단위 더미력법

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단위 더미 힘 방법은 구조 시스템의 변위를 계산하기 위한 편리한 수단을 제공합니다.이는 선형 및 비선형 재료 거동과 환경 영향을 받는 시스템에 모두 적용 가능하며, 따라서 카스틸리아노의 두 번째 정리보다 더 일반적이다.

개별 시스템

트러스, 대들보 또는 프레임과 같이 노드에서 상호 연결된 부재를 가진 이산 시스템을 고려합니다.부재의 변형에 대한 일관된 집합은 ${\displaystyle {\mathrm{M}}_{}}$ ×$$1$({displaystyle \mathbf {q$ $_{M\times$ 1$))$로 나타내며, 이는 부재의 유연성 관계를 사용하여 계산할 수 있다.이러한 부재 변형에 의해 노드 $변위{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$ ×$$(\$displaystyle \mathbf {r}$$_{N\times$1)이 발생하며, 이 값은 우리가 판단하고자 하는 것입니다.

우선 원하는 r마다 1개씩 N개의 가상 $노드력{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{N}}_{}^{}}$ × 1 ${\$ {\$displaystyle \mathbf {R$${\displaystyle {\}}_{}^{}}$ $_{N\times$ 1$)^\{*\}$을 $적용$하여 1 $×$ ${\displaystyle {}_1^{}}$과 평형 상태에 있는 가상 $멤버력{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ M${\displaystyle {}_{}^{}}$× ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$ {\$displaystyle \mathbf {Q} _{M\times$ 1$$}^{*}}}}을$$ 구합니다.

$${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1)^{*}=\mathbf {B} _{M\times N}\mathbf {R} _{N\times 1)^*}$$

(1)

정적 부정계의 경우 행렬 B는 노드 평형을 만족시키는 Q${\displaystyle {}_{}^{}}$ × 1$$ { $displaystyle \mathbf {Q} _$ {$M\times$ 1$)^{*}$의 집합이 무한하기 때문에 고유하지 않다.그것은 원래 시스템에서 파생된 모든 일차 시스템의 노드 평형 행렬의 역행렬로 계산될 수 있다.

내부 및 외부 가상 힘이 각각 실제 변형과 변위를 겪는다고 가정해 보십시오. 가상 작업은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

• 외부 가상 작업: $R{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ \ $displaystyle$\ $mathbf${ $R }^$ { * $T$} \ $mathbf { r }$
• 내부 가상 작업: $Q{\displaystyle {\mathbf{}}^t}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$q \ $displaystyle$\ $mathbf${ $Q }^$ { *$T}\mathbf {q} }$

가상 작업 원리에 따라 두 작업 표현은 동일합니다.

$$\displaystyle \mathbf {R}^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {Q}^{*T}\mathbf {q} }$$

(1)의 대체는 다음을 제공한다.

$$\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} }$$

R${\$ ( \ $displaystyle$ \$mathbf${ R $}^$ { * } )는 임의의 가상력을 포함하므로 위의 방정식은 다음과 같습니다.

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} }$$

(2)

(2)의 연산은 시스템의 복잡성에 관계없이 일체화를 수반하지 않으며, 그 결과는 B의 프라이머리 시스템의 선택에 관계없이 독특하다는 것은 주목할 만하다.따라서 이는 부과된 외부 효과뿐만 아니라 시스템의 유형에 따라 달라지는 더미 단위 하중 방법의 기존 형태보다 훨씬 편리하고 일반적이다.한편, Eq.(2)는 노드의 변위 또는 회전만을 계산하기 위한 것임을 유념하는 것이 중요하다.필요에 따라 노드에 임의의 포인트를 설정할 수 있기 때문에 이것은 제한이 아닙니다.

마지막으로, 행렬 B의 ${\displaystyle {계수}_{}}$ B$,$ j {\displaystyle $B_{i,j}$가 단위 $결절력{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\delta }}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$1 {\$displaystyle R_{j$}^*} $=$$1$과 평형한 부재력이라는 해석에서 단위하중이 발생한다.

일반 시스템

일반 시스템에서 단위 더미포스 방법도 가상작업 원리에서 직접 도출된다.그림(a)은 실제 변형된 것으로 알려진 $시스템{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ {\$displaystyle${\$boldsymbol${\$epsilon$ $\}\}$을 보여줍니다.이러한 변형은 일관성이 있을 것으로 생각되며 시스템 전체에 걸쳐 변위를 일으킵니다.예를 들어 점 A가 A'로 이동했다고 가정하면 A의 변위 r을 그림 방향으로 계산하려고 합니다.이 특별한 목적을 위해 그림(b)의 가상 힘 시스템을 선택한다.

• 단위력 R*은 A에 있고 r의 방향에 있으므로 R*에 의해 수행된 외부 가상 작업은 (b)의 가상 반응에 의해 수행된 작업은 (a)의 변위가 0이기 때문에 0이라는 점에 주목한다.
  $${\displaystyle R^{*}\times r=1\times r}$$

  
  원하는 변위량입니다.
• 가상 스트레스에 의해 실행되는 내부 가상 작업은 다음과 같습니다.
  $${\displaystyle\int_{V}{\boldsymbol\epsilon}}^{T}{\boldsymbol {{sigma }}^{*}dV}$$

  
  $여기$서 가상 스트레스는 $모든{\displaystyle {\mathit{}}^{}}$곳의 평형을 만족시켜야 합니다$.$

두 작업 식을 같게 하면 원하는 변위를 얻을 수 있습니다.

$${\displaystyle 1\times r=\int _{V}{\boldsymbol {\clon }}^{T}{\boldsymbol {{sigma }}^{*}dV}$$