트릴륨 정리

In Euclidean geometry, the trillium theorem – (from Russian: лемма о трезубце,^[1][2] literally 'lemma about trident', Russian: теорема трилистника,^[3] literally 'theorem of trillium' or 'theorem of trefoil') is a statement about properties of inscribed and circumscribed circles and their relations.

정리

ABC를 임의의 삼각형이 되게 하라. 내가 그것의 인센티브가 되고 D선이 ABC의 원곡선을 가로지르는 지점이 되도록 하자. 그 다음, 정리에서는 D가 A, C, I로부터 등거리라고 기술하고 있다. 동등하게:

• A, C, 그리고 나를 통한 원은 D에 그 중심이 있다. 특히 이 원의 중심이 원주 위에 놓여 있음을 암시한다.^[4][5]
• 3개의 삼각형 AID, CID, ACD는 등각형이며 D를 정점으로 한다.

B에 상대적인 ABC의 중심인 네 번째 지점도 D로부터 같은 거리에 놓여 있는데, 이는 I과 정반대다.^[2][6]

증명

새겨진 각도 정리에 의해,

${\displaystyle \angle IBA = \angle DCA,\quad \angle IBC = \angle DAC .}$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle BI}$이(가) 각도 이등분이기 때문에

${\displaystyle \angle DCA = \angle DAC \Rightarrow AD = CD .}$

우리는 또한 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned} \angle DIA ={}&180^{\circ }- \angle AIB \\[6pt]={}&180^{\circ }-(180^{\circ }- \angle IAB - \angle IBA )\\[6pt]={}& \angle IAB + \angle IBA \\[6pt]={}& \angle IAC + \angle DAC \\[6pt]={}& \angle IAD \\[6pt]\오른쪽 화살표 AD ={}&DI .\end{정렬}}}$

삼각형 재구성 적용

이 정리는 하나의 꼭지점, 인센티브자, 삼각형의 원곡선 위치에서만 시작되는 삼각형을 재구성하는 데 사용할 수 있다. B를 주어진 꼭지점이 되게 하고, 나는 인센티브가 되고, O는 할로우센터가 되게 한다. 이 정보를 통해 다음 사항을 연속적으로 구성할 수 있다.

• 중심 O와 반경 OB를 가진 원처럼 주어진 삼각형의 원주
• 점 D는 선 BI와 원주의 교차점으로서,
• 중심 D와 반지름 DI를 가진 정리의 원과
• 두 원의 교차점으로서의 꼭지점 A와 C.^[7]

그러나 B, I, O 지점의 일부 세 배에서는 선 IB가 원곡선에 접선되어 있거나 두 원에는 두 개의 교차점이 없기 때문에 이 구조가 실패할 수 있다. 또한 주어진 포인트 I가 인센티브가 아닌 excenter인 삼각형을 생성할 수도 있다. 이러한 경우, B를 꼭지점, I를 인센티브로, O를 할로우센터로 하는 삼각형은 있을 수 없다.^[8]

정점으로부터 삼각형을 재구성하는 것과 같은 다른 삼각형 재구성 문제, 즉 9점 원의 중심에서 문제를 정점, 장려자, 할례자의 경우로 줄임으로써 해결할 수 있다.^[8]

일반화

나와 J는 인센티브 제공자와 삼각형 ABC의 세 명의 엑센서스에 의해 주어진 네 가지 사항 중 두 가지가 될 수 있도록 하자. 그리고 나서 I와 J는 세 개의 삼각형 꼭지점 중 하나와 나란히 된다. IJ를 지름으로 하는 원은 다른 두 꼭지점을 통과하고 ABC의 원곡선을 중심으로 한다. I 또는 J 중 하나가 장려자일 때, 이것은 triangle의 각 중 하나의 (내부)각 이등분자로 선 IJ를 가지는 수조분의 정리다. 그러나, 나와 J가 모두 엑센서스일 때도 그렇다. 이 경우, 선 IJ는 삼각형의 각 중 하나의 외부 각도 이등분선이다.^[9]

참고 항목

• 각도 이등분자 정리

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Incenter-Excenter Circle". MathWorld.