삼중상관

실제 라인에서 일반 함수의 3중 상관관계는 두 개의 독립적으로 이동된 복사본으로 해당 함수의 곱에 필수적이다.

${\displaystyle \int _{-\infit _}^{{f^{*(x)f(x+s_{1}f(x+s_{2}dx.}}$

3중 상관관계의 푸리에 변환은 이등분이다.삼중 상관관계는 자기 상관 개념을 확장하는데, 자기 상관관계는 함수를 그 자체의 단일 이동 사본과 상호 연관시켜 잠재적인 주기성을 강화한다.

역사

3중 상관관계 이론은 우선 통계학자들이 가우스 이외의 무작위 공정의 누적된 구조를 조사하였다.또한 레이저 빔의 분광법을 위한 도구로서 물리학자에 의해 독자적으로 연구되었다.1963년 가모 히데야는 레이저 빔의 삼중 상관 관계를 측정하는 장치를 설명했으며, 또한 위상 정보가 반전과 선형 오프셋을 서명하기 위해 비스펙트럼의 실제 부분에서 어떻게 회복될 수 있는지를 보여주었다.그러나 가모의 방법은 어떤 주파수에서도 푸리에 변환은 절대 0이 되지 않도록 암묵적으로 요구한다.이 요건은 완화되었고 옐로트와 아이버슨(1992)의 연구에 의해 3중(및 고차) 상관관계로 고유하게 식별되는 것으로 알려진 기능의 등급이 상당히 확대되었다.옐로트앤아이버슨도 벨라 쥘레즈가 제안한 3중 상관관계와 시각적 질감 차별 이론의 연관성을 지적했다.

적용들

3중 상관관계 방법은 가우스 노이즈가 가우스 노이즈에 의해 손상된 신호를 처리하기 위해 신호 처리에 자주 사용된다. 특히, 3중 상관관계 기법은 신호의 다중 관측을 사용할 수 있고 신호가 관측치 사이에서 변환되고 있을 때 적합하다. 예를 들어,시끄러운 배경에서 번역하는 사물이러한 작업에 특히 유용한 3중 상관관계는 (1) 기본 신호의 변환에 따라 불변하며, (2) 가우스 노이즈에 편중되지 않으며, (3) 기본 신호에 관련된 거의 모든 위상 정보를 유지한다.삼중 상관관계의 특성 (1)-(3)은 많은 경우에 임의의 국소적 소형 그룹의 기능까지 확장되며, 특히 컴퓨터 비전과 신호 처리에서 발생하는 유클리드 공간의 회전 및 경직된 움직임 그룹으로 확장된다.

그룹으로 확장

삼중 상관관계는 그룹의 왼쪽-invariant Har 측정을 사용하여 국소 소형 그룹에 대해 정의할 수 있다.기본 함수의 왼쪽 번역에 따라 결과 객체가 불변하며 가우스 노이즈에 편중되지 않음을 쉽게 알 수 있다.더 흥미로운 것은 고유성에 대한 질문이다: 두 함수가 동일한 삼중 상관 관계를 가질 때, 함수는 어떻게 연관되어 있는가?많은 실제 관심 사례에서 추상 그룹에 대한 함수의 삼중 상관관계는 단일 미지의 그룹 작용까지의 함수를 고유하게 식별한다.이러한 고유성은 폰트랴긴 이원 정리, 타나카-크레인 이원 정리, 이와호리-스기우라, 타츠마 등의 관련 결과에 의존하는 수학적 결과물이다.2차원과 3차원의 회전 그룹뿐만 아니라 유클리드 공간의 3중 상관관계에서 대역제한 기능을 복구하기 위한 알고리즘이 존재한다.또한 비에너의 타우베리아 정리와의 흥미로운 연결고리가 있다: ${\displaystyle G}$가 국소적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹인$$L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( G$){\displaystyle L_{1}(G)}$에서 번역이 밀도 높은 모든 함수는 그 삼중 상관관계로도 고유하게 식별된다.

참조

• K. 하셀만, W. 멍크, G.맥도널드(1963년), "바다 물결의 비스펙트라" (M. Rosenblatt, Ed, New York: Wiley, 125-139).
• Gamo, H. (1963). "Triple Correlator of Photoelectric Fluctuations as a Spectroscopic Tool". Journal of Applied Physics. 34 (4): 875–876. Bibcode:1963JAP....34..875G. doi:10.1063/1.1729553.
• Yellott, J.; Iverson, G. J. (1992). "Uniqueness properties of higher-order autocorrelation functions". Journal of the Optical Society of America A. 9 (3): 388. Bibcode:1992JOSAA...9..388Y. doi:10.1364/JOSAA.9.000388.
• R. 카카랄라(1992) 그룹에 대한 삼중 상관, 박사.논문, 어바인 캘리포니아 대학교 수학학부.
• R. Kondor(2007), "이미지에 대한 회전 및 변환 불변 기능의 전체 집합", arXiv:cs/0701127