복합반사군

수학에서 복합반사군(complex reflection group)은 복합반사에 의해 생성되는 유한차원 복합벡터 공간에 작용하는 유한군(complex vector space)으로, 복잡한 하이퍼플레인(hyperplane)을 점으로 고정하는 비종교적 요소들이다.

복합반사군은 다항고리의 불변이론에 대한 연구에서 발생한다. 20세기 중반에는 셰퍼드·토드 작품에 완전히 분류되었다. 특수한 경우로는 순열의 대칭 그룹, 이음계 그룹 및 보다 일반적으로 유한한 모든 실제 반사 그룹(정규 다면체의 대칭 그룹을 포함한 Coxeter 그룹 또는 Weyl 그룹)이 포함된다.

정의

A (complex) reflection r (sometimes also called pseudo reflection or unitary reflection) of a finite-dimensional complex vector space V is an element $r\in GL(V)$ of finite order that fixes a complex hyperplane pointwise, that is, the fixed-space ${\displaystyle \operato$ $r이름 {Fix}(r):$ $=\operatorname {ker}(r-\operatorname {Id} _{V})$ 에 $\operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})$ 코드 표현식 1이 있다.

A(마인드) 복합반사군 $W\subseteq GL(V)$ $W\subseteq GL(V)$ G $W\subseteq GL(V)$ $W\subseteq GL(V)$ ) $W\subseteq GL(V)$ 은 반사에 의해 생성되는 $GL(V)$ $GL(V)$ $GL(V)$ $GL(V)$ $GL(V)$ $GL(V)$ 의 유한 부분군이다 $W\subseteq GL(V)$ .

특성.

우리가 스칼라를 R에서 C로 연장하면 어떤 실제 반사 집단이든 복합 반사 집단이 된다. 특히 모든 유한 Coxeter 그룹이나 Weyl 그룹은 복잡한 반사 그룹의 예를 제시한다.

해당 벡터 공간의 W-invariant 적절한 하위공간이 원점일 경우 복합반사군 W는 다시 해석할 수 없다. 이 경우 벡터 공간의 치수를 W의 순위라고 한다.

The Coxeter number $h$ of an irreducible complex reflection group W of rank $n$ is defined as $h={\frac { {\mathcal {R}} + {\mathcal {A}} }{n}}$ where ${\mathcal {R}}$ denotes the set of reflections and ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal{A}$ 은 ${\mathcal {A}}$ (는) 반사 하이퍼플레인의 집합을 나타낸다. 실제 반사 그룹의 경우, 이 정의는 유한 Coxeter 시스템에 대한 Coxeter 수의 일반적인 정의로 감소한다.

분류

어떤 복잡한 반사 집단은 해당 벡터 공간의 합계에 작용하는, 돌이킬 수 없는 복잡한 반사 집단의 산물이다.^[1] 그래서 돌이킬 수 없는 복잡한 반사 집단을 분류하는 것으로 충분하다.

돌이킬 수 없는 복잡한 반사 집단은 G. C.에 의해 분류되었다. 셰퍼드 앤 J. A. 토드(1954년). 그들은 모든 불가침은 3개의 양의 정수 매개변수(p 나누기 m)에 따라 무한대 G(m, p, n)에 속하거나 예외 34개 사례 중 하나라는 것을 증명했는데, 이는 4개에서 37개까지의 숫자였다.^[2] 그룹 G(m, 1, n)는 일반화된 대칭 그룹이며, 동등하게 순서 m의 순환 그룹에 의한 대칭 그룹 Sym(n)의 화환 제품이다. 행렬 그룹으로서, 그 요소는 0이 아닌 원소가 통일의 m번째 뿌리인 단항 행렬로 실현될 수 있다.

그룹 G(m, p, n)는 G(m, 1, n)의 인덱스-p 하위그룹이다. G(m, p, n)는 mnⁿ!/p 순이다. 행렬로서, 0이 아닌 입력의 산물이 (m/p)번째 통합의 루트인 부분집합으로 실현될 수 있다. 대수학적으로 G(m, p, n)는 대칭군 Sym(n)에 의한 아벨 순서ⁿ m/p의 반간접적 산물로, 아벨 그룹 원소는 형태( (, θ^a₁^a₂, ..., θ^a_n)이며, 여기서 θ은 단결의 원시 m번째 뿌리, σa ≡ 0 mod p이며, Sym(n)은 좌표의 순열에 의해 작용한다.^[3]

그룹 G(m,p,n)는 사례 m = 1, n > 1 (대칭 그룹)과 G(2, 2, 2) (클라인 4 그룹)를 제외하고 C에ⁿ 대해 이해할 수 없는 행동을 한다. 이 경우 C는ⁿ 치수 1과 n - 1의 수정 불가능한 표현들의 합으로 분할된다.

G(m, p, n)의 특별한 경우

콕시터 그룹

m = 2일 때, 앞의 절에서 설명한 표현은 실제 항목이 포함된 행렬로 구성되며, 따라서 이 경우 G(m,p,n)는 유한 Coxeter 그룹이다. 특히:^[4]

G(1, 1, n) 타입 A_n−1 = [3,3,...,3,3] = ...; 대칭 순서 n!
G(2, 1, n)의 유형_n B = [3,3,...,3,4] = ...; 순서 2n의ⁿ 초옥타헤드 그룹!
G(2, 2, n) 타입 D_n = [3,3,...,3^1,1] = ..., 순서 2nⁿ!/2.

또한 m = p, n = 2일 때 그룹 G(p, p, 2)는 순서 2p의 이면군이며, Coxeter 그룹으로서 유형 I₂(p) = [p] = (p = 6일 경우 Weyl 그룹₂ G)이다.

기타 특수 사례 및 우연

복합반사군으로서 두 그룹 G(m, p, n^{[clarification needed]})가 이형성인 경우는 G(ma, pa, 1)가 모든 양의 정수 a, b(그리고 둘 다 순서 m/p의 순환군과의 이형성인 경우)에 대해 G(mb, pb, 1)가 G(mb, pb, 1)에 이형성인 경우뿐이다. 그러나 이와 같은 두 집단이 추상집단처럼 이형적인 경우도 있다.

그룹 G(3, 3, 2)와 그룹 G(1, 1, 3)는 대칭 그룹 Sym(3)에 대해 이형이다. 그룹 G(2, 2, 3)와 그룹 G(1, 1, 4)는 대칭 그룹 Sym(4)과 이형성이다. G(2, 1, 2)와 G(4, 4, 2)는 모두 순서 8의 이면 그룹에 이형이다. 그리고 그룹 G(2p, p, 1)는 G(1, 1, 2)와 같이 순서 2의 순환이다.

되돌릴 수 없는 복잡한 반사 그룹 목록

이 목록의 처음 세 줄에는 몇 개의 중복 항목이 있다. 자세한 내용은 이전 절을 참조하십시오.

ST는 셰퍼드-반사 그룹의 토드 번호.
랭크는 그룹이 작용하는 복잡한 벡터 공간의 치수다.
구조는 집단의 구조를 설명한다. 기호 *는 두 그룹의 중심 제품을 의미한다. 순위 2의 경우 (순환) 중심에서 차지하는 몫은 표에 명시된 대로 4면체, 8면체 또는 이코사면체(T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5), 순서 12, 24, 60의 회전 그룹이다. 표기법 2는¹⁺⁴ 특수 그룹을 참조하십시오.
순서는 그룹의 요소 수입니다.
반사는 반사의 수를 기술한다: 24는⁶¹² 순서 4의 순서 2와 12의 반사가 6개 있다는 것을 의미한다.
도는 다항식 불변성의 링의 기본 불변성의 정도를 알려준다. 예를 들어, 그룹 4의 불변수는 4도와 6도의 발전기가 2개인 다항식 링을 형성한다.

세인트	순위	구조 및 이름	콕시터 이름	주문	반사	도	코드그리스
1	n−1	대칭 그룹 G(1,1,n) = Sym(n)		n!	2^{n(n − 1)/2}	2, 3, ...,n	0,1,...,n − 2
2	n	G(m,p,n) m > 1, n > 1, p m (G(2,2,2)는 환원 가능)		mⁿn!/p	2^mn(n−1)/2,d^nφ(d) (d m/p, d > 1)	m,2m,..(n - 1)m; mn/p	p < 0,m, ..., (n - 1)m인 경우 0,m, ..., (n - 2)m인 경우 (n - 1)m인 경우 - n.
2	2	G(p,1,2) p > 1	p[4]2 또는	2p²	2^p,d^2φ(d) (d p, d > 1)	p; 2p	0,p
2	2	다이헤드 그룹 G(p,p,2) p > 2	[p] 또는	2p	2^p	2,p	0,p-2
3	1	주기_p 그룹 G(p,1,1) = Z	p[] 또는	p	d^φ(d) (d p, d > 1)	p	0
4	2	W(L₂), Z₂.T	3[3]3 또는 , 32,3,3⟩	24	3⁸	4,6	0,2
5	2	Z₆.T	3[4]3 또는	72	3¹⁶	6,12	0,6
6	2	Z₄.T	3[6]2 또는	48	2⁶3⁸	4,12	0,8
7	2	Z₁₂.T	‹3,3›₂ 또는 ⟨2,3,3⟩₆	144	2⁶3¹⁶	12,12	0,12
8	2	Z₄.O.	4[3]4 또는	96	2⁶4¹²	8,12	0,4
9	2	Z₈.O.	4[6]2 또는 ⟨2,3,4⟩₄	192	2¹⁸4¹²	8,24	0,16
10	2	Z₁₂.O.	4[4]3 또는	288	2⁶3¹⁶4¹²	12,24	0,12
11	2	Z₂₄.O.	⟨2,3,4⟩₁₂	576	2¹⁸3¹⁶4¹²	24,24	0,24
12	2	Z₂.O= GL₂(F₃)	⟨2,3,4⟩	48	2¹²	6,8	0,10
13	2	Z₄.O.	⟨2,3,4⟩₂	96	2¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z₆.O.	3[8]2 또는	144	2¹²3¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z₁₂.O.	⟨2,3,4⟩₆	288	2¹⁸3¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z₁₀.I, 32,3,5z×Z₅	5[3]5 또는	600	5⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z₂₀.I	5[6]2 또는	1200	2³⁰5⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z₃₀.I	5[4]3 또는	1800	3⁴⁰5⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z₆₀.I	⟨2,3,5⟩₃₀	3600	2³⁰3⁴⁰5⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z₆.I	3[5]3 또는	360	3⁴⁰	12,30	0,18
21	2	Z₁₂.I	3[10]2 또는	720	2³⁰3⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Z₄.I	⟨2,3,5⟩₂	240	2³⁰	12,20	0,28
23	3	W(H₃) = Z₂ × PSL₂(5)	[5,3],	120	2¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W(J₃(4) = Z₂ × PSL₂(7), 클라인	[1 1 1⁴]⁴,	336	2²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W(L₃) = W(P₃) = 3¹⁺².SL₂(3) 헤시안	3[3]3[3]3,	648	3²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W(M₃) =Z₂ ×3¹⁺².SL₂(3) 헤시안	2[4]3[3]3,	1296	2⁹ 3²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W(J₃(5) = Z₂ ×(Z₃)Alt(6), 발렌티너	[1 1 1⁵]⁴, [1 1 1⁴]⁵,	2160	2⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W(F₄) = (SL₂(3)* SL₂(3)). (Z₂ × Z₂)	[3,4,3],	1152	2¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W(N₄) = (Z₄*2^{1 + 4})Sym(5)	[1 1 2]⁴,	7680	2⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W(H₄) = (SL₂(5)*SL₂(5)).Z₂	[5,3,3],	14400	2⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W(EN₄) = W(O₄) = (Z₄*2^{1 + 4})Sp₄(2)		46080	2⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W(L₄) = Z₃ × Sp₄(3)	3[3]3[3]3[3]3,	155520	3⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W(K₅) = Z₂ ×Ω₅(3) = Z₂ × PSP₄(3)= Z₂ × PSU₄(2)	[1 2 2]³,	51840	2⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W₃(K₆)= Z.Ω⁻ ₆(3).Z₂, Mitchell 그룹	[1 2 3]³,	39191040	2¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	W(E₆) = SO₅(3) = O⁻ ₆(2) = PSp₄(3)Z₂ = PSU₄(2).Z₂	[3^2,2,1],	51840	2³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E₇) = Z₂ ×Sp₆(2)	[3^3,2,1],	2903040	2⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W(E₈)= Z₂.O⁺ ₈(2)	[3^4,2,1],	696729600	2¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

복잡한 반사 그룹의 다이어그램, 프리젠테이션 및 코드그리를 포함한 자세한 내용은 의 표를 참조하십시오(Michel Broué, Gunter Malle & Raphael Louquier 1998).

도

Shephard와 Todd는 복잡한 벡터 공간에 작용하는 유한 집단이 그것의 불변환 고리가 다항식 고리인 경우에만 복잡한 반사 집단이라는 것을 증명했다(Chevalley–셰퍼드-토드 정리). $\ell$ $\ell$ 이(가) 반사 그룹의 순위인 $\ell$ 경우, 불변성 고리 생성기의 도 $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ … $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ ${\$ }\ $2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}}}$ 는 W 도라고 하며, 위의 열에 나열되어 있다. 그들은 또한 그룹의 다른 많은 불변자들이 다음과 같이 정도에 의해 결정된다는 것을 보여주었다.

돌이킬 수 없는 반사 그룹의 중심은 도의 가장 큰 공통점수와 같은 질서의 순환이다.
복합반사군의 순서는 그 정도의 산물이다.
반사의 수는 도에서 순위를 뺀 값이다.
돌이킬 수 없는 복합 반사 그룹은 2도의 불변성을 갖는 경우에만 실제 반사 그룹에서 나온다.
도 d는_i $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ i $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ = $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ + $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ - 1 $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ ) = $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ ) $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$ . ${\dapstyle$ \prod _ ${i=1}^{\$ ell $}}(q+d_{$ i-1)=\ $sum$ _ ${w\in$ W} $q^{dim(V^{w}).$ $}$

코드그리스

For $\ell$ being the rank of the reflection group, the codegrees $d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}$ of W can be defined by ${\displaystyle \pro$ $d _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.$ $}$

실제 반사 그룹의 경우, 코드그리는 도에서 2를 뺀 값이다.
반사 하이퍼플레인의 수는 코드그리에 순위를 더한 합이다.

잘 생성된 복합 반사 그룹

정의에 따르면, 모든 복잡한 반사 그룹은 그것의 반사에 의해 생성된다. 그러나 반사의 집합은 최소 발생 집합이 아니며, 순위 $n$ 의 모든 수정 불가능한 복합 반사 그룹은 n $또는$ $n$ + $1$ 반사로 구성된 최소 발생 집합을 가진다. 전자의 경우 집단이 잘 만들어졌다고 한다.

The property of being well-generated is equivalent to the condition $d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }$ for all $1\leq i\leq \ell$ . Thus, for example, one can read off from the classification that the group $G (m, p, n)$ is well-generated if and only if p = 1 or m.

unreducable 잘 생성된 complex reflection 그룹의 경우 위에서 $정의$ 한 Coxeter number h는 $h=d_{\ell }$ 큰 도, $h=d_{\ell }$ = d $h=d_{\ell }$ ${\$ 환원 가능한 complex reflection 그룹은 unreducable 잘 생성된 complex reflection 그룹의 산물인 경우 잘 생성된다고 한다. 모든 유한한 실제 반사 집단은 잘 생성된다.

셰퍼드 그룹

잘 생성된 복잡한 반사 그룹에는 셰퍼드 그룹이라고 불리는 하위 집합이 포함된다. 이 그룹들은 규칙적인 복합 폴리토페스의 대칭 그룹이다. 특히 일반 다면체의 대칭군이 포함된다. 셰퍼드 그룹은 선형 다이어그램과 함께 "Coxeter와 같은" 프레젠테이션을 인정하는 복잡한 반사 그룹으로 특징지어질 수 있다. 즉, 쉐퍼드 그룹은 $p 1, ...,$ $p n$ , $q 1, q n - 1$ , 생성 $s$ 가₁ 있는 q, $...$ $관계$ 를_n 만족시키는 긍정적인 정수를 연결했다.

(s_{i})^{p_{i}}=1

(s_{i})^{p_{i}}=1

(s_{i})^{p_{i}}=1

)

(s_{i})^{p_{i}}=1

i

(s_{i})^{p_{i}}=1

= 1

{\displaystyle (s_{i}}^{p_{i}}=1}:

i

= 1,

...,

n

,

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

|i-j|>1

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

j

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

=

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

j

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

i

{\

i

|i-j|>1

-

|i-j|>1

> 1

{\displaysty i-j >1

그리고

s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots

where the products on both sides have

q i

terms, for

i = 1, ..., n - 1

.

이 정보는 Coxeter 유형 기호 $p 1 [q 1] p 2 [q 2]$ 에서 수집되기도 한다 $.$ $[q n - 1] p n$ , 위 표와 같이.

무한대 $G (m,$ $p,$ $n$ )의 집단 중에서 셰퍼드 집단은 p = $1인$ 집단이 있다 $.$ 또한 18개의 예외적인 셰퍼드 그룹이 있는데, 그 중 3개는 진짜다.^[5]^[6]

카르탄 행렬

확장된 카르탄 행렬은 단일 군집단을 정의한다. Shephard 그룹의 n등급 그룹은 n개의 발전기를 가지고 있다. 일반 카르탄 행렬에는 대각선 원소 2가 있지만, 단일 반사에는 이러한 제한이 없다.^[7] 예를 들어, 순서 p의 순위 1 그룹(기호 p[, )은 1× 1 $행렬$ $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ - e $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ / $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ ${\$ 에 의해 정의된다 $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$

Given: ${\displaystyle \zeta _{p}=e^{2\pi i/p},$ $\omega \ \zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$ .

1위
그룹		카르탄	그룹		카르탄
2[]		$\left[{\put}2\end{put}}\오른쪽]$	3[]		$\left[{\put}1-\omega \end{data}}\오른쪽]$
4[]		$\left[{\put}i\end{put}}\오른쪽]$	5[]		$\left[{\displaysty{put}1-\zeta _{5}\end{pend}}\오른쪽]$

2위
그룹		카르탄	그룹		카르탄
G₄	3[3]3	$\left[{\put{smallmatrix}1-\\\omega &1\-\morea \end{smallmatrix}\right]$	G₅	3[4]3	$\left[{\put{smallmatrix}1-\-2\omega &1-\morea \end{smallmatrix}\right]$
G₆	2[6]3	${\displaystyle \left[{\\smallmatrix}2&#1\\\omega +i\omega ^{2}&#1-\omega \end{smallmatrix}\right]$	G₈	4[3]4	$\left[{\\\smallmatrix}1-i&1\\-i&i\end{smallmatrix}\오른쪽]$
G₉	2[6]4	$\left[{\\smallmatrix}2&1\\(1+{\sqrt{2}})\zeta _{8}&1+i\end{smallmatrix}\오른쪽]$	G₁₀	3[4]4	$\left[{\put{smallmatrix}1-\omega &1\-i-e-end{smallmatrix}\오른쪽]$
G₁₄	3[8]2	$\left[{\put{smallmatrix}1-\omega &1\\1-\omega +\omega ^{2}{\sqrt{2}}&nd{smallmatrix}\오른쪽]}$	G₁₆	5[3]5	$\left[{\\put{smallmatrix}제타 _{5}&1\\-\zeta _{5}\end{smallmatrix}\right]}}$
G₁₇	2[6]5	$\left[{\put{smallmatrix}2&\\\1\zeta _{5}-i\zeta ^{3}&#1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}\right]}$	G₁₈	3[4]5	$\left[{\put{smallmatrix}1-\omega &1\\\\omega -\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}\right]}$
G₂₀	3[5]3	$\left[{\put{smallmatrix}1-\omega &1\\\omega(\tau -2)&1-\omega \end{smallmatrix}\오른쪽]$	G₂₁	2[10]3	$\{\put{smallmatrix}2&1\\1-\omega -i\omega ^{2}\tau &1-\omega \end{smallmatrix}\right]$

3위
그룹		카르탄	그룹		카르탄
G₂₂	<5,3,2>₂	$\left[{\\put{smallmatrix}2&\tau +i-1&-i+1\\\\tau -i-1&i\nd{smallmatrix}\right]$	G₂₃	[5,3]	$\left[{\\\smallmatrix}2&-\tau &0\1\\0&1&2\end{smallmatrix}\right]$
G₂₄	[1 1 1⁴]⁴	$\left[{\\puts{smallmatrix}2&-\data \\\\\\1+\nd{smallmatrix}\right]$	G₂₅	3[3]3[3]3	$\left[{\put{smallmatrix}1-\omega ^{2}&#0\\\\omega ^{2}\\0&\omega ^{1-\matrix}\오른쪽]$
G₂₆	3[3]3[4]2	$\left[{\put{smallmatrix}1-\omega &-\nomega ^{2}&#0\\0&-1+\morea &2\end{smallmatrix}\right]$	G₂₇	[1 1 1⁵]⁴	$\left[{\put{smallmatrix}2&-\-\omega \\\\\tau&-\nomega ^{2}\nd{smallmatrix}\right]$

4위
그룹			카르탄	그룹			카르탄
G₂₈	[3,4,3]		$\left[{\\put{smallmatrix}2&#1&#2&#1&#2&#1&#2\\0&#1&#1&#2\end{smallmatrix}\right$	G₂₉	[1 1 2]⁴		$\left[{\\put{smallmatrix}2&-i+1&0\\1&i&0\\-i+1&1>\0&0&-1&#end{smallmatrix}\right]$
G₃₀	[5,3,3]		$\left[{\\put{smallmatrix}2&-\tau &0&#0&#1&0\\0&1&1\end{smallmatrix}\right]$	G₃₂	3[3]3[3]3		$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}&0\\0&\omega ^{2}&1-\omega &\omega ^{2}\\0&0&-\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

5위
그룹			카르탄	그룹			카르탄
G₃₁	O₄		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0&-i+1\\-1&2&-i&0&0\\-i+1&i&2&-1&-i+1\\0&0&-1&2&-1\\i+1&0&i+1&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G₃₃	[1 2 2]³		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&-1&0\\0&-1&2&-\omega &0\\0&-1&-\omega ^{2}&2&-\omega ^{2}\\0&0&0&-\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

참조

^ 레러와 테일러 정리 1.27
^ 레러와 테일러 271페이지
^ 레러와 테일러, 섹션 2.2.
^ 레러와 테일러, 사례 2.11.
^ 피터 올릭, 빅터 라이너, 앤 5세 셰플러. 셰퍼드 그룹의 간판 표시. 수탈리스체 안날렌. 2002년 3월 322권 발행 3페이지 477-492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
^ Coxeter, H. S. M.; Cerminal Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1974.
^ 단일 반사 그룹, 페이지 91-93

Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "On complex reflection groups and their associated braid groups" (PDF), Representations of groups (Banff, AB, 1994), CMS Conf. Proc., vol. 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–13, MR 1357192
Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1998 (500): 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907, doi:10.1515/crll.1998.064, ISSN 0075-4102, MR 1637497
Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae, 17 (4): 273–302, Bibcode:1972InMat..17..273D, doi:10.1007/BF01406236, ISSN 0020-9910, MR 0422673, S2CID 123680847
힐러, 콕시터 그룹의 하워드 기하학 수학 연구노트, 54. 피트먼(고급 출판 프로그램), 보스턴, 미사.-런던, 1982년. iv+213 페이지 ISBN 0-273-08517-4*
Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
Shephard, G. C.; Todd, J. A. (1954), "Finite unitary reflection groups", Canadian Journal of Mathematics, Canadian Mathematical Society, 6: 274–304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3, ISSN 0008-414X, MR 0059914
Coxeter, Unital Reflections에 의해 생성된 유한 집단, 1966, 4 그래픽 표기법, N-Unitarity Reflections에 의해 생성된 n-차원 그룹 표. 페이지 422–423

외부 링크

MAGMA 연산 대수 시스템 페이지

[1] 레러와 테일러 정리 1.27

[2] 레러와 테일러 271페이지

[3] 레러와 테일러, 섹션 2.2.

[4] 레러와 테일러, 사례 2.11.

[5] 피터 올릭, 빅터 라이너, 앤 5세 셰플러. 셰퍼드 그룹의 간판 표시. 수탈리스체 안날렌. 2002년 3월 322권 발행 3페이지 477-492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]

[6] Coxeter, H. S. M.; Cerminal Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1974.

[7] 단일 반사 그룹, 페이지 91-93

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