매클라우린의 트리섹트릭스

기하학에서 매클라우린의 트라이섹트릭스는 트라이섹트릭스 특성으로 주목할 만한 입방 평면 곡선으로, 한 각도를 트리섹션하는 데 사용할 수 있다는 뜻이다. 두 선의 교차점 위치(각각 개별점에 대해 균일한 속도로 회전)로 정의하여 회전율이 1:3이고 선들이 처음에는 두 점 사이의 선과 일치하도록 할 수 있다. 이 건축물의 일반화를 마클로린의 종파라 부른다. 이 곡선은 1742년 이 곡선을 조사한 콜린 매클라우린의 이름을 따서 명명되었다.

방정식

Let two lines rotate about the points ${\displaystyle P=(0,0)}$ and ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ so that when the line rotating about ${\displaystyle P}$ has angle ${\displaystyle \theta }$ with the x axis, the rotating about ${\displaystyle P_{1}}$ has angle ${\d$$isplaystyle 3\theta$ $\}.$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$을(를) 교차점으로 하고$$, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에서 선으로 형성된 각도는 2$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$이다$.$ sine의 법칙에 따르면,

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta}={a \over \sin 2\theta }\!}$

극좌표 방정식은 (번역 및 회전까지)

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )\!}$.

따라서 곡선은 드 슬루제 계열의 콘코이드 계열의 일원이다.

데카르트 좌표에서 이 곡선의 방정식은

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= a${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\$}\!}$$.

원점을 (a, 0)로 이동하면 위에서 주어진 것과 유사한 파생을 통해 극좌표에서 곡선의 방정식이 되는 것을 알 수 있다.

$############################3}$

고리가 달린 리마콘의 본보기가 되어.

삼분법 속성

각도 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이$($${\displaystyle \mathrm{가}}$) 주어진 경우, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -축과의$$ 각도가$$from$$ {\$displaystyle \pi }$인${\displaystyle }$(${\displaystyle }$,$$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (a,0$)}에서 광선을 그린다$.$ 원점에서 첫 번째 광선이 곡선과 교차하는 지점까지 그린다. 그런 다음, 곡선의 구성에 의해 두 번째 레이와 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -축$$ 사이의 각도가 $\varphi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}${\$displaystyle \phi /3}$이다.

주목할 만한 점 및 특징

곡선은 3 $\frac{{\displaystyle a}}{}$ $\frac{}{}$의 x 절편과 원점에$$2개의 점이 있다$.$ 수직선 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$\a \}$이상 \}}$은(는) 점근상이다. 곡선은 $(,{\displaystyle }$± ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{})}$ ${\displaystyle(a,{\pm{1\over{\sqrt{3}a}}}$에서 직각의 삼분법에 해당하는 점 x = a, 또는 선과 교차한다$.$ 단절 입방체로서 0이다.

다른 곡선과의 관계

맥클라우린의 트리셉트릭스는 원뿔 부분에서 세 가지 방법으로 정의될 수 있다. 구체적으로:

• 그것은 하이퍼볼라의 단위 원에 관한 역이다.

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle a}$( ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2$

• 그것은 원의 시스소이드다.

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}}=a^{2}}:$

${\displaystyle 그리고\frac{}{}}$ 선 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{원점}}{}}$에$$상대적인 2 {\$displaystyle$ x={a$\a$ \$cHB2}$

• 그것은 포물선의 기원에 관한 페달이다.

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 2 ${\displaystyle a}$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$) ${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac{3}{2}}a)}$.

추가 사항:

• 점$(,{\displaystyle 0}$) ${\displaystyle(a,0)}$에 대한 역은 리마손 트리섹트릭스다.
• 매클라우린의 트리스펙트릭스는 아핀 변환에 의한 데카르트의 폴륨과 관련이 있다.

참조

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 36, 95, 104–106. ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. "Maclaurin Trisectrix". MathWorld.
• MacTutor의 유명한 곡선지수에서 "Maclaurin의 트리섹트릭스"
• 맥클라우린 트리섹트릭스 mathcurve.com
• 특수 평면 곡선 시각 사전의 "맥클라우린 트리셉트릭스"

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 맥클라우린의 트리섹트릭스와 관련된 미디어가 있다.

• 로이, 짐 "각도의 추적", 6부