2소 부울 대수

수학 및 추상대수에서 2요소 부울대수는 기본 집합(또는 우주 또는 반송파) B가 부울 영역인 부울대수다.부울 영역의 원소는 관례상 1과 0이므로 B = {0, 1. 이 대수 "2"에 대한 폴 할모스의 이름은 문헌에 다음과 같은 것이 있으며, 여기에서 채용될 것이다.null

정의

B는 부분적으로 순서가 정해진 집합이고 B의 요소도 그 한계다.null

arity n의 연산(operationⁿ of arity n)은 B에서 B로 매핑하는 것이다.부울대수는 두 개의 이항 연산 및 단항 보완으로 구성된다.이항 연산은 다양한 방법으로 명명되고 공증되었다.여기서 그것들은 'sum'과 'product'로 불리며, 각각 infix '+'와 '∙'로 표기된다.총량과 제품은 실제 숫자의 일반적인 대수에서와 같이 통근하고 연관된다.운용 순서에 대해서는, 브라켓이 있으면 결정적이다.그렇지 않으면 '+' 앞에 '∙'가 나타난다.따라서 A∙B + C는 (A∙B) + C로 구문 분석되며, A∙(B + C)는 구문 분석되지 않는다.보완은 그 주장에 대한 개요를 쓰는 것으로 증명된다.X의 보어의 숫자 아날로그는 1 - X이다.유니버설 대수학 언어에서 부울 대수학( $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ 대수학)은 $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ B $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ + $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ , $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ . $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ . . . $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ . $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ , $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ ${\displaystyle \langle$ B $,+,{\overline {.$ $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ 1, $0\rangele }$ 유형 $\langle B,+,\overline {..$ $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ 2, $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ 1, $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ , $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ ${\displaystyle \langle$ 2,2,1 $,0,0\rangele }$ .

{0,1}과(와) {True,False} 사이의 일대일 대응은 고전적인 이변 논리를 등분 형태로 산출하며, 보충은 NOT로 읽힌다.1을 True로 읽으면 '+'를 OR로, '∙'를 AND로 읽으며, 1을 False로 읽으면 그 반대로 읽힌다.이 두 가지 연산은 부울 연산으로 알려진 정류적 연산을 정의한다.null

기본 정체성

2는 다음과 같은 사소한 "부울" 산술에 근거한 것으로 볼 수 있다.

{\pairline}&amp;1+1=1+0=0+1=1+1=1\&0\&0\cdot 0=0\cdot 1=0\\&#1\cdot 1=1\&amp;{\overline {{}}}}}}}}{0=1norigned}}}}}}}}}}}

참고:

'1+1=1'을 제외하고 '+'와 '∙'는 숫자 산술과 정확히 일치한다.'+'와 '∙'는 숫자 산술에서 유추하여 얻은 것이다. 0이 아닌 숫자를 1로 설정하기만 하면 된다.
스와핑 0과 1, 그리고 '+'와 '∙'는 진리를 보존한다; 이것이 모든 부울 알헤브라를 관통하는 이중성의 본질이다.

이 부울 산술은 공리를 포함한 2의 모든 방정식을 각 변수에 대한 0과 1의 가능한 할당을 검토하여 검증하기에 충분하다(결정 절차 참조).null

이제 다음 방정식을 확인할 수 있다.

{\begin{aigned}&A+A=A\\&A\cdot A=A\\\&A+0=A\\&A+1=1\&A\cdot 0=0\\&gt;{\overline {A}=A\end{arged}}}

'+'와 '∙'는 각각 다른 하나에 분배된다.

$[\displaystyle \A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C;}$
$\displaystyle \ A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)}$

'+'로 분배하는 '∙'는 초등 대수학과는 동의하지만, '∙'로 분배하는 '+'는 아니다.이것과 다른 이유로, 총량(NAND 합성 유도)보다 총량(NAND 합성 유도)이 더 일반적으로 사용된다.null

'+'와 '∙'는 각각 다른 것과 보완의 관점에서 정의될 수 있다.

$A\cdot B={\overline {{A}+{\overline{B}}}$
$A+B={\overline {{A}\cdot {\overline{B}}}$

우리는 단지 한 번의 2진법만 있으면 되는데, 그것을 나타내기에 충분한 연결이다.따라서 연결과 과대봉은 2로 충분하다.이 표기법은 Quine의 부울 용어 schemata의 표기법이기도 하다.레팅 (X)은 X의 보완을 나타내며 (")"은 0 또는 1 중 하나를 나타내며 G. 스펜서-브라운의 형식 법칙의 1차 대수학 구문을 산출한다.null

2의 근거는 공리라고 불리는 방정식의 집합으로, 위의 방정식(이상)을 모두 도출할 수 있다.모든 부울 알헤브라를 위한 많은 알려진 근거들이 있고 따라서 2개의 근거지가 있다.연결 및 오버바만 사용하여 고지한 우아한 근거는 다음과 같다.

${\displaystyle$ $BCA}($ Concatenation communcomments, associates)
${\overline {A}}A=1$ = ${\overline {A}}A=1$ ${\displaystyle {\overline{A}A=1}($ 2는 보완 격자, 상한 1)
$\ A0=A$ = $\ A0=A$ ${\displaystyle$ \ $A0=A}($ 0은 하한이다.
$A{\overline {AB}}=A{\overline {B}}$ $A{\overline {AB}}=A{\overline {B}}$ 의 $A{\overline {AB}}=A{\overline {B}}$ $A{\overline {AB}}=A{\overline {B}}$ $A{\overline {AB}}=A{\overline {B}}$ 의 ${\$ 2는 분배 격자)

여기서 연결 = OR, 1 = 참, 0 = 거짓, 또는 연결 = AND, 1 = 거짓, 0 = 참.(오버바(overbar)는 두 경우 모두 부정)null

0=1, (1)-(3)가 아벨 집단의 공리라면.null

(1) 연결은 통근 및 관계자를 증명하는 역할만 한다.먼저 (1) 왼쪽 또는 오른쪽 중 어느 한쪽에서 연관되어 있다고 가정하고, 그 다음 동시성을 증명한다.그럼 다른 방향에서 연관성을 증명해봐연관성은 단순히 좌우를 합친 것부터의 연관성일 뿐이다.null

This basis makes for an easy approach to proof, called "calculation" in Laws of Form, that proceeds by simplifying expressions to 0 or 1, by invoking axioms (2)–(4), and the elementary identities $AA=A,{\overline {\overline {A}}}=A,1+A=1$ , and the distributive law.null

메타테오리

De Morgan의 정리에서는 주어진 순서에 따라 어떤 부울함수에도 다음과 같은 일을 한다면 다음과 같이 기술하고 있다.

모든 변수를 보완한다.
'+' 및 '∙' 연산자 교체(작업 순서가 동일하게 유지되도록 브래킷 추가에 주의)
결과를 보완한다.

결과는 논리적으로 당신이 시작한 것과 같다.De Morgan의 정리를 함수의 일부에 반복적으로 적용하는 것은 모든 보완을 개별 변수에까지 미치게 하는 데 사용될 수 있다.null

강력하고 비종교적인 메타테롬은 모든 부울 알헤브라를 위한 2의 어떤 정리도 가지고 있다고 말한다.^[1]반대로 임의의 비교 부울 대수를 보유하는 신분도 2를 보유한다.따라서 부울대수의 모든 수학적인 내용은 2에 의해 포착된다.이 정리는 의사결정 절차에 의해 2의 어떤 방정식도 검증될 수 있기 때문에 유용하다.논리학자들은 이 사실을 "2는 해독할 수 있다"라고 말한다.알려진 모든 의사결정 절차에는 검증할 방정식에 나타나는 변수 N의 수의 지수함수인 다수의 단계가 필요하다.N의 다항 함수가 N인 의사결정 절차가 존재하는지 여부는 P = NP 추측에 해당된다.null

참고 항목

참조

^ Halmos, Paul; Givant, Steven (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. doi:10.1007/978-0-387-68436-9. ISBN 978-0-387-40293-2.

추가 읽기

부울 대수에 관한 많은 기초 문헌들이 컴퓨터 시대 초창기에 출판되었다.아마도 가장 좋은 것, 그리고 여전히 인쇄 중인 것은 다음과 같다.

멘델슨, 엘리엇 1970년Schaum의 부울 대수 개요.맥그로-힐

다음의 항목들은 2요소 부울대수가 수학적으로 어떻게 비수학적인지를 보여준다.null

스탠포드 철학 백과사전: J. 도널드 몽크의 "부울 대수의 수학"
Burris, Stanley N, H.P. Sankapanavar, H. P. 1981.유니버설 대수학 과정.스프링거-베를라크.ISBN 3-540-90578-2.

[1] Halmos, Paul; Givant, Steven (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. doi:10.1007/978-0-387-68436-9. ISBN 978-0-387-40293-2.

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