타나카-크레인 이중성

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수학에서 Tannaka-Krein 이중성 이론은 콤팩트한 위상학적 그룹의 상호작용과 그것의 선형 표현 범주에 관한 것이다.그것은 콤팩트한 그룹과 이산적인 공동 위상학 그룹 사이에 있는 폰트랴긴 이중성의 자연적인 확장이다.이 이론은 타다오 탄나카(Tadao Tannaka)와 마크 그리고리예비치 크레인의 이름을 따서 명명되었다.Lev Pontryagin이 고려하는 대화집단의 경우와 대조적으로, 비협정적 콤팩트 집단에 이중으로 나타나는 개념은 집단이 아니라 G의 유한차원 표현에 의해 형성된 일부 추가 구조와의 표현 범주 π(G)이다.

Tannaka와 Krein의 이중성 이론은 범주 Ⅱ(G)에서 그룹 G로 역행하는 통로를 다시 묘사하여 그룹을 표현 범주에서 회복시킬 수 있게 한다.게다가, 그들은 실제로 이런 방식으로 그룹에서 발생할 수 있는 모든 범주를 완전히 특성화한다.알렉산더 그로텐디크는 후에 비슷한 과정에 의해 탄나카 이중성이 탄나키아의 형식주의를 통해 대수집단의 사례로 확대될 수 있다는 것을 보여주었다.한편 타나카·크레인의 원론은 수학적 물리학자에 의해 계속 발전하고 다듬어졌다.타나카-크레인 이론의 일반화는 양자 집단의 표상을 연구하기 위한 자연적인 틀을 제공하며, 현재 양자 슈퍼그룹, 양자 그룹오이드, 이중 호프알헤브로이드 등으로 확장되고 있다.

Tannaka-Krein 이중성의 개념: 집단의 표현 범주

지역적으로 콤팩트한 통신 그룹에 대한 폰트랴긴 이중성 이론에서, 그룹 G에 대한 이중 개체는 그것의 $캐릭터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 그룹 G${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ , ${\displaystyle {\g}$이며, 그것의$$ 1차원적인 단일 표현으로 구성된다.만약 우리가 그룹 G를 비확정적으로 허용한다면, 캐릭터 그룹의 가장 직접적인 아날로그는 G의 불가해한 단일 표현들의 동등성 등급들의 집합이다.캐릭터 생산물의 아날로그는 표현의 텐서 생산물이다.그러나 일반적으로 G의 수정 불가능한 표현은 수정 불가능한 표현으로 이루어진 텐서 제품이 반드시 수정 불가능한 것은 아니기 때문에 집단을 형성하거나 심지어 단면체도 형성하지 못한다.모든 유한차원 표현 중에서$$ $){\displaystyle \Pi(G)}$을(를) 세트하여 하나의 범주로 취급할 필요가 있는 것으로 나타났는데, 여기서 제품은 일반적인 표현 텐서 곱이며 이중 개체는 반론적 표현 조작에 의해 주어진다.

범주 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \Pi (G)}$의 표현은 ID 펑터 ${\displaystyle {\mathrm{ID}}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$G${\displaystyle {}_{}}$) ${\$에서 그 자체로$$ 단일 자연 변환된 것이다$$.In other words, it is a non-zero function ${\displaystyle \varphi }$ that associates with any ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)}$ an endomorphism of the space of T and satisfies the conditions of compatibility with tensor products, ${\displaystyle \varphi (T\otimes U$$)=\varphi (T)\otimes \varphi (U)}$, and with arbitrary intertwining operators ${\displaystyle f\colon T\to U}$, namely, ${\displaystyle f\circ \varphi (T)=\varphi (U)\circ f}$.The collection ${\displaystyle \Gamma (\Pi (G))}$ of all representations of the category ${\displaystyle \Pi (G)}$ can be endowed with multiplication ${\displaystyle \varphi \psi (T)=\varphi (T)\psi (T)}$ and topology, in which convergence is defined pointwise, i.e., a sequence $$${\displaystyle \{\varphi _{a}\}}$ converges to some ${\displaystyle \varphi }$ if and only if ${\displaystyle \{\varphi _{a}(T)\}}$ converges to ${\displaystyle \varphi (T)}$ for all ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)}$. It can be shown that the set $$${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ (${\displaystyle \mathrm{\pi }}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle \Gamma (\Pi (G))}$ 따라서$$ 콤팩트(토폴로지) 그룹이 된다.

타나카·크레인의 정리

타나카 씨의 정리는 그 표현 범주 Ⅱ(G)에서 콤팩트 그룹 G를 재구성하는 방법을 제공한다.

G를 콤팩트한 그룹으로 하고 F: π(G) → Vect는_C G의 유한차원 복합 표현에서 복합 유한차원 벡터 공간까지의 망각적인 펑터(functor)가 된다.One puts a topology on the natural transformations τ: F → F by setting it to be the coarsest topology possible such that each of the projections End(F) → End(V) given by ${\displaystyle \tau \mapsto \tau _{V}}$ (taking a natural transformation ${\displaystyle \tau }$ to its component ${\displaystyle \tau _{V}$$}$의 V ${\displaystyle \in }$ ∈${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$) ${\displaystyle V\in \Pi (G)}$ $)$은 연속 함수다.We say that a natural transformation is tensor-preserving if it is the identity map on the trivial representation of G, and if it preserves tensor products in the sense that ${\displaystyle \tau _{V\otimes W}=\tau _{V}\otimes \tau _{W}}$. We also say that τ is self-conjugate if ${\displaystyle$$$막대가 복잡한 결합을 나타내는$$ ${\overline$ {\$tau }=\tau$}.그러면 F의 모든 텐서 보존 자가 콘주게이트 자연 변형 중 $세트$ T${\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {T}(G)}$은 End(F)의 닫힌 부분집합으로, 사실 G가 (compact) 그룹일 때마다 a (compact) 그룹이다.G의 모든 원소 x는 각 표현에서 x에 의한 곱셈을 통해 텐서 보존의 자기 콘주게이트 자연적 변환을 일으켜, $지도{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle T}$( G$){\displaystyle G\to {\mathcal{T}(G)}}$를 가지고 있다$.$그리고 탄나카의 정리에서는 이 지도가 이형성이라고 말한다.

크린의 정리는 다음과 같은 질문에 답한다: 어떤 범주가 콤팩트한 집단에 대한 이중의 대상으로 발생할 수 있는가?

π은 유한차원 벡터 공간의 범주로, 텐서 제품의 작동과 비자발성을 부여한다.π이 콤팩트 그룹 G의 이중 물체가 되기 위해서는 다음의 조건들이 필요하고 충분하다.

1. ⊗의 모든 객체 A(이형성에 따라 반드시 고유해야 함)에$$ $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I\otimotimes A\약 A}$라는 속성을$$ $가진{\displaystyle }$ 개체$$I {\$displaystyle$ I$}$이(가) 존재한다.

2. π의 모든 물체 A는 최소 물체의 합으로 분해될 수 있다.

3. A와 B가 두 개의 최소 물체라면 동형체 Hom_Π(A, B)의 공간은 1차원(이형체일 때)이거나 0과 같다.

이 모든 조건이 충족되면 범주 π = π(G), 여기서 G는 π의 표현 그룹이다.

일반화

1980년대에 드린펠트와 짐보의 작품에서 양자 그룹이 발견되면서 타나카-크레인 이원론에 대한 관심이 다시 높아졌다.양자 집단의 연구에 대한 주요 접근법 중 하나는 유한차원 표현을 통해 진행되는데, 이는 대칭 단면체 범주 π(G)와 유사한 범주를 형성하지만, 보다 일반적인 유형의 땋은 단면체 범주에서 이루어진다.이 경우에도 타나카-크레인 유형의 좋은 이중성 이론이 존재하며 양자 그룹과 그 대표성을 모두 연구할 수 있는 자연적인 설정을 제공함으로써 양자 그룹 이론에 중요한 역할을 하는 것으로 밝혀졌다.얼마 지나지 않아 땋은 단면체 범주의 다른 예들이 이성적 일치장 이론에서 발견되었다.타나카-크레인 철학은 일치장 이론에서 발생하는 땋은 단면체 범주도 양자 집단에서 얻을 수 있다고 제안하고 있으며, 일련의 논문에서 카즈단, 루슈티그는 그것이 사실이라는 것을 증명했다.반면 특정 양자군에서 발생하는 땋은 단면체 범주는 레셰티킨과 투라예프가 새로운 노트의 불변제 건설에 적용했다.

도플리허-로버트 정리

도플리허-로버트 정리(세르지오 도플리허와 존 E. 로버츠에 기인)는 범주 이론 측면에서 대표(G)를 힐버트 공간 범주의 한 유형으로 특징짓는다.^[1]힐버트 공간에 대한 콤팩트 그룹 단일 표현들의 하위 범주는 다음과 같다.

1. 엄격한 대칭 단면체 C* 범주(접합체 포함)
2. 단면체 단위의 내형성 C*-알지브라에 스칼라만 포함하도록 하위 개체와 직접 합계를 갖는 하위 범주

참고 항목

• 겔판트-나이마크 정리

메모들

외부 링크

• Mico Durdevic의 Quantum 기본 번들 및 Tannaka-Krein 이중성(중단된 링크: ArXiv에서 이 페이지 참조 또는 [Wayback Machine에서 이 페이지 https://archive.org/details/arxiv-q-alg9507018 참조)
• Alfons Van Daole(Involves Tannaka-Krein)의 불변 통합 양자 그룹
• Joyal, A., Street, R. (1991), An introduction to Tannaka duality and quantum groups (PDF), Springer Berlin Heidelberg, doi:10.1007/BFb0084235