가로-필드 이싱 모델

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가로장 Ising 모델은 고전 Ising 모델의 양자 버전이다.$그것$은 z ${\displaystyle z}$축에$$$$ 수직인 외부 자기장($일반성{\displaystyle }$ 손실 없이 x {\$displaystyle$ x$}$축$$)과 z ${\displaystyle z$$}$축의 정렬 또는 반정렬에 의해 결정되는 가장 가까운 인접 상호작용을 가진 격자를 특징으로 한다.한 x축 회전 방향에 대한 다른 x축 회전 방향에 대한 에너지 바이어스

이 설정의 중요한 특징은 양자 $의미$에서 x ${\displaystyle x}$축의$$ 스핀 투영과 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$}$축의$$ 스핀 투영이 통근 관측 가능한 양이 아니라는 점이다.즉, 두 가지를 동시에 관찰할 수 없다.이는 고전적 통계 역학으로는 이 모델을 설명할 수 없으며, 양자 치료가 필요하다는 것을 의미한다.

구체적으로 이 모델은 다음과 같은 양자 해밀턴을 가지고 있다.

${\displaystyle H=-J\왼쪽(\sum _{\langle i,j\angle }Z_{i}Z_{j}+g\sum _{j}X_{j}\오른쪽)}$

Here, the subscripts refer to lattice sites, and the sum ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ is done over pairs of nearest neighbour sites ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$. ${\displaystyle X_{j}}$ and ${\displaystyle Z_{j}}$ are representations of elements of the스핀 대수(회전 1/2의 경우 회전 대수)가 해당 부위의 스핀 변수에 작용한다.같은 사이트에 있으면 서로 반통행하고, 다른 사이트에 있으면 서로 통근한다.${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$은 에너지 치수를 갖는 사전 인자이며, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은 가장 가까운 인접 상호작용에 비해 외부장의 상대 강도를 결정하는 또 다른 연결 계수다$$.

1D 가로 필드 Ising 모델의 위상

논의 아래는 각 격자 부지가 2차원 복합 힐버트 공간(즉, 스핀 1/2 입자를 나타냄)인 1차원 사례로 제한된다.여기서는 단순성을 $위해{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Z$${\$displaystyle Z}$이(가) 각각 결정인자 -1을 갖도록 정규화된다$$.해밀턴인은 Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 대칭$$ 그룹을 가지고 있는데, 이는 모든 $스핀$을 z$${\$displaystyle$z} 방향으로$$ 플립하는 단일 군사작전에 따라 불변하기 때문이다.보다 정확히 말하면 대칭 변환은 유니터리 $\prod {\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ X ${\displaystyle j_{}}$ ${\$에 의해 주어진다$.$

1D 모델은 지상 상태(특히, 퇴보의 경우 거시적으로 얽힌 상태가 아닌 지상 상태)가 앞서 언급한 $\prod {\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ j ${\$ 스핀-플립$$ 대칭을 깨뜨리거나 보존하는지에 따라 2상을 인정한다.$매초{\displaystyle }$ 사이트 j {\$displaystyle$ j}에 대해 impact$$ {\$displaystyle j$$}$을(를) $중심$으로 $\pi {\displaystyle }$ ${\$ $\pi }$을$($를) 회전시켜$$ $음$의$$J {\$displaystystyle$ J$}$이($가$$)$ 있는 시스템에 매핑할$$ 수 있으므로 J$$${\dynamics에 영향$을 미치지 않는다$.$

모델은 모든 연결 상수에 대해 정확하게 해결할 수 있다.그러나 현장 스핀의 경우 일반적으로 스핀 변수에 대해 명시적으로 적어두기가 매우 불편하다.요르단-위그너 변환에 의해 정의된 페르미온 변수의 관점에서 명시적으로 솔루션을 작성하는 것이 더 편리하며, 이 경우 흥분된 상태는 단순한 퀘이피서나 준홀 설명을 가지고 있다.

순서상

< ${\displaystyle g <1$ 시스템이 순서 단계에 있다고 한다.이 단계에서 접지 상태는 스핀-플립 대칭을 깨뜨린다.따라서 지상 상태는 사실상 두 배로 퇴보한다.> ${\displaystyle J>0}$의 경우 이 위상은 강자성 순서가 나타나는 반면, < ${\displaystyle J<0}$의 경우 반자성 순서가 존재한다.

Precisely, if ${\displaystyle \psi _{1}\rangle }$ is a ground state of the Hamiltonian, then ${\displaystyle \psi _{2}\rangle \equiv \prod _{j}X_{j} \psi _{1}\rangle \neq \psi _{1}\rangle }$ is also a ground state, and together ${\displayst$$yle \regl _{1}\rangele }$ 및 ${\displaystyle {\psi \mathrm{}}_{}}$ 2$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \regl }$은(는) 퇴화된 $지상$ 상태 공간에 걸쳐$$ 있다.간단한 예로, g=0{\displaystyle g=0}, J>0{\displaystyle J>0}, 땅 국가들이 쭉 펼쳐져↑↑↑ 쭉 펼쳐져 ⟩{\displaystyle \ldots\uparrow \uparrow \ldots \uparrow \rangle}과로↓↓↓ 쭉 펼쳐져 ⟩{\displaystyle \ldots\downarrow \downarrow \ldots \downarrow \rangle}, 그것은, 가지고 함께 모든 스핀 aligne.dalo$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$축$$.

이는 가선상으로서, 가장 낮은 에너지 흥분 상태가 0이 아닌 양(열역학적 한계의 비바니싱)만큼 지상 상태 에너지보다 높은 에너지를 갖는다는 것을 의미한다.특히 이 에너지 갭은 ${\displaystyle 2J(1}$- g${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일 $2J(1-g )}$이다$.$^[1]

순서 불일치 단계

이와는 대조적으로 > ${\displaystyle g >1}$일 때 시스템은 무질서한 단계에 있다고 한다.접지 상태는 스핀-플립 대칭을 보존하며, 비감속적이다.간단한 예로 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 무한일$$ 때 지면 상태는$$각 사이트의${\displaystyle }$+${\displaystyle x}$ {\$displaystyle$$$$ldots \rightarrow \rightarrow \ldots \rangle$ $\}$이고 회전은 각 사이트의 + x ${\\displaystystyle$ +$x}$ 방향이다${\displaystyle .}$

이 또한 삭발 국면이다.에너지 갭은 ${\displaystyle 2J(g}$- ${\displaystyle 1}$) ${\디스플레이$ 스타일 $2J(g -1)}$

갭리스 위상

${\displaystyle g}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g =1}$인 경우 시스템은 양자 위상 전환을 겪는다$.$$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 이 값에서$,$ 시스템은 틈이 없고 에너지가 낮은 동작은 2차원 Ising 등각장 이론에 의해 설명된다.이 등정 이론은 중심 $전하{\displaystyle }$ c${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle c=1/2$}을$($를) 가지고 있으며$,$ 중심 전하량이 1 미만인 단일 최소 모델 중 가장 단순하다.아이덴티티 연산자 외에, 이론에는 두 개의 기본 분야가 있는데$,$ 하나는 스케일링 치수가 ${\displaystyle \mathrm{있는}}({\displaystyle }$1$1$/$, 16)$이고, 다른 $하나$는 스케일링 치수가 있는(1${\displaystyle /2\mathrm{}}$,${\displaystyle 1/2\mathrm{}}$) ${\디스플레이$ ${\displaystyle \mathrm{스타일}}$(1$/2, 1/2$)이다$.$^[2]

요르단-위그너 변환

Jordan-Wigner Transformation으로 알려진 매우 국소적이지 않은 변환을 사용하여 스핀 변수를 페르미온 변수로 다시 쓸 수 있다.^[3]

A fermion creation operator on site ${\displaystyle j}$ can be defined as ${\displaystyle c_{j}^{\dagger }={\frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}}$.그러면 가로장 Ising Hamiltonian(무한 체인을 가정하고 경계 효과를 무시함)은 전적으로 생성 및 소멸 연산자를 포함하는 국부 2차 용어의 합으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dagger }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}-2g(c_{j}^{\dagger }c_{j}-1/2))}$

This Hamiltonian fails to conserve total fermion number and does not have the associated ${\displaystyle U(1)}$ global continuous symmetry, due to the presence of the ${\displaystyle c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}}$ term.그러나 그것은 페르미온 패리티를 보존한다.즉, 해밀턴은 페르미온의 총 수가 짝수인지 홀수인지를 나타내는 양자 연산자와 통근하며, 이 패리티는 시스템의 시간 진화에도 변하지 않는다.해밀턴주의자는 수학적으로 비열한 분야인 보골류보프-데 게네스 형식주의에서 초전도체의 그것과 동일하며 같은 표준 방식으로 완전히 이해할 수 있다.정확한 흥분 스펙트럼과 고유값은 푸리에가 운동공간으로 변환하고 해밀턴을 대각선으로 하여 결정할 수 있다.In terms of Majorana fermions ${\displaystyle a_{j}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}}$ and ${\displaystyle b_{j}=-i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})}$, the Hamiltonian takes on an even simpler form,

${\displaystyle H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_{j}}}}$

크레이머-워니어 이중성

Kramers-Wannier 이중성 변환으로 알려진 Pauli 행렬의 비로컬 매핑은 다음과 같이 수행할 수 있다.^[4]

Then, in terms of the newly-defined Pauli matrices with tildes, which obey the same algebraic relations as the original Pauli matrices, the Hamiltonian is simply ${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j})}$.이는 커플링 $매개변수{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$을(를) 가진 모델이 커플링 $매개변수{\displaystyle {}^{}}$ g ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle$ g$^{-1}$을$($를) 가진 모델에 이중성이 있음을$$ 나타내며, 순서 위상과 정렬되지 않은 위상 사이에 이중성을 설정한다.위에서 언급한 Majorana 페르미온의 관점에서, ${\displaystyle {이러한}_{}}$ 이중성은 ${\displaystyle j_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}\{$j}\}\1}을($를) $a_{j+1$}에 다시 샘플링하는 사소한 것에서 더 분명히 나타난다$.$

Ising 체인의 경계에는 몇 가지 미묘한 고려 사항이 있다는 점에 유의하십시오. 이러한 결과, ${\displaystyle {}_{}}$와 순서가 정해지는 단계의 퇴행성과 Z $2{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$개의 대칭$$ 특성이 Kramers-Wannier 이중성에 따라 변경된다.

일반화

q-state 퀀텀 팟츠 모델과 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$ 퀀텀$$ 클럭 모델은 사이트당 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$} 상태가$$ 있는 가로장 Ising 모델의 일반화다.가로 필드 Ising 모델은 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle q=2}$의 경우를 나타낸다.$$

클래식 아이싱 모델

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$차원의$$ 양자 가로장 Ising 모델은 $d{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d+1}$차원의$$ 비등방성 고전적 Ising 모델에 이중적이다.^[5]

참조