단위 벡터

수학에서, 노름 벡터 공간의 단위 벡터는 길이가 1인 벡터이다. 단위 벡터는 종종 v $^$ {\ $displaystyle$ {\ $mathbf {v}}$ ${\hat {\mathbf {v} }}$ ("v-hat"로 발음됨)처럼 곡절 또는 "hat"이 있는 소문자로 나타난다.

일반적으로 d로 표기되는 방향 벡터라는 용어는 공간 방향과 상대 방향을 나타내기 위해 사용되는 단위 벡터를 나타내기 위해 사용됩니다. 2D 공간 방향은 단위 원 위의 점과 수치적으로 동등하고 3D 공간 방향은 단위 구 위의 점과 동등합니다.

두 개의 2D 방향 벡터의 예

2개의 3D 방향 벡터의 예

0이 아닌 벡터 u의 정규화 벡터 θ는 u 방향의 단위 벡터이다.

\mathbf {u}} = flac {mathbf {u} {\mathbf {u}

여기서 u는 ^[1]^[2]u의 표준(또는 길이)입니다.정규화 벡터라는 용어는 단위 벡터의 동의어로 사용되기도 한다.

단위 벡터는 종종 벡터 공간의 기초를 형성하기 위해 선택되며, 공간 내의 모든 벡터는 단위 벡터의 선형 조합으로 기록될 수 있다.

직교 좌표

데카르트 좌표

단위 벡터는 데카르트 좌표계의 축을 나타내기 위해 사용될 수 있다.예를 들어, 3차원 데카르트 좌표계의 x, y, z축 방향의 표준 단위 벡터는 다음과 같다.

\mathbf {i} =param {bmatrix}1\\0\end {bmatrix},,\mathbf {j} =param {bmatrix}0\,\,\mathbf {k} =param {bmatrix},\,\,\mathbf {bmatrix

이들은 보통 선형 대수학에서 표준 기저라고 하는 상호 직교 단위 벡터 집합을 형성합니다.

표준 단위 벡터 표기법( $\mathbf {\hat {\imath }}$ : $^\$ imath $}})$ 이 아닌 공통 벡터 표기법(예: i 또는 ${\vec {\imath }}$ $→$ { $displaystyle\vec\$ imath ${\vec {\imath }}$ 을 사용합니다.대부분의 경우 i, j, k( ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\imath }},$ , { $displaystyle$ { $vec$ $},$ ${\vec {\jmath }},$ $},$ { $displaystyle$ { $}}$ 및 k $→$ { $displaystyle$ {vec {k ${\vec {k}}$ 는 3D 데카르트 좌표계의 버서라고 가정할 수 있습니다. $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ ( $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ $x$ $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ ^ , $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ , $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ ) $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ { $displaystyle$ ( \ $mathbf { hat$ { $x$ $}$ , \ $mathbf$ { $y }$ , \ mathbf { hat { $z$ } ) $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , ( $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ ^ $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ ^ $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , x $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ ^ 3 ) , \ $displaystyle$ ( $\ mathbf$ { $x$ 2 $}$ , \ $mathbf$ { $x 2 }$ ) , \ mathbf { x 2 } ) } } $}$ 모자를 쓰거나 없이){\displaystyle(\mathbf{\hat{e}}_{x},\mathbf{\hat{e}}_{y},\mathbf{\hat{e}}_{z})}, 또는(e^ 1, e^ 2, e3^){\displaystyle(\mathbf{\hat{e}}_{1},\mathbf{\hat{e}}_{2},\mathbf{\hat{e}}_{3})},, 또한 used,[1]특히 제가 거기, j, k로 이어질 수 있는 상황에서. 사기다른 수량과의 융합(예를 들어 i, j, k와 같은 지수 기호를 사용하여 집합, 배열 또는 변수 시퀀스의 요소를 식별하는 데 사용됨).

공간의 단위 벡터가 i, j, k의 선형 조합으로 데카르트 표기법으로 표현될 때, 그 세 개의 스칼라 성분은 방향 코사인이라고 언급될 수 있다.각 성분의 값은 단위 벡터와 각각의 기저 벡터에 의해 형성된 각도의 코사인 값과 같습니다.이 방법은 직선, 직선 세그먼트, 방향 축 또는 방향 축 세그먼트(벡터)의 방향(각도 위치)를 설명하는 데 사용되는 방법 중 하나입니다.

원통 좌표

원통 대칭에 적합한 세 개의 직교 단위 벡터는 다음과 같습니다.

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ § $^$ {\ $displaystyle {\rho$ $\mathbf {\hat {e}}$ }}}( ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ $또한$ e $\mathbf {\hat {e}}$ ^ ${\displaystyle$ \ $mathbf$ ${e}}$ $s$ ^ ${\$ displaystyle {\ $displaystyle {\hat$ {s $}}})$ 는 대칭축으로부터의 점 거리를 측정하는 방향을 ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ .
$§$ ^ ${\$ displaystyle {\ $boldsymbol {\hat$ {\varphi ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ 대칭 축을 중심으로 점이 시계 반대 방향으로 회전할 경우 관측되는 움직임의 방향을 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ .
$^$ {\ $displaystyle$ \ $mathbf {z$ 대칭축 방향을 나타냅니다.

이들은 다음과 같이 데카르트 ${\hat {x}}$ { $}),$ { $}), z(\displaystyle {z$ ${\hat {y}}$ 와 ${\hat {z}}$ 관련이 있습니다.

(\displaystyle\boldsymbol\hat\cos(\varphi)\mathbf {x} +\sin(\varphi)\mathbf {y}})

(\displaystyle\boldsymbol\hat\sin(\varphi)\mathbf {x} +\cos(\varphi)\mathbf {y}}}

\displaystyle \mathbf {z} = \mathbf {z} .

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $^{$ displaystyle $\boldsymbol\hat\rho}}$ 및 ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ $^{displaystyle\boldsymbol\hat\varphi}}$ 는 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $^,$ {\ $displaystyle\varphi}$ 의 $\varphi ,$ 함수이며 방향이 일정하지 않습니다.원통형 좌표를 미분하거나 통합할 때는 이러한 단위 벡터 자체도 작동해야 합니다. $§$ {\ $display \varphi}$ 에 $\varphi$ 관한 파생상품은 다음과 같습니다.

(*displaystyle\frac\boldsymbol\hat\varphi}}=-\sin\varphi\mathbf{x}+\cos \varphi\mathbf{y}=boldsymbol\hat}}}}}}

(*displaystyle\frac\boldsymbol\hat\varphi}}=-\cos \varphi\mathbf {x}-\sin \varphi\mathbf {hat}=-{\boldsymbol\ho}}}}}}

\displaystyle \frac \mathbf {z} {\frac \varphi } = \mathbf {0}

구면 좌표

$\mathbf {\hat {r}}$ 대칭에 적합한 단위 벡터는 r $^$ ${\displaystyle$ \ $mathbf {r$ 원점으로부터의 반경 거리가 증가하는 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , $^$ {\ $displaystyle \boldsymbol$ \ $hat \varphi$ x축에서 시계 반대 방향으로 x-y 평면의 각도가 증가하는 방향입니다. ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ ; 및 $^$ {\ $boldsymbol {\hat {\$ theta ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ 양의 z축에서 각도가 증가하는 방향입니다.표현의 용장성을 최소화하기 위해 극각θ $(\displaystyle \theta)$ 는 $\theta$ 보통 0도에서 180도 사이에 있습니다.구면 좌표로 쓰여진 순서 3중항 문맥에 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ 주목해야 합니다. ^ ${\$ {\ $boldsymbol {\varphi}}$ 과 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $^$ {\ $display$ {\style {\ $boldsymbol {\theta}}}}}$ 의 ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ 역할은 종종 뒤바뀌기 때문입니다.여기서는 미국의 "물리학" 규약이^[3] 사용됩니다.그러면 원통 좌표와 동일하게 정의된 $(\displaystyle \varphi)$ 가 $\varphi$ 유지됩니다.데카르트 관계는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {r} =\sin \theta \varphi {x} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {y} +\cos \theta \mathbf {z} }

{\symbol {hat}=\cos \theta \varphi {x} +\cos \theta \sin \mathbf {y} -\sin \theta \hat {z}

(\displaystyle\boldsymbol\hat\varphi{x}=-\sin\mathbf\mathbf{x}+cos\varphi\mathbf{y}}})

구면 단위 벡터는 ${\$ { $displaystyle$ \ $varphi }$ $\theta$ ${\$ { \ $displaystyle$ \ $theta$ $\theta$ 에 $\varphi$ 따라 달라지므로 0이 아닌 도함수가 5개 있습니다.자세한 설명은 야코비 행렬과 행렬식을 참조하십시오.0이 아닌 도함수는 다음과 같습니다.

(*displaystyle {frac \mathbf {r}}{\sin \varphi \mathbf {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {y} = sin \sin \symbold \hat {rphi} } )

(*displaystyle\frac\mathbf{r}{\cos\cos\varphi\mathbf{x}+\cos\theta\sin\mathbf{hatz}=boldsylat})

({displaystyle {frac {boldsymbol {hat }}}=-\cos \theta \sin \varphi {x} +\cos \theta \cos \varphi {y} =\cos \boldsymbol {hat} } )

(*displaystyle\frac {boldsymbol\theta}}=-\sin \varphi \mathbf {x}-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {y}-\cos \ta \mathbf {hatz}=\mathbf.

(*displaystyle\frac\boldsymbol\hat\varphi\mathbf{x}=-\sin\varphi\mathbf{hat}=\sin\mathbf{r}-costa boldsymbat.

일반 단위 벡터

단위 벡터의 공통 테마는 물리학과 ^[4]기하학 전반에 걸쳐 발생합니다.

단위 벡터	명명법	도표
원곡선/플럭스 선에 대한 접선	$(\displaystyle\mathbf\hat{t})$	반경 위치 벡터 $^$ {\ $displaystyle$ r $\mathbf {r}}$ 및 $r\mathbf {\hat {r}}$ 각도 접선 회전 방향 $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ $^$ { $displaystyle \thembol$ {n $}}}$ 을 포함하는 $\mathbf {\hat {n}}$ 에 대한 $정규$ 벡터 $\mathbf {\hat {n}}$ n ^{ $displaystyle$ \ $mathbf$ {n $} }$ ^{displaystyle \ $theta$ }}}}}}}이 벡터 등식이 필요합니다.각운동 홀드 온
반지름 위치 구성요소 및 각도 접선 구성요소를 포함하는 표면 접선 평면/평면에 법선	$(\displaystyle\mathbf\hat{n})$ 극좌표로 보면, $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ ^ $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ × $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ ^ $^$ { $displaystyle \mathbfhat$ {n} = \ $mathbf {r}$ \times \ $boldsymbol {\theta }}}$
접선 및 정규에 대한 이원 벡터	$\displaystyle \mathbf {b} = \mathbf {t} \times \mathbf {n} }$ ^[5]
일부 축/선과 평행	$\displaystyle \mathbf {e} _{\hat}}$	$단위$ $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ e $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ ^ $^$ ^ ^ ^ $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ \ $mathbf$ { $e}$ _{\ $parallel }}$ 는 $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ 주방향(빨간색 선)에 평행하게 정렬되어 있고 수직 $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ 벡터 $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ e^ $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ ^ ^ ^ ^ $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ （\ $displaystyle \mathbf {e} _{$ e}} _{\ $bot$ }}}}}}}}는 $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ 주선에 상대적인 반경방향에 있습니다.
일부 반경 방향의 일부 축/선에 수직	${\displaystyle\mathbf{e}}_{\bot}}$
일부 축/선에 대한 가능한 각도 편차	$\displaystyle \mathbf {e} _{\angle}}$	주방향에 상대적인 예각θ(0 또는 θ/2 rad 포함)의 단위 벡터.

곡선 좌표

일반적으로 좌표계는 다수의 선형 독립 단위 $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ e $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ $\$ ^[1]실제 수는 공간의 자유도와 동일)를 사용하여 고유하게 지정될 수 있다.통상적인 3공간에서는 이들 벡터는 $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ ^ $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ e ^ $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ e ^ $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ $\$ 로 $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ 할 수 있습니다.계통을 직교 및 오른손잡이로 정의하는 것은 거의 항상 편리합니다.

\displaystyle \mathbf {e} _{i} \cdot \mathbf {e} _{j} = \displaystyle _{ij}

\displaystyle \mathbf {e} _{i} \cdot (\mathbf {e} _{j} \times \mathbf {e} _{k} =\varepsilon _{ijk})

여기서 $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ j \ $displaystyle \display_{ij}$ 는 $\delta _{ij}$ 크로네커 델타(i=j의 경우 1, 그 외의 경우 0)이고 j $\varepsilon _{ijk}$ $\varepsilon _{ijk}$ $\$ ijk $\varepsilon _{ijk}$ }는 Levi-Civita 기호(ijk의 경우 1, k의 경우 -1)입니다.

오른쪽 버전

R3의 $\mathbb {R} ^{3}$ 단위 벡터는 W. R. 해밀턴에 의해 오른쪽 버서(right versor $)$ 라고 $\mathbb {R} ^{3}$ 불리었다. 해밀턴은 $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ H ${\$ $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ R $4$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ $^{$ $4$ $q=s+v$ 매 $q=s+v$ 마다 벡터 용어의 원조가 되었다.t s 및 벡터 부분 v. v가 $\mathbb {R} ^{3}$ 3의 $\mathbb {R} ^{3}$ 벡터일 $경우({displaystyle \mathbb$ { $R$ $^{3}),$ 4분의 1의 v 제곱은 -1이다.따라서 오일러의 공식에 $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ exp $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ θ ( $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ v ) $=$ cos $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ sin $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ display $display$ （ \ $displaystyle \exp$ ( \ $theta$ v $)=\cos \theta +v\sin$ \theta $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ }는 3차원 구에서 베르소르이다.θ가 직각일 경우, versor는 오른쪽 versor입니다. 스칼라 부분은 0이고 벡터 부분 v는 $\mathbb {R} ^{3}$ 3 $(\displaystyle \mathbb$ {R} $^{3$ 의 단위 벡터입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Unit Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-19.
^ "Unit Vectors Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-19.
^ 테비안 드레이와 코린 A.Manogue, 구면 좌표, College Math Journal 34, 168-169(2003).
^ F. Ayres; E. Mendelson (2009). Calculus (Schaum's Outlines Series) (5th ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

레퍼런스

G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Unit Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-19.

[2] "Unit Vectors Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-19.

[3] 테비안 드레이와 코린 A.Manogue, 구면 좌표, College Math Journal 34, 168-169(2003).

[4] F. Ayres; E. Mendelson (2009). Calculus (Schaum's Outlines Series) (5th ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.

[5] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

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