통합 산란 함수

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통합 산란^[1] 기능은 계층 구조를 표시하는 무질서한 시스템에서 발생하는 소각 X선과 중성자 산란(및 경우에 따라서는 빛 산란)을 설명하기 위한 보편적인 접근법으로 1995년에 제안되었다.

개념.

산란이란 특정 구조 모델에 의존하지 않지만 매개변수가 특정 구조물에 다시 관련될 수 있는 산란 함수를 말한다. 산란 보편적 ^[2][3][4]설명의 개념은 약 1950년부터 존재해 왔다.보편 산란 함수의 두드러진 예는 귀니에의 법칙이다.

${{displaystyle I(q)=G\exp \leftflac {-q^{2}R_{g}{3}}\right}$

(1)

그리고 뽀로드의 법칙,

${\displaystyle I(q)=Bq^{-4}}$

(2)

여기서 G, R_g 및 B는 산란 대비, 구조 부피, 표면적 및 회전 반경에 관련된 상수입니다.q는 브래그 간격과 관련된 산란 벡터의 크기, d, q = 2µ/d = 4µ/sin(θ/2)이다.θ는 파장, θ는 산란각(회절시 2µ)이다.

기니에의 법칙과 뽀로드의 법칙은 모두 단일 구조 수준의 측면을 참조한다.구조레벨은 R로_g 표현할 수 있는 크기와 멱함수 붕괴에 반영되는 구조로 구성되어 있으며, 매끄럽고 날카로운 계면을 가진 고체물체의 경우 -4이다.다른 구조에서 멱함수 붕괴는 물체의 질량과 크기를 관련짓는 질량-프랙탈 치수 d를_f 산출하여 물체의 일부를 정의한다.예를 들어, 로드 값은_f d = 1이고 디스크_f 값은 d = 2입니다.멱함수에 대한 프리팩터는 솔리드 ^[3]객체의 표면 대 체적 비율, 체인 구조의^[5] 분기 내용,^[5] 다양한 객체의 회전 또는 구겨짐 정도와 같은 구조의 다른 세부 정보를 제공합니다.기니에 법칙의 선행 인자는 희석 조건 하에서 질량과 부피 비율을 산출합니다.오버랩 농도 이상(일반적으로 1~5 부피%)의 구조 스크리닝을 ^[6]고려해야 한다.

구조 수준의 일부만을 기술하는 이러한 보편적 함수 외에도, 일부 무질서한 시스템에 대해 단일 구조 수준을 기술할 수 있는 많은 산란 함수가 제안되었으며, 가장 흥미로운 것은 ^[7]제2차 세계대전 중에 파생된 가우스 폴리머 체인에 대한 데바이의 산란 함수이다.

${\displaystyle I(q)=G\left({\frac\exp\leftx\right)+x-1}{x^{2}}\right)}$

(3)

여기서 x = qR입니다²_g².eq. 3은 저q에서는 Eq.1로, 고q에서는 I(q) = Bq로⁻² 돌아간다. 이는 무작위 보행 ^{[citation needed]}또는 확산 경로의 2차원 특성을 반영한다.3항은 기니에 정권과 멱법 정권에 해당하는 단일 구조 수준을 의미한다.물체의 내부 또는 표면 구조와 관계 없이 물체의 전체 크기를 반영하는 Guinier 정리와 구조물의 세부사항을 반영하는 멱함수 법칙, 이 경우 질량-수평 치수가_f d = 2(선형 구조를 반영하는 1의 연결 차원) 및 최소.um 차원 2는 3d ^[5]공간에서 무작위 구성을 나타낸다.)

1990년대에는 폴리머와 유사한 복합체, 폴리올레핀 3의 복합체, 폴리올레핀, 폴리올레핀, 폴리올레핀 3의 복합체(, 폴리머)와 같은 복합체, 폴리에러, 친구nd 빗형 폴리머, 고분자 전해질, 미셀러 및 벌레 모양의 미셀과 같은 콜로이드 재료.또한 분석적으로 도출된 산란 함수는 계층적 재료의 다중 구조 수준을 설명할 수 없다.Eq.3에서 설명한 단순한 선형 가우스 고분자 사슬의 경우에도 다중 구조 수준의 관측은 매우 일반적이며, 이는 가장 높은 Q에서 I(q⁻¹) ^[8]= Bq를 따르는 막대 모양의 쿤 단위(수준 1)로 통계적으로 구성된다.계층적 재료의 일반적인 예로는 실리카, 티타니아, 카본 블랙 나노응집체(레벨 1)가 있으며, Porod 산란을 나타내는 고체 1차 입자(레벨 1)가 있으며, 중간 나노스케일(레벨 2)에서 상당히 단단한 질량-프랙탈 구조로 집적되어 마이크로스케일 고체 또는 네트워크 형태로 집적된다.(레벨 ^[9][10][5]3)이러한 구조 수준이 작은 각도 산란 패턴으로 겹치기 때문에, Eq.1과 Eq.2와 같은 다양한 멱함수를 사용하여 이러한 재료를 정확하게 모델링할 수 없었다. 이러한 이유로, 여러 구조 수준으로 확장될 수 있는 전역 산란 함수가 관심이었다.

1995년에^[1] 뷰케이지가 통합 산란 함수를 도출했습니다.

${\displaystyle I(q)=\textstyle \sum _{i}^{N}\left(G_{i}\exp \leftfac {-q^{2}{3}}\right)+\exp \frac {-q^{2}R {-g,i+1}^{2}R_{-right}^{-}^{2}^2}^2}^2}}}}^2}\lft]}}{3}}\오른쪽)B_{i}q_{i}^*-P_{i}}\right)\displaystyle }$

(4)

여기서 "i"는 가장 작은 크기로 시작하는 구조 수준을 의미하며, 가장 높은 Q. q는_i^* 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle q_{i}^{*}=frac {erf\leftfrac {kqR_{g,i}}{\surd 6}}{{3}}}}$

(5)

k는 솔리드 구조 수준(: < \ $displaystyle$3 < $P$_ { $i$} )의 경우 값이 1이고 질량-프랙탈 구조 $>$ P \ $displaystyle$3> P _ {i})의 경우 값이 약 1.06입니다.Eq. 4는 모든 구조물이 가장 큰 크기로 Eq. 1의 거동을 나타낸다는 것을 인식한다. 즉, 모든 구조물이 크기를 나타내며, 구조물이 불규칙하게 배치되어 있는 경우, 그 크기가 회전 반경에 의해 제어되는 작은 각도 산란에서 가우스 함수로 나타나며, 더 큰 물체는 더 작은 표준 편차를 나타내거나 더_g 큰 R을 나타낸다.고q에서 Eq.1은 표면 또는 내부 구조가 없는 물체를 반영하기 때문에 구조를 기술하지 못한다[8].제4절의 두 번째 항은 P와_i 프리팩터_i B를 통해 물체의 표면 또는 내부 구조에 관한 누락 정보(P와_i B가 G, R과_g,i 어떻게 관련되어_ii 있는지 포함)를 제공한다.뷰케지는 멱함수가 낮은 q까지 무한히 확장될 수 없고 q = > 0에서 유한 강도를 산출할 수 없기 때문에 일반적인 다단계 산란 함수를 얻는 문제가 2번 문항에 있음을 깨달았다.또한 그러한 함수는 Eq.1이 적절한 q의 범위에서 Eq.1의 거듭제곱을 초과한다.

참고문헌은 Eq. 2를 멱함수 법칙 체제의 예로 사용하여 Eq. 4의 가능한 몇 가지 파생 중 하나를 제공한다.입사빔과 산란빔의 간섭점을 연결하는 벡터로서 벡터 r을 가시화할 수 있다.r = 2µ/q. 여기서 q = 4µ/(sin θθ/2)는 역공간에서의 산란 벡터이다.산란이란 r로 구분된 두 개의 프린지 점에 산란 물질이 포함되어 있을 때 발생합니다.재료가 r/2에 있으면 파괴적 간섭이 발생합니다.따라서 고체 물체 내에는 항상 r/2 위치에 산란된 형태 재료를 부정하는 물질이 있습니다. 오직 표면에서만 대조 조건이 발생합니다.

Eq. 2는 표면적에 비례하는 산란을 초래하고 q와 함께⁻⁴ 붕괴되는 부드럽고 날카로운 계면으로부터의 산란을 설명한다.이 경우 산란 요소의 부피는 V ~ r과³ 함께 스케일링된다. 산란에는 이진 간섭이 포함되므로 (δV⁶)² ~ r에 비례한다. 이러한 V 도메인의 수는 표면적을 도메인 면적 N ~ S/r로² 나눈 값에 비례한다.따라서 산란 강도는 I(q) ~ SV²/r² ~ Sr⁴ ~ Sq를⁻⁴ 따릅니다.

평활하고 선명한 계면을 가진 기묘한 형상의 물체에 대해 작은 크기의 스케일, 높은 q에서 구조는 평평한 표면으로 보이며 기술된 접근법이 적절하다.관측치의 크기 척도 r이 낮은 q에서 R에 가까워지면_g 표면이 더 이상 평면이 아니기 때문에 이 모형이 실패합니다.즉, 그림 1의 산란도 벡터 r의 양끝이 동일평면으로 되어 입사 및 산란빔에 대해 표시된 대로 배열된다.이 방향이 없으면 산란이 발생하지 않습니다.회전반경과 관련된 입자의 곡률은 귀니에정에서 낮은 q에서 표면 산란을 소멸시킨다.Porod의 법칙에 이 관측치를 원래 도출에 포함시키는 것은 표면 ^[3]산란을 위한 상관 함수의 푸리에 변환에 의존하기 때문에 가능하지 않다.보카지는^[1] 무작위로 배치된 입자에 기초한 Eq.1의 새로운 파생과 Eq.2의 수정에 대한 이 접근방식의 채택을 통해 Eq.4에 도착했다.

귀니에 법칙의 보카주 파생

벡터의 양끝이 ^[1]입자에 오도록 무작위로 배치된 벡터 r을 고려합니다.만약 벡터가 공간에 일정하게 유지된다면, 입자가 이 조건을 만족하는 위치로 변환되어 회전하고 구조의 평균을 취하는 동안, 모든 물체는 가우스 상관 함수를 표시하는 가우스 질량 분포를 얻을 것이다.

$\displaystyle \left(r\right)=\exp \left(-3r^{2}/4R_{g}^{2}\right)}$

(6)

표면이 없는 보통의 구름처럼 보입니다.그림 6의 푸리에 변환은 그림 1이 된다.

low-q에서의 멱함수 산란 제한

멱함수 산란은 ^[1]개체보다 작은 크기로 제한됩니다.예를 들어, 상기 체인의 평균 크기, ZQ.3의 정상화된 질량, z, RF의 평균 크기, RF.크기 감소 요소를 고려하여, N~ z/f)와 같은 요소 수가 N~Z/s의 질량, 질량은 다음과 같습니다.따라서 산란은 Nn^df 또는^df r~q에^-df 비례한다². 낮은 q에서는 벡터 r~1/q가 입자의 크기에 근접한다.이러한 이유로 멱법 체제는 로우 q로 종료됩니다.이것을 고려하는 한 가지 방법은 입자의 시작과 끝의 벡터_a r을 생각하는 것입니다.그림 2 (a)이 벡터는 입자가 질량-프랙탈일 경우 질량 프랙탈 조건을 충족합니다.그림 2(b)에서 두 점을 분리하는 벡터_b r은 질량-프랙탈 조건을 충족하지 않지만, d에 의한 입자의 변환으로 r, (c)의_b 끝 부분에 대해 질량 프랙탈 조건을 충족할 수 있다.

산란에서 우리는 질량-프랙탈 입자 내에 위치한 벡터 r의 한쪽 끝에 상대적인 입자의 가능한 모든 변환을 고려하고 있다.r이 입자 크기에 가까울 경우 벡터의 양 끝에 대한 질량-프랙탈 조건을 만족하도록 입자를 이동할 확률은 1보다 작습니다.만약 입자의 크기가 무한하다면 이 확률은 항상 1일 것이다.유한 입자의 경우 그림 2는 큰 크기의 산란 이벤트에 대한 확률의 감소를 벡터 r의 길이 감소로 볼 수 있음을 보여준다.이것이 통합 기능의 기본입니다.산란함수를 직접 결정하는 것이 아니라 이 변환과 관련된 r의 감소를 계산한다.r은 2µ/q와 관련이 있으므로 산란 벡터 q to q*의 효과적인 증가를 고려합니다.q와 q*의 관계는 우선 그림 2의 변환이 귀니에 법칙의 가우스 도출에 기초한 상관 함수에 미치는 영향을 고려하여 결정된다[8].^[1]이 분석에 의해 다음과 같은 수정 요인이 발생합니다.

${\displaystyle p\left(q,R_{g}\right)=\left({\frac {erf\left(qR_{g}\right)}{\surd 6}\right}{3}}$

(7)

Debye 관계에 따라 이 인자는 q에 통합되어 변환을 생성할 수 있습니다.

${\displaystyle F^{2}\left(q\right) = V_{p}\rho _{e}^{2}\int _{0}^{inf}\left(r\right)\left(sin\left(q\right)/q^{*}r\right) 4\pi r^{2}dr$

(8)

어디에,

${\displaystyle q^{*}=frac {q}{\leftf\frac {erf\left(qR_{g}\right)}{\surd 6}}\right}}}$

(9)

그림 2와 같이 q* = 2gc/r*로 표시됩니다.강력한 멱함수 법칙의 경우 Eq. 8이 다음과 같다는 것을 언급하고 입증합니다.

${\displaystyle F^{2}\left(q\right) = V_{p}{2}\rho _{0}^{inf}\display \left(r\right)\left(sin\left(q^{*}r\right)/q^{2}dr}\pi rho _{2}dr$

(10)

다음과 같이 2항을 직접 사용할 수 있다.

${\displaystyle I(q)=B\left(q^{*}\right)^{-4}$

(11)

질량-프랙탈 멱함수의 경우 에서 ^[1]설명한 것과 같이 낮은q에서의 상관함수의 모양 때문에 이 근사치는 완벽하지 않습니다.적절한 근사치는 eq.9가 다음과 같이 대체되도록 d = ^[1]2에 대해_f 값이 약 1.06인 상수 k를 포함하는 것이다.

${\displaystyle q^{*}=syslogfrac {q}{\left\frac {erf\left(kqR_{g}\right)}{\surd 6}}\right}}}$

(12)

일반적으로 질량 프랙탈의 경우 k ~ 1.06이 양호한 근사치이고 표면 프랙탈 산란의 경우 k = 1이다.

이 수정으로 멱함수 산란은 귀니에 산란과 호환되며 두 항을 통합 방정식으로 합산할 수 있다.

${\displaystyle I(q)=G\exp \left(-q^{2}R_{g}^{2}\right)+B\left(q^{*}\right)^{-P}}$

(13)

Eq.13은 단일 구조 수준을 기술할 수 있으며 Eq.3, 다분산구, 막대, 시트, 양호한 용제 폴리머, 분기 폴리머, 순환 폴리머에 대한 방정식 및 관련 출판물에서 입증되었듯이 면밀하게 복제할 수 있다.따라서 질량 및 표면 프랙탈 구조를 포함한 광범위한 무질서한 재료는 통합 접근법을 사용하여 설명할 수 있다.

복수의 구조 레벨을 가지는 계층 재료의 경우, Eq.13은 막대, 디스크 및 기니에 및 ^[2]포넷에 기술된 기타 단순 산란 함수에 공통인 멱함수에 대해 높은 멱함수의 가우스 컷오프를 사용하여 확장할 수 있다.

$({displaystyle I(q)=\textstyle \sum _{i}^{N}\left(G_{i}\exp \leftflac {-q^{2}}{3}}\right)+\exp \flac {-q^{2}R {-g,i-1}}^{}}}}{-right}}}}{{-}}}}}}}}}}}{{-}}}}}}}}}}}}}}}}}{-right}}}}}}}}}}}B_{i}\left(q_{i}^{*}\오른쪽)^{-P_{i}\오른쪽)}$

(14)

여기서 R = 0으로_g,0 간주됩니다.이 함수는 양호한 세타 용제, 분기 폴리머, 스타 폴리머, 질량 프랙탈 1차 입자/응집체/응집체, 로드 직경/길이, 디스크 두께/폭 및 기타 복잡한 계층 구조에서 폴리머 사슬의 지속성을 설명하는 데 사용되었다.Eq.14의 납 차단 조건은 구조 수준 i가 구조 수준 i-1로 구성된다고 가정한다.이것이 사실이 아닐 경우 ^[1]설명에 따라 R을_g,i-1 프리 파라미터로 대체할 수 있습니다.

Eq.14는 매우 유연하며, 로컬 구조가 완벽한 실린더 또는 기타 ^[12]구조인 미셀 시스템을 위한 하이브리드 통합 기능으로 확장되었습니다.

통합 기능의 구현

Argonne National Laboratory의 Advanced Photon Source(USA)의 Jan Ilavsky는^[13] 비디오 튜토리얼과 사용 매뉴얼을 포함한 Igor Pro 프로그래밍 환경에서^[15] 통합 함수를 사용하여 핏을 수행할 수 있는 개방형 사용자^[14] 코드를 제공했습니다.

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