal{T}^{+}\to {\mathcal{S}^{+}}}}}}$

에^[6] 의해 주어지는.

${\displaystyle (A_{\kappa }f)=\int _{T}\kappa(s,\mathrm {d}t)\;f(t)}$

이들^[3] 연산자의 구성은 낟알의 구성과 양립할 수 있다.

${\displaystyle A_{\kappa ^{1}}A_{\\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$

참조