구조물의 운송

수학에서, 특히 보편적 대수학 및 범주 이론에서, 구조의 전송은 수학적 물체가 기존 구조를 가진 다른 물체에 이형화된 결과로서 새로운 구조와 그 규범적 정의를 획득하는 과정을 말한다.^[1]구조물의 운송에 의한 정의는 표준적인 것으로 간주된다.

수학적 구조는 종종 기초적인 공간에 대해 정의되기 때문에, 구조 전달의 많은 예들은 공간과 그것들 사이의 매핑을 포함한다.For example, if ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ are vector spaces with ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ being an inner product on ${\displaystyle W}$, such that there is an isomorphism ${\displaystyle \phi }$ from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W}$, then one can$다음{\displaystyle }$ 규칙으로$$V {\$displaystyle V}$에 [ $[{\displaystyle }$,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ 내부 제품을 정의하십시오$$.

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi(v_{1}),\phi(v_{2})}}$

이 방정식은$\varphi {\displaystyle }$ {\$displaystyle \pi$}이(가) 이형성이 아닐$$ 때에도 일리가 $있지만{\displaystyle }$, {$${\$displaystyle \pi }$이(가) 있을 $때$만 V ${\displaystyle V}$에 내부 제품을 정의하는데, 그렇지 않을 경우$$ [$$ , ] ] ] ] ] ${\displaystyle ]}$ ${\$cdisplaysty ] {\$cdot$ , \$cdot$ , $\cdisplayplayplaystypi$ \cdisplaystypi $\$cdayst$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) V ${\displaystyle V}$과 W ${\displaystyle W}$을(를) "동일한" 벡터 공간으로$$ 간주할 수 있도록$$ 하고, 이 유추에 따라 내부 제품을 한 공간에서 다른 공간으로 운반할 수 있다는 생각이다.

보다 정교한 예는 $부드러운{\displaystyle }$ 다지관의 개념이 개입된 미분위상으로부터 비롯된다: M$${\$displaystyle$M}이$$(가) 그러한 다지관이고, $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}이(가) M$${\$displaystyle M}$에 대해 동형인 위상학적 공간이라면$,$ $X{\displaystyle }$ ${\\displaystyty X}$을 부드러운$$ 다지점으로 생각할 수 있다.well. That is, given a homeomorphism ${\displaystyle \phi \colon X\to M}$, one can define coordinate charts on ${\displaystyle X}$ by "pulling back" coordinate charts on ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle \phi }$. Recall that a coordinate chart on ${\displaystyle M}$ is an open set ${\displaystyle U}$주입 지도와 함께$$ $(\displaystyle U}$

${\displaystyle c\colon U\to \mathb {R} ^{n}}}$

$일부{\displaystyle }$ 자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$에 대해 X ${\displaystyle$ X$\}$에서 이러한 차트를 가져오려면 다음 규칙을 사용한다.

${\displaystyle U^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle \varphi {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$U${\displaystyle }$) ${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$ 및$$ $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \circ }$ ∘$${ {\$displaystyle$ c$'=c\circle \phi$

더욱이, $차트$는 M$${\$displaystyle M}$을(를) 커버해야 한다($$전송된 $차트$가$$X {\$displaystyle$ X}을$($를) $커버$한다는 사실은 $\$ {\$displaystyle \phi}$이(가) 편향이라는 사실에서 바로 뒤따른다$$.Since ${\displaystyle M}$ is a smooth manifold, if U and V, with their maps ${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$, are two charts on ${\displaystyle M}$, then the composition, the "transition map"

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$: ${\displaystyle c}$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cap }$ V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ c$^{-1}\colon c(U\cap$ V$)\\\to$$\mathb {R}{$$n}}}}($$}{n$}}) (Rn$}{$의 자체 지도$)$

매끈매끈매끈하다$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$에서 전송된 차트에 대해 이를 확인하려면

${\displaystyle {\varphi }^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( U${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$ϕ - ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$( V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \phi^{-$1}(U$)\cap \phi \$1}=\$phi ^{-1}(U\cap$ V$)\},$

따라서

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$, and

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

$따라서{\displaystyle }$ $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $및$ V ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ V$'}$에 대한 전환 지도가 U ${\displaystyle U}$ 및 $V$ ${\displaystyle V}$에 대한 전환 지도와 동일하므로$$ 평탄하다$.$즉, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는 구조 수송을 통해 매끄러운 다지관이다.이것은 일반적으로 구조물을 운반하는 특별한 경우다.^[2]

두 번째 예는 또한 왜 "구조의 이동"이 항상 바람직하지 않은지를 보여준다.$즉{\displaystyle }$, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을 평면이 되고$$,$$X {\$displaystyle$X}을$$ 무한의 단면 원뿔이 될 수 있다.원뿔을 "평활화"함으로써 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 M ${\displaystyle M}$의 동형성을 얻을 수 있고$$, 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$에 있는 부드러운 다지관의 구조를 얻을 수 있지만, 원뿔은 "자연적으로" 매끄러운 다지관은 아니다.$즉{\displaystyle }$, X ${\displaystyle X}$을(를) 3공간의 하위공간으로$$ 간주할 수 있으며, 콘 포인트에서 이 공간이 매끄럽지 않다.

더욱 놀라운 예는 밀노르에 의해 발견된 이국적인 구체의 것으로, 8-공간에서 7차원$$$구체$인 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 7${\$까지 (그러나 정의상으로는 차이가 없는) 28개의 매끄러운 다지체가 정확히 존재한다는 것이다.따라서 구조물의 운송은 두 물체 사이에 표준 이형성이 존재할 때 가장 생산적이다.

참고 항목

• 수학 전문용어 목록
• 수학 구조물의 등가 정의#구조물의 이동; 이형성

참조