삼각대패킹

콤비네이터학에서 삼각대 패킹은 3차원 그리드에서 많은 불연속 삼각대를 찾는 문제인데 삼각대는 무한 폴리큐브로서, 공유 정점을 가진 3개의 양축 정렬 광선을 따라 격자 정사각형을 결합한 것이다.^[1]

타일링과 포장 삼각대 및 관련 모양에 대한 몇 가지 문제점은 1967년 셔먼 K에 의해 공식화되었다. 스타인.^[2] 스타인은 원래 이 문제의 삼각대를 "수크로스"라고 불렀고, 솔로몬 W. 골롬에 의해 스타인 코너라고 불리기도 했다.^[3]차갑삼각대 수집한 간결하게는 단조 매트릭스의 영이 아닌 항목 각 행과 기둥 사이 그리고 동등한 영이 아닌 항목 cells,[4]의 단조 수열에 문제도 또한 3배가 집합한 호환성 상태를 충족시키면 찾기의 관점에서 추진될 수 있도록 배치된 증가한 정방 행렬로 표시할 수 있다. 없어lled "2-162" 또는 볼록한 다각형에서 호환 가능한 삼각형 집합을 찾음.^[1]

The best lower bound known for the number of tripods that can have their apexes packed into an ${\displaystyle n\times n\times n}$ grid is ${\displaystyle \Omega (n^{1.546})}$, and the best upper bound is ${\displaystyle n^{2}/\exp \Omega (\log ^{*}n)}$, both expres큰 오메가 표기로 ^[1][5]된

등가문제

삼각대 문제에 대한 해결책의 꼭지점의$$ 좌표$({\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ) ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i}}}})$는 2-비교적인 3쌍 세트를 형성하며, 여기서 3쌍 중 하나가 다른 좌표보다 작거나 적어도 2개의 좌표가 있는 경우 2-비교로 정의된다.한 세배가 다른 세배보다 크다.이 조건은 이러한 세 쌍으로부터 정의된 삼각대에 교차 광선이 없음을 보장한다.^[1]

질문의 다른 등가 2차원 $버전$에서는${\displaystyle n}$ ×$$n {\$displaystyle n$} 배열의$$ 셀(색인: $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$에서 n$${\$displaystyn}$까지$)$을 비어 있지 않은 방법으로 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle n}$에서 $}$까지의 숫자로 채울 수 있는 셀 수를 묻는다.배열의 각 행과 각 열의 셀은 숫자의 순서를 엄격히 증가시키고, 각 값 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 고정하는 위치는 배열 내에서 단조로운 체인을 형성한다$$.이러한 속성을 가진 배열을 단조 행렬이라고 한다.꼭지점$({\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle {yi}_{}}$$,$ ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ) ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i}}}})$이 있는 분리형 삼각대 모음은 어레이${\displaystyle }$셀$($ ${\displaystyle i_{}}$에 ${\displaystyle {숫자}_{}}$ z$${\$displaystyle$ $z_$${i}}}$을 배치하고 그 반대의 경우 단일 행렬로 변환할 수 있다$$.^[1]

문제는 또한 정점을 공유하는 두 개의 삼각형이 그 정점에 내포된 각도를 가지지 않도록 볼록한 다각형의 정점 중에서 가능한 한 많은 삼각형을 찾는 것과 동등하다.이 삼각형 카운팅 문제는^[6] 피터 브라제가 제기했으며 삼각대 포장과의 동등성은 아로노프 외 연구진이 관찰했다.^[1]

하한

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \Oomega (n^{3/2})$ 삼각대에서는$$ 삼각대 패킹 문제에 대한 해결책을 찾는 것이 간단하다.^[1]예를 들어 $k{\displaystyle }$=${\displaystyle }$=${\displaystyle n}$n ${\displaystyle$ k$=\lfloor {\sqrt{n}\$sqrt{n}\$rfloor }}$의 경우$$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}({}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}/}^{}}$2)(n 3/${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaysty \Oomega(n^{3/2})$ 3배수$$

2인치 짜리 입니다.

이 순발력 바인딩에 대한 몇 번의 초기 개선 후에,^[7][8][9] Gowers와 Long은 카디널리티 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle {}^{\mathrm{}1}}$.$){\displaystyle \Oomega (n^{1.546}})$의 삼각대 문제에 대한 해결책을 찾았다$.$^[5]

상한

삼각대 패킹 문제에 대한 어떤 해결책에서든, 정점이 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $0$$}$에서 n${\displaystyle }$-$$까지 세 개의 숫자 복사본인 균형잡힌 $삼분법$ 그래프를 도출할 수 있으며,$$ 정점은 정점 3개의 좌표마다 정점에 해당하는 세 개의 정점을 연결하는 삼각형 모양의 모서리가 있다.각 삼각대마다다른 삼각형은 2-비교성 위반으로 이어질 수 있기 때문에 이 그래프에는 다른 삼각형이 없다(로컬 선형 그래프).따라서 Ruzsa-Szemerdi 문제에 대한 알려진 상한을 기준으로(이 중 하나는 균형 잡힌 3부 선형 그래프에서 가장자리의 최대 밀도를 찾는 것이다), $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaysty n\times n}$ 그리드에$$ 포장될 수 있는 최대 분리형 삼각대 수는$$${\displaystyle {}^{}}$(n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystystyled o(n$^{{{{$n^}).$비록 Tiskin은"매개 변수의 보다 엄격한 분석"는 2차보다지 않공급 세부 사항과 그의 증명은 그 전화 번호 OOO(n2)는polylogarithmic factor,[9]으로써 더 적게는 바운드를 수 있다고 쓴다. 그리고 더욱 정밀하게 n2/지수 함수(로그 ∗⁡ n){\displaystyle n^{2}/\exp \Omega(\log ^{*}n)}.[1][5][9][10]Ω ⁡. {\displaystyle$o(n^{2})}$는 루즈사-스제메르디 문제에 대해 알려진 것과 동일한 기술만을 사용하므로$$, 이 더 강력한 주장은 실수인 것으로 보인다.^[1]

딘 히커슨의 주장은 삼각대는 일정한 밀도로 공간을 채울 수 없기 때문에 더 높은 차원의 유사 문제에서도 마찬가지라는 것을 보여준다.^[4]

작은 인스턴스

삼각대 문제의 작은 사례에 대해서는 정확한 해결책이 알려져 있다.${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\$$displaystyle n\time$ $n$$}$큐브에$$ 포장할 수 있는 삼각대 수는 $다음$과 같다$.$^{[9][11][12][13]}

예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{그림}}$은 $5{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ 5 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 5}$ $[\displaystyle 5\time 5}$ 큐브에$$ 넣을 수 있는 11개의 삼각대를 보여준다.

$n$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,$$…에 $대한{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ $n$$\}$ 순서의 고유한 단일 행렬 수는 $다음$과^[14] 같다$.$

참조