비틀린 헤시안 곡선

수학에서 비틀린 헤시안 곡선은 헤시안 곡선의 일반화를 나타낸다. 타원곡선 암호법으로 도입되어 더하기와 두 배의 공식을 가속화하고 강력한 통일 산수를 갖게 되었다.일부 작업(마지막 섹션 참조)에서는 속도가 Edwards 곡선에 가깝다.

정의

K를 들판이 되게 하라.뒤틀린 헤시안 곡선에 따르면^[1] 번스타인, 랑게, 코헬이 도입했다.

부속 좌표에서 비틀린 헤시안 형태는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle a\cdot x^{3}+y^{3}+1=d\cdot x\cdot y}$

및 투영 좌표:

${\displaystyle a\cdot X^{3}+Y^{3}+Z^{3}}}=d\cdot X\cdot Y\cdot Z}$

여기서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle X\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{Z}{}}$ ${\$ x$={\frac {X}{Z}}$ 및$$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle Y\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{Z}{}}$ ${\$ 및 a$$, d(K)

이러한 곡선은 헤시안 곡선과 합리적으로 동등하다는 점에 유의한다.

헤시안 곡선은 a=1을 갖는 트위스트 헤시안 곡선의 특수한 경우일 뿐이다.

a · x³ + y³ + 1 = d · x · y 등식을 고려할 때 다음 사항에 유의하십시오.

만약 a가 K에 큐브 루트를 가지고 있다면, a = b와³ 같은 독특한 b가 존재한다.그렇지 않으면 K(예: K)(a^1/3)의 확장 필드를 고려할 필요가 있다.그 후, b³ · x³ = bx³, t = b · x를 정의하기 때문에, 변환을 하기 위해서는 (헤시안 형식에서) 다음과 같은 방정식이 필요하다.

${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t^{3}+y^{3}+1=d\cdot x\cdot y}$.

이는 트위스트 헤시안 곡선이 바이에스트라스 형태의 타원곡선과 비합리적으로 동일하다는 것을 의미한다.

집단법

(단순 전력 분석과 차동 전력 분석 공격이 이들 운용의 가동 시간을 기반으로 하기 때문에) 덧셈과 두 배의 공식을 정의하면서 타원곡선의 그룹 법칙을 분석하는 것이 흥미롭다.일반적으로 집단법은 다음과 같은 방법으로 정의된다: 3개의 점이 같은 선에 있으면 0까지 합한다.그래서, 이 속성에 의해, 그룹 법칙에 대한 명시적인 공식은 곡선 모양에 따라 달라진다.

P = (x₁, y₁)를 점으로 하고, 그 역은 평면에서 -P = (x₁/y₁, 1/y₁)이다.투영 좌표에서 P = (X : Y : Z)를 1점으로 하고, -P = (X₁/Y₁ : 1/Y₁ : Z)는 P의 역점이다.

또한 중성 요소(부착면)는 : = (0, -1)이고 투영 좌표: θ = (0 : -1 : 1)이다.

타원 곡선 암호화와 정수 인자화(ECM)의 타원 곡선 방법의 일부 적용에서는 P의 스칼라 곱셈을 계산해야 하며, 일부 정수 n에 대해서는 [n]P라고 하며, 이중 및 추가 방법에 기초하므로, 추가 및 이중화 공식이 필요하다.

이 타원형 곡선에 대한 추가 및 두 배의 공식은 부호 좌표를 사용하여 표기법을 단순화할 수 있다.

추가 수식

let p = (x₁₁, y)와 Q = (x₂₂, y)로 한다. 그러면 R = P + Q = (x₃, y₃)는 다음 방정식으로 주어진다.

${\displaystyle x_{3}={\frac {x_{1}-y_{1}^{2}\cdot x_{2}\cdot y_{2}}:{a\cdot x_{1}{1}\cdot y_{1}{1}{2}-y_{2}}:$

${\displaystyle y_{3}={\frac {y_{1}\cdot y_{2}^{2}-a-a-\cdot x_{1}{2}}:{a\cdot x_{1}{1}}\cdot y_{1}{2}^{2}-y_{2}}:}$

더블링 공식

P = (x, y)로 하고 [2]P = (x₁₁, y)는 다음 방정식으로 주어진다.

${\displaystyle x_{1}={\frac {x-y^{3}\cdot x}{a\cdot y\cdot x^{3}-y}}}}}$

${\displaystyle y_{1}={\frac {y^{3}-a\cdot x^{3}{a\cdot y\cdot x^{3}-y}}}}}$

알고리즘 및 예제

여기에 더하기 및 두기 법칙의 효율적인 알고리즘이 제공된다. 그것들은 암호 계산에서 중요할 수 있으며, 투영 좌표는 이 목적에 사용된다.

덧셈

${\displaystyle A=X_{1}\cdot Z_{2}}$

${\displaystyle B=Z_{1}\cdot Z_{2}}$

${\displaystyle C=Y_{1}X_{2}}$

$D=Y_{1}\cdot Y_{2}}$

${\displaystyle E=Z_{1}\cdot Y_{2}}$

${\displaystyle F=a\cdot X_{1}\cdot X_{2}}$

${\displaystyle X_{3}=A\cdot B-C\cdot D}$

${\displaystyle Y_{3}=D\cdot E-F\cdot A}$

${\displaystyle Z_{3}=F\cdot C-B\cdot E}$

이 알고리즘의 비용은 12 곱하기, 1 곱하기 1과 3 더하기이다.

예:

P₁ = (1 : -1 : 1)와 P₂ = (-2 : 1 : 1)를 a=2와 d=-2로 뒤틀린 헤시안 곡선 위의 점으로 한다.R = P + P는₁₂ 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A=-1;B=-1;C=-1;D=-1;E=1;F=2;}$

${\displaystyle x_{3}=0}$

${\displaystyle y_{3}=-3}$

${\displaystyle z_{3}=-3}$

즉, R= (0 : -3 : -3)이다.

더블링

${\displaystyle D=X_{1}^{3}}}$

${\displaystyle E=Y_{1}^{3}}$

${\displaystyle F=Z_{1}^{3}}}$

$G=a=cdot D}$

${\displaystyle X_{3}=X_{1}\cdot(E-F)}$

${\displaystyle Y_{3}=Z_{1}\cdot(G-E)}$

${\displaystyle Z_{3}=Y_{1}\cdot(F-G)}$

이 알고리즘의 비용은 3 곱하기 3개, 상수 곱하기 1개, 추가하기 3개, 입방체 3개 입니다.이것은 이 곡선에 대해 얻은 최고의 결과물이다.

예:

P = (1 : -1 : 1) 위에서와 같이 a=2와 d=-2로 정의한 곡선 위의 점으로 하고, R = [2]P = (x₃ : y₃ : z₃)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle D=1;E=-1;F=1;G=-4;}$

${\displaystyle x_{3}=-2}$

${\displaystyle y_{3}=-3}$

${\displaystyle z_{3}=-5}$

즉, R = (-2 : -3 : 5)이다.

참고 항목

• 타원 곡선에서의 운영 비용 표

외부 링크

• http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/index.html

참조

• http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-twistedhessian.html