수학 에서 직교 좌표 는 좌표면 이 모두 직각으로 만나는 d 좌표 q = (q 1 , q 2 , q, ..., q d 지수 임). 특정 좌표 q 에k q 가k 예를 들어, 좌표면 x = 상수 , y = 상수, z = 상수는 서로 직각으로 만나는 평면이기 때문에 3차원 데카르트 좌표 (x , y, z )는 직교 좌표계다. 직교 좌표는 특수하지만 극히 일반적인 곡선 좌표 사례다.
동기 직사각형 그리드에 작용하는 정합 지도 . 곡선 그리드의 직교도는 유지된다는 점에 유의하십시오. 벡터 연산 및 물리적 법칙은 일반적으로 데카르트 좌표 에서 도출하기 가장 쉽지만, 특히 경계 값 문제 (예: 양자역학 , 유체 흐름 , 전기역학 , 플라즈마 물리학, diff 등)의 현장 이론에서 발생하는 문제를 해결하기 위해 비 카르테스 직교 좌표를 대신 사용하는 경우가 많다. 화학종 이나 열의 융합
비카르트 좌표의 가장 큰 장점은 문제의 대칭성에 맞게 선택할 수 있다는 것이다. 예를 들어 지상에서 멀리 떨어진 곳(또는 다른 장벽)에서 폭발로 인한 압력파는 카르테시아 좌표의 3D 공간에 따라 달라지지만 압력은 주로 중심에서 멀어지기 때문에 구형 좌표 에서는 문제가 매우 일차원적으로 된다(압력은 시간과 디스에만 의존하므로). 중앙에서 탠스). 또 다른 예로는 직선 원형 파이프에서 (느린) 유체가 있다: 데카르트 좌표에서는 부분 미분 방정식과 관련된 (어려운) 2차원 경계 값 문제를 해결해야 하지만, 원통형 좌표에서는 부분 미분 방정식이 아닌 일반 미분 방정식 으로 문제를 1차원화한다.
일반 곡선 좌표 대신 직교 좌표를 선호하는 이유는 단순함이다. 즉 좌표가 직교하지 않을 때 많은 합병증이 발생한다. 예를 들어 직교 좌표에서 많은 문제 는 변수의 분리에 의해 해결될 수 있다. 변수의 분리는 복잡한 d차원 문제를 d 1차원 문제 로 변환시켜 알려진 함수의 관점에서 풀 수 있는 수학적 기법이다. 많은 방정식을 라플레이스의 방정식 이나 헬름홀츠 방정식 으로 줄일 수 있다. 라플레이스의 방정식 은 13개의 직교 좌표계(토로이드 를 제외하고 아래 표 에 열거된 14개)에서 분리가 가능하며, 헬름홀츠 방정식 은 11개의 직교 좌표계에서도 분리가 가능하다.[1] [2]
직교 좌표의 미터법 텐서 에는 결코 대각선 밖의 항이 없다. 다시 말해, 최소 거리 제곱 2 ds는 항상 최소 거리 좌표 변위 제곱의 축척 합으로 기록할 수 있다.
d s 2 = ∑ k = 1 d ( h k d q k ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\왼쪽(h_{k}\,dq^{k}\오른쪽)^{2}} 여기서 d 는 치수 및 스케일링 함수(또는 스케일 요인)
h k ( q ) = d e f g k k ( q ) = e k {\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\\\stackrel {def}{}}{}\\\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}= \mathbf {e} _{k}}}}}}} 미터법 텐서 대각선 성분의 제곱근 또는 로컬 기본e k {\ displaystyle \mathbf {e} _{k} 이러한 스케일링 함수 h 는i 그라데이션 , 라플라시안 , 다이버전스 및 컬 과 같은 새로운 좌표에서 차분 연산자를 계산하는 데 사용된다.
직교 좌표계를 2차원으로 생성하는 간단한 방법은 데카르트 좌표 (x , y 정합성 있게 매핑하는 것 이다. 복잡한 숫자 z = x + iy 는 실제 좌표 x 와 y 에서 형성될 수 있으며 여기서 i 는 가상 단위 를 나타낸다. 0이 아닌 복잡한 파생상품이 있는 어떤 홀로모르픽 함수 w = f (z )는 일치 매핑 을 생성한다. 결과 u iv u 와 v의 곡선은 상수 x 와 y의 원래 선들이 그랬던 것처럼 직각으로 교차한다.
3차원 이상의 직교 좌표는 직교 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있는데, 직교 2차원 좌표계(실린드 좌표 )로 투영하거나 대칭 축 중 하나에 대해 2차원 시스템을 회전시켜 만들 수 있다. 그러나 타원 좌표 와 같이 2차원 시스템을 투사하거나 회전하여 얻을 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계가 있다. 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표면으로부터 시작하여 직교 궤적을 고려함으로써 얻을 수 있다.
기본 벡터 공변량 기준 데카르트 좌표 에서 기본 벡터 는 고정(정수)되어 있다. 곡선 좌표 의 보다 일반적인 설정에서는 좌표에 의해 공간의 한 지점이 지정되며, 그러한 지점마다 기본 벡터의 집합이 바인딩되어 있는데, 일반적으로 일정하지 않다: 이것은 일반적인 곡선 좌표의 본질이며 매우 중요한 개념이다. 직교 좌표를 구분하는 것은 기본 벡터는 다르지만 서로에 대해 항상 직교 한다는 것이다. 바꾸어 말하면, 환언하면
e i ⋅ e j = 0 만일 i ≠ j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\next{if}\neq j} 이러한 기본 벡터는 정의에 따라 한 좌표를 변경하고 다른 좌표를 고정하여 얻은 곡선 의 접선 벡터다.
2D 직교 좌표의 시각화. 하나의 좌표 상수를 제외한 모든 좌표 상수를 고정하여 얻은 곡선이 기준 벡터와 함께 표시된다. 기본 벡터는 길이가 같지 않다는 점에 유의하십시오. 벡터는 길이가 같을 필요는 없으며 직교만 있으면 된다. e i = ∂ r ∂ q i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\mathbf {r}{}{\mathbf q^{i}}}}}}}} 여기서 r 은 어떤 점이고 q 는i 즉, 하나의 좌표를 제외한 모든 좌표를 고정하여 곡선을 구한다. 미확정 좌표는 모수 곡선 처럼 변화하며, 모수(변동 좌표)에 관한 곡선의 파생은 그 좌표의 기본 벡터가 된다.
벡터가 반드시 길이가 같은 것은 아니라는 점에 유의하십시오. 좌표의 척도계수로 알려진 유용한 함수는 단순히 기본 벡터 e ^ }\hat mathbf{e}} }_{i}}}( 길이 displaysty h_{i} 스케일 계수를 라메 계수(Lamé 계수)라고 부르기도 하는데, 라메 파라미터(고체 역학 )와 혼동하지 않는다.
표준화 된 기본 벡터는 모자로 표기되며 길이로 나누어 얻는다.
e ^ i = e i h i = e i e i {\displaystyle {\hattbf {e}}}}}{{i}}}{\frac {{\mathbf {e}}{h_{i}}}}}={\frac {{\mathbf {}{i}}}}}}{\mathbf {}}}}오른쪽 }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}" 벡터 필드 는 기본 벡터 또는 표준화된 기본 벡터에 관하여 그 구성요소에 의해 지정될 수 있으며, 어떤 경우를 의미하는지 확인해야 한다. 정규화된 기준의 구성요소는 수량의 명확성을 위한 애플리케이션에서 가장 흔하다(예를 들어, 스케일 계수 접선 속도 대신 접선 속도를 처리하고자 할 수 있다). 파생에서 정규화된 기준은 더 복잡하기 때문에 덜 일반적이다.
상쇄기초 위에 표시된 기본 벡터는 공변량 기본 벡터(벡터와 "공변량"이기 때문에)이다. 직교 좌표의 경우, 역방향 기본 벡터는 공변 벡터와 같은 방향이지만 역방향 길이 (이 때문에 두 세트의 기본 벡터는 서로에 대해 역방향이라고 한다)이기 때문에 쉽게 찾을 수 있다.
e i = e ^ i h i = e i h i 2 {\displaystyle \mathbf{e} ^{i}={\frac {{\hat {{e}}}}}{{h_{i}}}}={\frac {\mathbf{e} _{i}}^{2}}:} 이는 정의상 e i e j Δ i j displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e}^{j ^{j delta _{ }}}}}}}}}}}}} 크론커 델타 를 사용하는 데서 비롯된다. 참고:
e ^ i = e i h i = h i e i = e ^ i {\displaystyle {\hattbf {e}}}}}}{{i}}{{i}}}={i}{h}}}}{i}}\mathbf {e}^{i}={\hat {\mathbf{e}}}}}^{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. 이제 우리는 직교 좌표에서 벡터를 설명하는 데 일반적으로 사용되는 세 가지 다른 기준 집합에 직면한다: 공변량 기준 e i 기준 i e i 벡터는 어떤 좌표계로부터도 그 정체성이 독립적이라는 뜻의 객관적 수량 인 반면, 벡터의 성분은 벡터가 어떤 기준으로 표현되는가에 따라 달라진다.
혼동을 피하기 위해 e i 벡터 x의 성분 은i e i x 로i
x = ∑ i x i e i = ∑ i x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}}}}} 지수의 위치는 성분이 계산되는 방법을 나타낸다(상위 지수를 지수와 혼동해서는 안 된다). 모든 기준 벡터에 대한 합계를 나타내는 합계 기호 σ(자본 시그마 )과 합계 범위(i = 1, 2, ..., d)는 종종 생략된다. 구성 요소는 단순히 다음을 통해 관련된다.
h i 2 x i = x i {\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}} 정규화된 기준과 관련하여 벡터 구성요소에 사용되는 광범위한 표기법은 없다. 이 문서에서는 벡터 구성요소에 대한 첨자를 사용하고 구성요소가 정규화된 기준으로 계산된다는 점에 유의하십시오.
벡터 대수 벡터 추가 및 부정은 복잡한 문제가 없는 데카르트 좌표에서와 마찬가지로 구성 요소별로 수행된다. 다른 벡터 연산을 위해 추가적인 고려가 필요할 수 있다.
그러나 이러한 모든 연산은 벡터 필드 의 두 벡터가 동일한 지점에 바인딩되어 있다고 가정한다(즉, 벡터의 꼬리가 일치한다). 기본 벡터는 일반적으로 직교 좌표에 따라 다르기 때문에, 두 개의 벡터가 추가되고, 그 구성 요소가 공간의 서로 다른 지점에서 계산된다면, 다른 기본 벡터는 고려가 필요하다.
도트 제품 데카르트 좌표 에서 도트 산출물 (정형문자 기준이 설정된 유클리드 공간)은 단순히 성분 산출물의 합이다. 직교 좌표에서 두 벡터 x 와 y 의 도트 곱은 벡터의 성분이 정규화된 기준으로 계산될 때 다음과 같이 친숙한 형태를 취한다.
x ⋅ y = ∑ i x i e ^ i ⋅ ∑ j y j e ^ j = ∑ i x i y i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}}{{i}}}{j}}{j}}}{j}}}{j}}}}}{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 이는 어느 시점에서 정규화된 기준이 데카르트 좌표계를 형성할 수 있다는 사실에 따른 즉각적인 결과로서, 기본 세트는 정형화 된 것이다.
공변량 또는 역변량 베이스의 성분의 경우,
x ⋅ y = ∑ i h i 2 x i y i = ∑ i x i y i h i 2 = ∑ i x i y i = ∑ i x i y i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}} 이것은 벡터를 구성요소 형태로 작성하고, 기본 벡터를 정상화하며, 도트 제품을 취함으로써 쉽게 얻을 수 있다. 예를 들어, 2D:
x ⋅ y = ( x 1 e 1 + x 2 e 2 ) ⋅ ( y 1 e 1 + y 2 e 2 ) = ( x 1 h 1 e ^ 1 + x 2 h 2 e ^ 2 ) ⋅ ( y 1 e ^ 1 h 1 + y 2 e ^ 2 h 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 {\displaystyle {\displaysty}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\왼쪽(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2} }\mathbf {e} _{2}\오른쪽)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\mathbf {e} ^{2}\right) \\[10pt]& =\\left(x^{1}h_{1}{1}{\hat {\\mathbf{e}}}}}}}{1}+x^{2} }h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}} 표준화된 공변량 베이스와 반변량 베이스가 동일하다는 사실이 사용된 경우.
크로스 제품 3D 데카르트 좌표의 교차 제품은 다음 과 같다.
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) e ^ 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) e ^ 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) e ^ 3 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}} 위의 공식은 성분이 정규화된 기준으로 계산되는 경우 직교 좌표에서 유효하게 유지된다.
공변량 또는 역변량 기반과 직교 좌표로 교차 제품을 구성하려면, 다음과 같은 기본 벡터를 다시 간단하게 정상화해야 한다.
x × y = ∑ i x i e i × ∑ j y j e j = ∑ i x i h i e ^ i × ∑ j y j h j e ^ j {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}} 이렇게 쓰여진 것은, 확장되어 있고,
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) h 2 h 3 h 1 e 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) h 1 h 3 h 2 e 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) h 1 h 2 h 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}} 비직교 좌표와 더 높은 차원으로 일반화를 단순화하는 교차 산출물의 테르세 표기법은 척도계수가 모두 1이 아닐 경우 0과 1이 아닌 구성품을 갖는 리바이-시비타 텐서(Levi-Civita tensor )로 가능하다.
벡터 미적분학 차별화 어느 지점에서 극소수의 변위를 보면 분명히 알 수 있다.
d r = ∑ i ∂ r ∂ q i d q i = ∑ i e i d q i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {}{\frac{r}}{\\mathbf{i}}}\dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _,dq^{i}}}}}}}}}}}} 정의 에 따라 함수의 구배는 충족되어야 한다(이 정의는 ƒ 이 어떤 텐서 라도 참으로 유지된다).
d f = ∇ f ⋅ d r ⇒ d f = ∇ f ⋅ ∑ i e i d q i {\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \rightarrow \quadddf=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{i}}}}}}}}}}}}}}}} 따라서 델 연산자 는 다음과 같아야 한다.
∇ = ∑ i e i ∂ ∂ q i {\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e}^{{i}{\frac {\frac {}{\fla q^{i}}}}}}}}}} 그리고 이것은 일반적인 곡선 좌표에서 그대로 유지된다. 경사도 및 라플라시안 같은 수량은 이 운영자의 적절한 적용을 따른다.
염기벡터공식 dr 및 정규화된 basis 벡터 e 로부터i [3] [4]
미분원소 벡터 스칼라 선요소 좌표 곡선 Q 에i 대한 접선 벡터: d ℓ = h i d q i e ^ i = ∂ r ∂ q i d q i {\displaystyle d{\mathsymbol {\ell}}=h_{i}dq^{i}{\hatsbf{e}}}}}{\frac {\mathbf {r}{}{\mathbf{r}{}}}{\mathb^}dq^{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
최소값 길이 d ℓ = d r ⋅ d r = ( h 1 d q 1 ) 2 + ( h 2 d q 2 ) 2 + ( h 3 d q 3 ) 2 {\displaystyle d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r}} \cdot d\mathbf {r}}}}}}}}}}}}}}{{{1}}}^{2}+(h_{2}\,dq^{3}}}}}}^{2}}:}
표면 원소자 표면 qk = 상수를 조정하는 정규 분포: d S = ( h i d q i e ^ i ) × ( h j d q j e ^ j ) = d q i d q j ( ∂ r ∂ q i × ∂ r ∂ q j ) = h i h j d q i d q j e ^ k {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\ \&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf{e}}}}}}{{k}\end}}}}}}}}
최소 표면 d S k = h i h j d q i d q j {\displaystyle dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}}}}
부피요소 해당 없음 최소 부피 d V = ( h 1 d q 1 e ^ 1 ) ⋅ ( h 2 d q 2 e ^ 2 ) × ( h 3 d q 3 e ^ 3 ) = e ^ 1 ⋅ e ^ 2 × e ^ 3 h 1 h 2 h 3 d q 1 d q 2 d q 3 = h 1 h 2 h 3 d q 1 d q 2 d q 3 = J d q 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle{\begin{정렬}dV&, \\&(h_{3}\,dq^{3}{\hat{\mathbf{e}}}_{3})=(h_{1}\,dq^{1}{\hat{\mathbf{e}}}_{1})\cdot(h_{2}\,dq^{2}{\hat{\mathbf{e}}}_{2})\times.){\hat{\mathbf{e}}}_{1}\cdot{\hat{\mathbf{e}}}}};=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}{\hat{\mathbf{e}_{3}h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\& _{2}\times.\,dq^{3}\\&, = J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aigned}}}}}
어디에
J = ∂ r ∂ q 1 ⋅ ( ∂ r ∂ q 2 × ∂ r ∂ q 3 ) = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( q 1 , q 2 , q 3 ) = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle J=\left {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right =\left {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right =h_{1}h_{2}h_{3}} Jacobian 결정 인자 로, 직교 좌표에서 극소수 큐브 dxdz부터
통합 위에 표시된 선 요소를 사용하여 벡터 F 의 경로 displaystyle \scriptstyle mathcal {P} 통합 된 선은 다음 과 같다.
∫ P F ⋅ d r = ∫ P ∑ i F i e i ⋅ ∑ j e j d q j = ∑ i ∫ P F i d q i {\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}} 좌표 qk 상수 하나를 유지하여 설명한 지표면의 최소 면적 요소는 다음과 같다.
d A k = ∏ i ≠ k d s i = ∏ i ≠ k h i d q i {\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}}}}} 마찬가지로, 볼륨 요소는 다음과 같다.
d V = ∏ i d s i = ∏ i h i d q i {\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}}}} 여기서 큰 기호 π(Capital Pi )은 큰 σ이 합산을 나타내는 것과 같은 방법으로 제품 을 나타낸다. 모든 척도 인자의 산물은 Jacobian 결정 인자 이다.
예 를1 들어, 3D의일정 한 표면 {\ displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S} 표면 적분 은 다음과 같다.
∫ S F ⋅ d A = ∫ S F ⋅ n ^ d A = ∫ S F ⋅ e ^ 1 d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 h 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}} F 1 /h 는1 표면에서 정상적 인 F의 구성요소라는 점에 유의한다.
3차원의 차동 연산자 이러한 연산은 적용에서 공통적이므로 이 절의 모든 벡터 구성요소는 정규화된 기준에 따라 제시된다. F i F ⋅ e ^ {\ displaystyle F_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf{e}}}}{i
연산자 표현 스칼라 필드 의 그라데이션 ∇ ϕ = e ^ 1 h 1 ∂ ϕ ∂ q 1 + e ^ 2 h 2 ∂ ϕ ∂ q 2 + e ^ 3 h 3 ∂ ϕ ∂ q 3 {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}} 벡터장 발산 ∇ ⋅ F = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 1 ( F 1 h 2 h 3 ) + ∂ ∂ q 2 ( F 2 h 3 h 1 ) + ∂ ∂ q 3 ( F 3 h 1 h 2 ) ] {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]} 벡터 필드의 컬 ∇ × F = e ^ 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 2 ( h 3 F 3 ) − ∂ ∂ q 3 ( h 2 F 2 ) ] + e ^ 2 h 3 h 1 [ ∂ ∂ q 3 ( h 1 F 1 ) − ∂ ∂ q 1 ( h 3 F 3 ) ] + e ^ 3 h 1 h 2 [ ∂ ∂ q 1 ( h 2 F 2 ) − ∂ ∂ q 2 ( h 1 F 1 ) ] = 1 h 1 h 2 h 3 h 1 e ^ 1 h 2 e ^ 2 h 3 e ^ 3 ∂ ∂ q 1 ∂ ∂ q 2 ∂ ∂ q 3 h 1 F 1 h 2 F 2 h 3 F 3 {\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \times, ={\frac{{\hat{\mathbf{e}}}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac{}\partial{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac{}\partial{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac{{\hat{\mathbf{e}}}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left는 경우에는{\frac{\partial}{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\righ{F}및 \mathbf.t=-{ \frac {\partial q^{1}}\왼쪽(h_{3}F_{3}\오른쪽)\오른쪽]\\ \[10pt]& +{\frac{{\hat{\mathbf{e}}}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac{}\partial{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac{}\partial{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat{\mathbf{e}}}_{1}&, h_{2}{\hat{\mathbf{e}}}_{2}&, h_{3}{\hat{\mathbf{e}}}_{3}\\{\dfrac{\partial}{\part.ial q^{1 }}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}}&#{\dfrac {\partial q^{3}}\\h_{1}F_{1}{1}F_{2}F_{2}&h_{3}{3}}}}{3} }}F_{3}\end{vmatrix}}\end{arged}}} 스칼라 밭의 라플라시안 ∇ 2 ϕ = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ ϕ ∂ q 1 ) + ∂ ∂ q 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ ϕ ∂ q 2 ) + ∂ ∂ q 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ ϕ ∂ q 3 ) ] {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{ 1}h_{1}:{h_{3}}}{\frac {\frac {\frac \phi }{\properties q^{3}}\right]}}
위의 표현식은 반복된 지수에 대한 합계를 가정하여 Levi-Civita 기호 ϵ i k {\ displaystyle \epsilon_{ijk} J 1 2 h 3 {\ displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}}}}}}}
연산자 표현 스칼라 필드 의 그라데이션 ∇ ϕ = e ^ k h k ∂ ϕ ∂ q k {\displaystyle \phi ={\frac {{\hat {e}}}}{{h_{k}}{\frac{\frac{\phi \phi}{\message q^{k}}}}}}}}}} 벡터장 발산 ∇ ⋅ F = 1 J ∂ ∂ q k ( J h k F k ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}{\frac {\partial q^{k}}}\좌측({\frac {J}{h_{k}F_{k}\오른쪽)}} 벡터 필드의 컬(3D에만 해당) ∇ × F = h k e ^ k J ϵ i j k ∂ ∂ q i ( h j F j ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{{K}}}{ijk}{\frac {\partial q^{i}}}}\{j}}}\frac({j}F_{j}오른쪽) 스칼라 밭의 라플라시안 ∇ 2 ϕ = 1 J ∂ ∂ q k ( J h k 2 ∂ ϕ ∂ q k ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{{1}{J}{\partial q^{k}}}}\좌({\frac {J}{h_{k}^}}}}}}}}{\frac {\partial \py{k}}}}}오른쪽)}
또한 스칼라장의 경사는 표준 부분파생물을 포함하는 Jacobian 행렬 J 의 관점에서 표현될 수 있다.
J = [ ∂ ϕ ∂ q 1 , ∂ ϕ ∂ q 2 , ∂ ϕ ∂ q 3 ] {\displaystyle \mathbf {J} =\frac {\partial \phi }{{\partial \phi }{1}:{1}{\partial \phi }{{\partial \partial q^{3}}}\right}}}}}}}} 근거의 변경 에 따라
∇ ϕ = S R T J T {\displaystyle \nabla \pi =\mathbf {S} \mathbf {R} ^{T}\mathbf {J} ^{T}}} 회전 및 스케일링 매트릭스가 있는 경우:
R = [ e 1 , e 2 , e 3 ] {\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]} S = d i a g ( [ h 1 − 1 , h 2 − 1 , h 3 − 1 ] ) . {\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag}([h_{1}^{-1}, h_{2}^{1}, h_{3}^{1}-1}). } 직교좌표 일반적인 데카르트 좌표 외에 아래 표에 다른 몇 개가 표시되어 있다.[5] 간격 표기법 은 좌표 열의 압축성에 사용된다.
곡선 좌표(q 1 , q 2 , q 3 ) 데카르트 변환(x , y , z ) 척도계수 구형 극좌표 ( r , θ , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) [0,\theta,\phi )\in [0,\inflt )\in[0,\pi ]\infilit [0,2\pi )}
x = r 죄를 짓다 θ cas ϕ y = r 죄를 짓다 θ 죄를 짓다 ϕ z = r cas θ {\displaystyle {\displaysty}x&=r\sin \cos \phi \\y&=r\cos \sin \phi \\z&=r\cos \theta \ended}}}} h 1 = 1 h 2 = r h 3 = r 죄를 짓다 θ {\displaystyle {\regated}h_{1}&=1\\h_{2}>r\h_{3}=r\sin \theta \end{arged}}}} 원통 극좌표 ( r , ϕ , z ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) [0,\pi,z)\in[0,\inflt )\inflt [0,2\pi]\inflat(-\inflty,\inflt )]
x = r cas ϕ y = r 죄를 짓다 ϕ z = z {\displaystyle {\signed}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \z&=z\end}정렬}}} h 1 = h 3 = 1 h 2 = r {\displaystyle {\required}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end}}} 포물선 원통형 좌표 ( u , v , z ) ∈ ( − ∞ , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) × ( − ∞ , ∞ ) [\displaystyle (u,v,z)\in (-\inflat,\inflat )\in[0,\inflat )]\inflict (\inflat,\infully )}
x = 1 2 ( u 2 − v 2 ) y = u v z = z {\displaystyle {\regated}x&={\frac {1}{1}:{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\z&=z\end}정렬}}} h 1 = h 2 = u 2 + v 2 h 3 = 1 {\displaystyle {\displaysty}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2} }}}\\h_{3}&=1\end{정렬}}} 포물선 좌표 ( u , v , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\pi )\in [0,\inflt )\in[0,\inflt )\inflict [0,2\pi]
x = u v cas ϕ y = u v 죄를 짓다 ϕ z = 1 2 ( u 2 − v 2 ) {\displaystyle {\displaysty}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{1}2}}(u^{2}-v^{2})\ended}}}}}}}} h 1 = h 2 = u 2 + v 2 h 3 = u v {\displaystyle {\displaysty}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2} }}}\\h_{3}&=uv\end{arged}}} 파라볼로이드 좌표 ( λ , μ , ν ) ∈ [ 0 , b 2 ) × ( b 2 , a 2 ) × ( a 2 , ∞ ) b 2 < a 2 {\displaystyle {\a^{2}&(\bda ,\mu ,\nu )\in[0,b^{2}]\in[b^{2}]\infect (a^{2},\infully )\&b^{2}}}}
x 2 q i − a 2 + y 2 q i − b 2 = 2 z + q i {\displaystyle {\frac{x^{2}}:{q_{i}-a^{2}}+{\frac {y^{2}}:{q_{i}-b^{2}}:}=2z+q_{i}}}}}{i}}}}}}} 여기서(q 1 q 2 q 3 λ , μ ν {\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3}=(\lambda ,\mu ,\nu )}
h i = 1 2 ( q j − q i ) ( q k − q i ) ( a 2 − q i ) ( b 2 − q i ) {\displaystyle h_{i}={\frac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})({a^{2}-q_{i}){b^{2}-q_{i}} }}}} 타원체 좌표 ( λ , μ , ν ) ∈ [ 0 , c 2 ) × ( c 2 , b 2 ) × ( b 2 , a 2 ) λ < c 2 < b 2 < a 2 , c 2 < μ < b 2 < a 2 , c 2 < b 2 < ν < a 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}}
x 2 a 2 − q i + y 2 b 2 − q i + z 2 c 2 − q i = 1 {\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}-q_{i}}}+{\frac{z^{2}}:{c^{2}-q_{i}}}}}=1}1}{a^}}}}}}}}}}}}}=1} 여기서(q 1 q 2 q 3 λ , μ ν {\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3}=(\lambda ,\mu ,\nu )}
h i = 1 2 ( q j − q i ) ( q k − q i ) ( a 2 − q i ) ( b 2 − q i ) ( c 2 − q i ) {\displaystyle h_{i}={\frac {1}{1}{2}}: {\sqrt {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i}}}) }}}} 타원형 원통 좌표 ( u , v , z ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u,v,z)\in [0,\inflt )\inflt [0,2\pi )\inflict(-\inflty,\inflt )}
x = a 코쉬 u cas v y = a 징징거리다 u 죄를 짓다 v z = z {\displaystyle {\signed}x&=a\cosh u\cos v\cos v\\y&=a\sinh u\z&=z\end}}}} h 1 = h 2 = a 징징거리다 2 u + 죄를 짓다 2 v h 3 = 1 {\displaystyle {\regated}h_{1}&=h_{2}=a{\\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}\h_{3}&=1\ended}}}}}}}}} 프로이트 스피로이드 좌표 ( ξ , η , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in[0,\infit )\in[0,\pi ]\infir [0,2\pi )}
x = a 징징거리다 ξ 죄를 짓다 η cas ϕ y = a 징징거리다 ξ 죄를 짓다 η 죄를 짓다 ϕ z = a 코쉬 ξ cas η {\displaystyle {\signed}x&=a\sinh \sin \eta \cosh \sin \phys \etained}}cosh \sin \sin \sin \z&=a\cosh \cosh \cosh \etaended}}}}}}} h 1 = h 2 = a 징징거리다 2 ξ + 죄를 짓다 2 η h 3 = a 징징거리다 ξ 죄를 짓다 η {\displaystyle {\sine}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }\{3}\h_=a\sinh \xisineta \end{ligned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}? 주구좌표 ( ξ , η , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ − π 2 , π 2 ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\pi )\in[0,\inflaty )\pi \reft[-{\frac {\pi }}}{2}},{\pi }\pi [0,2\pi )}
x = a 코쉬 ξ cas η cas ϕ y = a 코쉬 ξ cas η 죄를 짓다 ϕ z = a 징징거리다 ξ 죄를 짓다 η {\displaystyle {\signified}x&=a\cosh \eta \cosh \eta \cosh \etained}cosh \eta \phi \sin \z&=a\sinh \sin \etaend}}}} h 1 = h 2 = a 징징거리다 2 ξ + 죄를 짓다 2 η h 3 = a 코쉬 ξ cas η {\displaystyle {\compregated}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }\h_{3}}=a\cosh \xicos \eta \ended{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 양극 원통 좌표 ( u , v , z ) ∈ [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) × ( − ∞ , ∞ ) (u,v,z)\in [0,2\pi )\innit (-\inflit,\inflit )\inflit (-\inflit,\inflit )}
x = a 징징거리다 v 코쉬 v − cas u y = a 죄를 짓다 u 코쉬 v − cas u z = z {\displaystyle {\signed}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}\z&=jed}}}}}}}}} h 1 = h 2 = a 코쉬 v − cas u h 3 = 1 {\displaystyle {\regated}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}\\h_{3}&=1\end}}}}}}} 토로이드 좌표 ( u , v , ϕ ) ∈ ( − π , π ] × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\pi )\in (-\pi ,\pi ]\in[0,\infit )\infit [0,2\pi )}
x = a 징징거리다 v cas ϕ 코쉬 v − cas u y = a 징징거리다 v 죄를 짓다 ϕ 코쉬 v − cas u z = a 죄를 짓다 u 코쉬 v − cas u {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} h 1 = h 2 = a 코쉬 v − cas u h 3 = a 징징거리다 v 코쉬 v − cas u {\displaystyle {\cosh v-\cos u}{\cos u}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cos u}{\cosh v-\}\ended}}}}}}}} 구면 좌표 ( u , v , ϕ ) ∈ ( − π , π ] × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\pi )\in (-\pi ,\pi ]\in[0,\infit )\infit [0,2\pi )}
x = a 죄를 짓다 u cas ϕ 코쉬 v − cas u y = a 죄를 짓다 u 죄를 짓다 ϕ 코쉬 v − cas u z = a 징징거리다 v 코쉬 v − cas u {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} h 1 = h 2 = a 코쉬 v − cas u h 3 = a 죄를 짓다 u 코쉬 v − cas u {\displaystyle {\cosh{pregated}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}\h_{3}&}={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}? 원뿔 좌표 ( λ , μ , ν ) ν 2 < b 2 < μ 2 < a 2 λ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle {\data,\mu,\nu )\&\nu ^{2}<b^{2}<a^{2}<a^{2}<a^{2}\\&#da \in,\infline}}}}}}}
x = λ μ ν a b y = λ a ( μ 2 − a 2 ) ( ν 2 − a 2 ) a 2 − b 2 z = λ b ( μ 2 − b 2 ) ( ν 2 − b 2 ) b 2 − a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}} h 1 = 1 h 2 2 = λ 2 ( μ 2 − ν 2 ) ( μ 2 − a 2 ) ( b 2 − μ 2 ) h 3 2 = λ 2 ( μ 2 − ν 2 ) ( ν 2 − a 2 ) ( ν 2 − b 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}}
참고 항목 메모들 ^ Eric W. Weisstein . "Orthogonal Coordinate System" . MathWorld . Retrieved 10 July 2008 .^ Morse와 Feshbach 1953 , 1권 494-523, 655-666.^ 수학적 수식 및 표(3판), S. 립슈츠, M.R. 스피겔, J. 류, 슈암의 아웃라인 시리즈, 2009, ISBN 978-0-0-07-154855-7 . ^ 벡터 분석(2판), M.R.슈피겔,S.립슈츠,D.스펠맨,샤움의 윤곽,맥그로우 힐(미국),2009,ISBN 978-0-0-0-07-161545-7 ^ 벡터 분석(2판), M.R.슈피겔,S.립슈츠,D.스펠맨,샤움의 윤곽,맥그로우 힐(미국),2009,ISBN 978-0-0-0-07-161545-7
참조 Korn GA와 Korn TM . (1961) McGraw-Hill , 페이지 164–182 .Morse and Feshbach (1953). "Methods of Theoretical Physics, Volume 1". McGraw-Hill. Margenau H.와 Murphy GM. (1956) The Mathical of Physics and Chemphy , 2번째 Ed. Van Nosteland, 페이지 172–192. 레오니드 P. Lebedev와 Michael J. Cloud(2003) 텐서 분석 , 페이지 81 – 88. 
![{\begin{aligned}{\mathbf x}\cdot {\mathbf y}&=\left(x^{1}{\mathbf e}_{1}+x^{2}{\mathbf e}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\mathbf e}^{1}+y_{2}{\mathbf e}^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {{\mathbf e}}}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {{\mathbf e}}}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b967298ef8aa5d1b20f98c99698d74ed639bbcae)
![\nabla \cdot {\mathbf F}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507074e0312d74f218fab31eb2c8b8f5b1f4c006)
![{\begin{aligned}\nabla \times {\mathbf F}&={\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {{\mathbf {e}}}}_{1}&h_{2}{\hat {{\mathbf {e}}}}_{2}&h_{3}{\hat {{\mathbf {e}}}}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0cf253355fd6c635882210ba8aea0ce0a2ed69)
![\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36a46d097a001f5efcd7baeb71a704a4b7d12a7)
![{\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3d1780fdf3a08972f06460f5741be18d7bd6fe)
![{\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fd2e72b24c18b1b2b140ee915554865ec5c6a5)
![{\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974cf3b8344f1c1effd1f000b64a2ac21b104055)
![(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f80374da8b4cc0a2a38db8d858474b585b0574)
![(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c343b31aeed0f8843151e697f796a225a14491)
![(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93628d06c8efe1c6f60365cc5f80f615c07bca13)
![(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000c3d0efd5294a2c0d125ea8f4a1052147fc971)
