카스티글리아노의 방법

카를로 알베르토 카스티글리아노의 이름을 딴 카스티글리아노의 방법은 에너지의 부분파생물을 바탕으로 선형탄성계의 변위를 결정하는 방법이다. 그는 두 가지 이론으로 유명하다. 기본 개념은 에너지의 변화가 결과 변위를 곱한 원인 힘과 동일하다는 것을 상기함으로써 이해하기 쉬울 수 있다. 그러므로 유발력은 에너지의 변화를 결과 변위로 나눈 값과 같다. 대안적으로, 결과 변위는 에너지의 변화를 유발력으로 나눈 값과 같다. 부분파생상품은 에너지 변화에 대한 유발력과 그에 따른 변위를 연관시키기 위해 필요하다.

• 카스티글리아노의 첫 번째 정리 - 탄성 구조에서의 힘

카스티글리아노의 힘 계산법은 그의 첫 번째 정리를 적용한 것으로 다음과 같이 기술하고 있다.

탄성 구조물의 변형 에너지가 일반화된 변위 q의_i 함수로 표현될 수 있는 경우, 일반화된 변위에 대한 변형 에너지의 부분적인 파생 모델은 일반화된 하중 Q를_i 제공한다.

방정식 형태로는

${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U}{\partial q_{i}}}}}}}}$

여기서 U는 변형 에너지다.

힘-변위 곡선이 비선형인 경우, 변형 에너지 대신 보완 변형 에너지를 사용할 필요가 있다. ^[1]

• Castigliano의 두 번째 정리 - 선형적으로 탄력 있는 구조에서의 변위.

카스티글리아노의 변위 계산법은 그의 두 번째 정리를 적용한 것으로 다음과 같이 기술하고 있다.

선형 탄성 구조물의 변형 에너지가 일반화된 힘 Q의_i 함수로 표현될 수 있는 경우, 일반화된 힘에 대한 변형 에너지의 부분적인 파생 모델은 일반화된 변위 Q를_i Q의_i 방향으로 제공한다.

위와 같이 이것 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U}{\partial Q_{i}}}.}$

예

끝에 하중 P가 있는 얇고 곧은 캔틸레버 빔의 경우, 끝에 있는$$ 변위 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) 카스틸리아노의 두 번째 정리를 통해 확인할 수 있다.

${\displaystyle \delta ={\frac {\partial \mathbf {U}{\partial P}}$

${\displaystyle \delta ={\frac {\partial }{\partial P}\int _{0}^{L}{\frac {M^{2}(x)}{2}{2}EI}}dx}={\frac {\partial }{\partial P}\int _{0}^{L}{\frac {(Px)^{2}}{2}EI}dx}}$

여기서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은 Young의 계량형이고$,$ I {\$displaystyle$ I$}$은(는) 단면적의 두 번째 순간이며, $M{\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M(x)=$$Px}$은(는) 끝에서 거리$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 점에서 내부 모멘트에 대한 표현식이다$$. 필수 구성 요소는 다음과 같이 평가한다.

${\displaystyle {\begin}\delta &=\int _{0}^{L}{\frac {Px^{2}}:}EI}dx}\\&={\frac {PL^{3}}{3}}{3}}{3}EI}}.\end{aigned}}$

결과는 엔드하중 하중의 캔틸레버 빔에 대해 주어진 표준 공식이다.

외부 링크

• 카를로 알베르토 카스티글리아노
• 카스티글리아노의 방법: 몇 가지 예(독일어로)

참조