통합의 뿌리

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수학에서, 때때로 de Moivre number라고 불리는 통합의 뿌리는 어떤 양의 정수 검정력 n으로 상승했을 때 1을 산출하는 복잡한 숫자다. 통합의 뿌리는 수학의 여러 가지 분야에서 사용되고 있으며, 특히 숫자 이론, 집단 캐릭터 이론, 이산 푸리에 변환에서 중요하다.

통합의 뿌리는 어느 분야에서나 정의될 수 있다. 만일 그 장의 특성이 0이라면 뿌리는 역시 대수 정수인 복잡한 숫자들이다. 양성 특성을 가진 필드의 경우 뿌리는 유한한 필드에 속하며, 반대로 유한한 필드의 모든 논제로 원소는 통일의 뿌리가 된다. 대수적으로 닫힌 장은 정확히 n번째의 단결(양) 특성을 가진 n번째 근을 포함한다. 단, n은 단결(양) 특성의 배수인 경우는 제외한다.

일반적 정의

단결의 n번째 근인 여기서 n은 양의 정수로서 방정식을^[1][2] 만족하는 숫자 z이다.

${\displaystyle z^{n}=1.}$

달리 명시하지 않는 한, 단결의 뿌리는 복잡한 숫자(숫자 1과 짝수인 경우 숫자 –1 포함)로 받아들일 수 있으며, 이 경우 단결의 n번째 뿌리는 0의 상상의 부분으로 복잡하다.

${\displaystyle \exp \exp \frac {2k\pi i}{n}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}\frac {2k\pi }{n},\qquad k=0,\n-1,\n-1.}$

그러나, 통일의 뿌리에 대한 정의 방정식은 어떤 분야(그리고 심지어 어떤 고리에도) F에 걸쳐 의미가 있으며, 이것은 F에서 통일의 뿌리를 고려할 수 있게 한다. 필드 F 중에서 F의 특성이 0이면 F의 통합의 뿌리가 복합적인 숫자이거나, 그렇지 않으면 유한한 필드에 속한다. 반대로 유한한 분야의 모든 논제로 원소는 그 분야에서의 통합의 뿌리다. 자세한 내용은 통합 모듈로 n 및 유한 필드 루트를 참조하십시오.

통합의 n번째 뿌리는 어떤 작은 m에 대한 통일의 m번째 뿌리가 아니라면 원시적이라고 하는데, 즉 다음과 같다.

${\displaystyle z^{n}=1\text{and}\\cHB\cHBFF{m}\neq 1{{\text{{}}}{{}}}}{{}}}}}{{}}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}$

n이 소수라면, 1을 제외한 통일의 모든 n번째 뿌리는 원시적이다.

지수함수와 삼각함수의 측면에서 위의 공식에서, 통일의 원시 n번째 근원은 k와 n이 동시적 정수인 근이다.

이 글의 후속 섹션은 통합의 복잡한 뿌리를 준수할 것이다. 0이 아닌 특성 분야에서 통합의 뿌리의 경우, 유한 필드 § 통합의 뿌리를 참조하십시오. 모듈형 정수의 링에서 통합 루트의 경우 통합 모듈로 n의 루트를 참조하십시오.

기본 속성

unity z의 모든 n번째 루트는 일부 ≤ n에 대한 원초적 attroot로서, z^a = 1과 같은 가장 작은 양의 정수다.

통일의 n번째 뿌리의 어떤 정수 권력도 마찬가지로 통일의 n번째 뿌리다.

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

이는 음수 지수에도 해당된다. 특히, 통일의 n번째 뿌리의 역수는 그 복잡한 결합이며, 또한 통일의 n번째 뿌리다.

${\displaystyle {\frac {1}{z}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

z가 단결의 n번째 루트이고 ≡ b(mod n)인 경우^a z = z^b. 실제로, congruence modulo n의 정의에 따르면, 일부 정수 k에 대해 a = b + kn.

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}^{k}=z^{b}.}$

따라서 z의 검정력 z가^a 주어지면 z^a = z를^r 가지며, 여기서 0 < r < n은 a by n의 유클리드 분할의 나머지다.

z를 통일의 원시 n번째 근원이 되게 하라. 그러면 powers z, z², ..., zⁿ⁻¹, zⁿ⁰ = 1은 단결의 n번째 뿌리로 모두 구별된다.(z^a = z^b 여기서 1 ≤ a < b ≤ n, 그러면 z = 1은^b−a z가 원시적이지 않음을 의미한다) 이는 한 필드에 대한 n차 다항식(이 경우 복합수 필드)이 최대 n개의 해답을 가지고 있기 때문에 z, z², ..., zⁿ⁻¹, zⁿ⁰ = 1은 모두 통일의 n번째 루트임을 의미한다.

From the preceding, it follows that, if z is a primitive nth root of unity, then ${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$ if and only if ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ If z is not primitive then ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ implies ${\dis$$플레이스타일 z^{a}=z^{b}},$ 그러나$$ 역은 다음 예에서 알 수 있듯이 거짓일 수 있다. n = 4인 경우, 1차 단위의 n번째 기본 루트는 z = –1이고, ${\displaystyle 1}$은 ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$= z ${\displaystyle {}^{}}$= 1 ${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1$}가 있지만$,$ 2 ${\displaystyle \not\equiv }$ 4${\displaystyle (모드\mathrm{}}$ 4${\displaystyle }$) ${\displaystyle .}$ ${\displaystystyle 2\not$ \$equiv 4${\$pmod$ {4$}.$$}$

z를 통일의 원시 n번째 근원이 되게 하라. 검정력 w = z의^k z는 단결의 원시적 루트다.

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

여기서 ${\displaystyle gcd(k}$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \gcd(k,n)}$은 n과 k의 가장 큰 공통점이다. 이는 ka가 n의 배수인 k의 최소배수라는 사실에서 비롯된다. 즉 k와 n의 최소공배수인 셈이다. 그러므로

${\displaystyle a={\frac {\frac 이름 {lcm}(k,n)}{\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}}={\frac {n}}}}$

따라서 k와 n이 동일시라면 z도^k 원시의 n번째 근원이며, 따라서 n(n)의 구별되는 원시 n번째 근원이 있다(여기서 φ은 오일러의 토털함수다). 이는 n이 소수일 경우 +1을 제외한 모든 뿌리가 원시임을 의미한다.

즉, R(n)이 단결의 모든 n번째 뿌리의 집합이고 P(n)가 원시적인 뿌리의 집합이라면 R(n)은 P(n)의 해체된 결합이다.

${\displaystyle \operatorname {R}(n)=\빅컵 _{d\, \,n}\operatorname {P}(d),}$

여기서 표기법은 d가 1과 n을 포함한 n의 모든 양분점을 거치는 것을 의미한다.

R(n)의 카디널리티는 n이고, P(n)의 카디널리티는 φ(n)이기 때문에, 이는 고전적인 공식을 보여준다.

${\displaystyle \sum _{d\, \,n}\varphi(d)=n.}$

그룹 속성

통합의 모든 뿌리의 그룹

통일의 두 뿌리의 곱셈 역도 통일의 뿌리다. 실제로 x^m = 1이고ⁿ y = 1이면 (x⁻¹)^m = 1이고 (xy)^k = 1이면 여기서 k는 m과 n의 최소공통배수다.

그러므로 통합의 뿌리는 곱셈아래 아벨 그룹을 형성한다. 이 그룹은 원 그룹의 비틀림 부분군이다.

통합의 n번째 뿌리 그룹

정수 n의 경우, 통일의 두 n번째 뿌리의 곱셈 역도 통일의 n번째 뿌리다. 따라서 통일의 n번째 뿌리는 곱셈을 받아 아벨리아 그룹을 형성한다.

원초적인 n번째 근원인 Ω을 주어, 다른 n번째 근원은 Ω의 힘이다. 통일의 n번째 뿌리의 집단이 순환집단이라는 뜻이다. 순환집단의 용어는 이 집단이 원집단의 한 부분군이라는 사실에서 비롯되었다고 말할 만하다.

통일의 원시 n번째 뿌리의 갈루아 집단

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \mathb {Q}(\omega)}$을(를) 원시 n번째 Ω 루트에 의해$$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 생성된 합리적인 숫자의 필드 확장이 되도록$$ 한다. 통일의 모든 n번째 루트가 ${\displaystyle \Omega }$의 전력이기 때문에 필드 Q ($\Omega {\displaystyle \mathbb{}}$)${\displaystyle \mathb {Q}(\omega})$는 통일의 모든 n번째 루트를 포함하며$$, $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ (${\displaystyle \Omega }$) ${\displaysty \mathb {Q}(\omega})$는 Q${\displaystyle .}$ ${\displaysty \mathb {Q}$의 Galoose.

k가 정수인 경우 Ω은^k k와 n이 동일인 경우에만 단일성의 원시 n번째 근원이 된다. 이 경우 지도는

${\displaystyle\omega \mapsto \omega ^{k}}$

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \mathb {Q}(\omega )}$의 자동형성을 유도하여$,$ 통일의 모든 n번째 뿌리를 k번째 힘에 매핑한다. $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \mathb {Q}(\omega )}$의 모든 자동형은 이러한 방식으로 획득되며$$, 이러한 자동화들은 이성계의 영역에 $걸쳐$ Q (${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \mathb {Q}(\omega$)의 갈루아 그룹을 형성한다.

지수화 규칙은 그러한 두 자동모형의 구성을 지수들을 곱하여 구한다는 것을 암시한다. 그 지도는 다음과 같다.

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\오른쪽)}$

정수 modulo n의 링 단위와 $Q$의 갈루아 그룹 사이의 ${\displaystyle \mathrm{집단}}$이형성을 정의한다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Q}(\omega).$$}$

이는 이 갈루아 집단이 아벨리아인임을 보여주고, 따라서 단결의 원시적 뿌리가 급진적인 관점에서 표현될 수도 있음을 암시한다.

삼각 방정식

모든 real x와 정수 n에 유효한 De Moivre의 공식은

$왼쪽(\cos x+i\sin x\오른쪽)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.m x을 설정합니다.W-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}2π/n – 게 통합의 원시적인 n뿌리를 준다.

${\displaystyle \왼쪽(\cos {\frac {2\pi }{n}}}{n}\frac {2\pi }\right)^{\n}=\cos 2\pi +i\pi =1,}$

그렇지만

${\displaystyle \frac \pi }{n}}{n}}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}\cos {\frac {n}{n}}}}{n\neq 1}$

k = 1, 2, …, n - 1의 경우. 바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}}}$

원초적인 통합의 n번째 근원이야

이 공식은 복잡한 평면에서 단위의 n번째 근원이 단위 원 안에 새겨진 정규 n-측면 다각형의 정점에 있다는 것을 보여준다(오른쪽의 n = 3 및 n = 5 그림 참조). 이 기하학적 사실은 사이클로토믹 장과 사이클로토믹 다항식 같은 구절에서 "사이클로토믹"이라는 용어를 설명하며, 그리스 뿌리의 "사이클로"(원)와 "토모스"(절단, 분할)에서 유래한다.

오일러의 공식

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

모든 실제 x에 유효하며, 통합의 n번째 뿌리에 대한 공식을 형식에 넣을 수 있다.

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\cHB 0\leq k<n.}$

앞의 절의 논의에서 fraction k/n이 가장 낮은 조건인 경우에만(즉, k와 n이 동일시) 원시 nth-root라는 점에 따른다. 통합의 뿌리의 실제 부분, 즉 cos irrational${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ k /${\displaystyle }$n${\displaystyle }$) {\$displaystyle \cos(2\pi k/n$로서 표현할 수 있는 불합리한 숫자를 삼각수라고 한다.

대수식

통일의 n번째 뿌리는 정의상 다항식 xⁿ - 1의 뿌리로, 따라서 대수적 숫자다. 이 다항식(n = 1 제외)은 불가역적이기 때문에(n = 1) 단결의 원시 n번째 뿌리는 n번째 사이클로토믹 다항식(nth cyclotomic polyomial)이라고 하는 낮은 수준의 무제한 다항식의 뿌리로서 흔히 often으로_n 표기된다. φ의_n 정도는 (다른 것 중에서) 단결의 원시 n번째 근원의 수를 세는 오일러의 총함수에 의해 주어진다. φ의_n 뿌리는 정확히 단결의 원시 n번째 뿌리다.

갈루아 이론은 사이클로토믹 다항식이 급진적인 면에서 편리하게 해결될 수 있다는 것을 보여주는 데 이용될 수 있다.(시시한 형태 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$는 사이클로토믹 다항식의 뿌리가 아닌 1과 같은 비원근(non-primary)을 포함하고 있기 때문에 편리하지 않다$$.y 부품 별개). 즉, 각 양의 정수 n에 대해 뿌리 추출, 추가, 소급, 승수 및 분할(그리고 그 어떤 것도 포함하지 않음)에 의해 정수로부터 빌드된 표현이 존재한다는 것을 의미하며, 통합의 원시 n번째 루트는 뿌리 추출에 대한 값(k 가능한 값 fo)을 선택함으로써 정확히 얻을 수 있는 값의 집합이다.k번째 뿌리). (자세한 내용은 아래의 § 사이클로토믹 필드를 참조하십시오.)

가우스는 나침반으로 구성하고 일반 n곤을 직선화시킬 수 있는 경우에만 제곱근, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈만을 사용하여 원시 n번째 근원을 표현할 수 있다는 것을 증명했다. 이는 n이 2의 힘 또는 2의 힘, 그리고 페르마 프라임이 모두 다른 경우일 경우에만 해당된다.

z가 단결의 원시 n번째 루트인 경우 1/${\displaystyle z}$도 마찬가지이며, $r{\displaystyle }$= z${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$ ${\$는 z의 실제 부분의 2배이다$$. 즉 뿌리로 r다, Φn은 상호 다항식, 다항 Rn{\displaystyle R_{n}}Φn에서 상호 다항식에 있는 표준 조작으로,과 통합의 그 원시적인 n번째 뿌리 Rn{\displaystyle R_{n}}의 뿌리에서 이차 방정식을 풀어 보면서 z. 추론할 수 있을 것 추론할 수 있을 것 2${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$$$ 즉, 원시 뿌리의 실제 $부분$은${\displaystyle \frac{\mathrm{r}}{}}$ 2, ${\displaystyle${\$frac{r}{2}},$ 상상의$$ 부분은${\displaystyle }$± ${\displaystyle i\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}^{}}}$-${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$( ${\displaystyle \sqrt{{r\frac{}{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\frac{2}{}}^{}}}$) 2.${\displaystyle \pm i{1-\sqrt{1-\왼쪽({\frac}{2}}\오른쪽)^{2}}.$$}$

다항식 ${\displaystyle {Rn}_{}}$ ${\$은(는) 모두 진짜인 수정불가 다항식이다$$. 그것의 정도는 만약 n이 뚜렷한 페르마 프리임의 한 제품(아마도 비어 있을 것이다)에 의한 2의 힘의 산물이라면(만일 경우) 2의 힘이며, 일반 n-곤은 나침반과 직선 가장자리로 구성 가능하다. 그렇지 않으면 급진성에서는 해결할 수 있지만, 하나는 카수스 이레두시빌리스, 즉 급진성 측면에서 뿌리의 모든 표현은 비실제적 급진성을 수반한다.

낮은 도에서의 명시적 표현

• n = 1의 경우 사이클로토믹 다항식은 φ₁(x) = x - 1이므로 단결의 유일한 원시적인 첫 번째 뿌리는 1이며, 이는 n > 1마다 1이 아닌 n번째 뿌리다.
• φ₂(x) = x + 1이므로, 단결의 유일한 원시적 두 번째(제곱) 근은 –1이며, 이 또한 n > 2마다 단결의 비원적 n번째 근이다. 앞선 사례와 함께 이것이 통합의 진짜 뿌리의 목록을 완성한다.
• φ₃(x) = x² + x + 1처럼 이 2차 다항식의 뿌리인 원초적 제3차(관)의 단결근은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac{-1+i{\sqrt{3}:{2}},\\frac {-1-i{\sqrt{3}}{2}.}$

• φ₄(x) = x² + 1처럼, 통일의 두 원시적인 네 번째 뿌리는 i와 -i이다.
• φ₅(x) = x⁴ + x³² + x + 1과 같이, 통일의 원시적 5근은 이 사분위 다항식의 뿌리로서, 급진적인 면에서는 명시적으로 풀릴 수 있어 뿌리를 준다.

${\displaystyle {\frac{\barepsilon {5}-1}{4}\pm i{\pm i}\sqrt {10+2\barepsilon {\sqrt{5}}}{4}}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$은(는) 두 값 1과 –1(두 발생에서 동일한 값)을 취할 수 있다$$.

• φ₆(x) = x² - x + 1과 같이 두 개의 원시적 육근(그리고 제곱근)이 있는데, 이 두 개의 원시적 육근은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac{1+i{\sqrt{3}}{2}},\\frac {1-i{\sqrt{3}}{2}.}$

• 7은 페르마 원수가 아니기 때문에 7번째 단결의 뿌리는 큐브 뿌리를 필요로 하는 첫 번째 뿌리다. 원초적인 통합의 7번째 뿌리가 6개 있는데, 이것은 쌍으로 복잡한 결합이다. 뿌리와 그 결합의 합은 실제 부분의 두 배다. 이 세 가지 합은 입방 다항식 ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {}^{}}$+ r${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$ r$^{3}+r^{2}-2r-1,}$의 세 가지 실제 뿌리로서, 원초적인 일곱 번째 통합의 뿌리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac{r}{2}}:\pm i{\sqrt{1-{\frac{r^{2}}:}},}$

여기서 r은 위의 다항식의 뿌리 위로 흐른다. 모든 입방체 다항식의 경우, 이러한 뿌리는 제곱근과 입방근으로 표현될 수 있다. 그러나 이 세 가지 뿌리가 모두 실재하기 때문에 이것은 이레두시빌리스(casus irreducibilis)이며, 그러한 어떤 표현도 비실재 큐브 뿌리를 포함한다.

• φ₈(x) = x⁴ + 1과 같이, 통일의 네 가지 원시적 8근은 원시적 4근의 제곱근, ± i이다. 그들은 이러하다.

${\displaystyle \pm{\frac{\sqrt{2}}:\pm i{\frac{\sqrt{2}}.}$

• 헵타데카곤은 17번째 통합의 뿌리의 실제 부분을 참조한다.

주기성

z가 단결의 원시 n번째 뿌리라면, 힘의 순서는

… , z⁻¹, z⁰, z¹, …

n-값(j의 모든 값에 대해 z ^{j + n} = zz ^{j n} = z이기 ^j 때문에) 및 n 시퀀스 검정력

s_k: … , z ^k⋅(−1), z ^k⋅0, z ^k⋅1, …

k = 1, …에 대해 n은 모두 n-값이다(z ^{k⋅(j + n) k⋅j} = z). 더욱이 이러한 시퀀스의 집합 {s₁, …, s_n}은 모든 n주기 시퀀스의 선형 공간의 기초가 된다. 즉, 복잡한 숫자의 n주기적 시퀀스가

… , x₋₁ , x₀ , x₁, …

단일성의 원시 n번째 근원의 힘의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}}}.$

일부 복잡한 숫자 X₁, … , X_n 및 모든 정수 j에 대해.

이것은 푸리에 분석의 한 형태다. j가 (분산) 시간 변수라면 k는 주파수, X는_k 복합 진폭이다.

원초적 n번째 근원을 위한 통합 선택

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}}=\coses {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}}}}$

x를_j cos와 sin의 선형 조합으로 표현할 수 있도록 허용한다.

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}}.}$

이것은 분리된 푸리에 변환이다.

합계

SR(n)을 원시적이든 아니든 모든 통합의 n번째 근원의 합이 되게 하라. 그러면

${\displaystyle \operatorname {SR}(n)={\begin{case}1,&n=1\0,&n>1.\end{case}}}$

이것은 베티야의 공식의 즉각적인 결과물이다. 실제로 단결의 n번째 뿌리는 다항식 ⁿ X – 1의 뿌리가 되고, 그 합은 n = 1이든 n > 1이든 간에 1이나 0인 n – 1의 도계수다.

또는 n = 1에 대해서는 증명할 것이 없고, n > 1에 대해서는 루트 z ≠ 1이 존재하는데, 이는 모든 통합의 n번째 루트의 S가 그룹, z S = S이기 때문에 SR(n) = SR(n) = SR(n) = 0일 때 합계가 Z(n) = SR(n)을 만족하기 때문이다.

SP(n)를 모든 원초적 n번째 근원의 합이 되게 하라. 그러면

${\displaystyle \operatorname {SP}(n)=\mu(n),}$

여기서 μ(n)는 뫼비우스 함수다.

Eronic 특성 섹션에서 R(n)이 모든 n번째 근의 집합이고 P(n)가 원시 근의 집합이라면 R(n)은 P(n)의 분리 결합이다.

${\displaystyle \operatorname {R}(n)=\빅컵 _{d\, \,n}\operatorname {P}(d),}$

이것은 내포하고 있다.

${\displaystyle \operatorname {SR}(n)=\sum _{d\, \,n}\operatorname {SP}(d).}$

뫼비우스 반전 공식을 적용하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {SP}(n)=\sum _{d\, \,n}\mu(d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}\오른쪽)}$

이 공식에서 d < n이면 SR(n/d) = 0이고, d = n: SR(n/d) = 1. 그러므로 SP(n) = μ(n)이다.

이것은 라마누잔의 합 c의_n 특수한 경우 c_n(1)로, 단결의 원시 n번째 근원의 어떤 힘의 합으로 정의된다.

${\displaystyle c_{n}=\sum _{a=1\atop \gcd(a,n)=1}^{n^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}s}.}$

직교성

합계 공식에서 직교 관계는 다음과 같다: j = 1, …, n 및 j′ = 1, …, n.

${\displaystyle \sum \{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \cdot \cdot \cdot \{j,j'}}}}}}}}$

여기서 Δ는 Kronecker delta이고 z는 원초적인 n번째 단결근이다.

(j, k)번째 항목을 가진 n × n 행렬 U

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{1}:{1}}\cdot z^{j\cdot k}}$

이산 푸리에 변환을 정의한다. 가우스 제거를 사용하여 역변환을 계산하려면 O(n³) 연산이 필요하다. 그러나 U가 단일성인 것은 정형성에서 따온 것이다. 그것은

${\displaystyle \sum \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}\cdot U_{k,j'=\delta _{j,j'}}}}$

따라서 U의 역행은 단지 복잡한 결합일 뿐이다. (이 사실은 삼각 보간 문제를 해결할 때 가우스가 처음 주목했다.) U 또는 U를 주어진 벡터에 반비례하여 직접 적용하려면 O²(n) 연산이 필요하다. 빠른 푸리에 변환 알고리즘은 작업 수를 O(n log n)로 더 줄인다.

사이클로토믹 다항식

다항식의 0

${\displaystyle p(z)=z^{n1}-1$

정확히 통합의 n번째 근원이며, 각각 다중성 1을 가지고 있다. n번째 사이클로토믹 다항식(nth cyclotomic polyomial)은 그 0이 정확히 통일의 원시 n번째 뿌리라는 사실에 의해 정의되며, 각각 다항성 1을 가지고 있다.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi(n)}(z-z_{k})}}$

여기서 z₁, z₂, z₃, …, z는_φ(n) 단결의 원시 n번째 뿌리이며, ((n)은 오일러의 토털 함수다. 다항식 φ_n(z)은 정수 계수를 가지며, 합리적 수(합리적 계수가 있는 두 개의 양위 다항식의 산물로 쓸 수 없음)에 대한 수정 불가능한 다항식이다. 일반적인 주장보다 쉬운 prime n의 경우는 아이젠슈타인의 기준을 다항식(다항식)에 적용하여 그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n1}-1}{(z+1)-1},}$

이항 정리를 통해 확장하는 것.

단결의 모든 n번째 뿌리는 n의 정확히 하나의 양분자 d에 대한 원초적인 d번째 뿌리다. 라는 뜻을 내포하고 있다.

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\, \,n}\Phi _{d}(z)}$

이 공식은 다항식 zⁿ - 1의 인자를 수정할 수 없는 인자로 인자화함을 나타낸다.

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

뫼비우스를 이 공식에 역행하는 것은

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\, \,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\, \,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

여기서 μ는 뫼비우스 함수다. 그래서 처음 몇 개의 사이클로토믹 다항식은

φ₁(z) = z - 1

φ₂(z) = (z² - 1)⋅(z - 1) ⁻¹= z + 1

φ₃(z) = (z³ - 1)⋅(z - 1) =⁻¹ z + z² + 1

φ₄(z) = (z⁴ - 1)⋅(z² - 1) ⁻¹= z + 1²

φ₅(z) = (z⁵ - 1)⋅(z - 1) =⁻¹ z + z⁴³ + z + z² + z + 1

φ₆(z) = (z⁶ - 1)⋅(z³ - 1)⋅(⁻¹z² - 1)⋅(⁻¹z - 1) =(z - 1) = z² - z + 1

φ₇(z) = (z⁷ - 1)⋅(z - 1) =⁻¹ z + z⁶⁵ + z⁴ + z³ + z + z² + z + z + z + 1

φ₈(z) = (z⁸ - 1)⋅(z⁴ - 1) ⁻¹= z + 1⁴

p가 소수라면 1을 제외한 통합의 p번째 뿌리는 모두 원시 pth 뿌리로, 우리는 pth 뿌리가 있다.

${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}=\z-1}\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$

임의의 양의 정수 2 2를 z로 대체하면, 이 합은 base z repunit이 된다. 따라서 재단위가 프라임되기 위해 필요한 조건(충분하지는 않지만 충분하지 않은)은 그 길이가 프라임이라는 것이다.

첫 번째 등장과는 달리 모든 사이클로토믹 다항식의 모든 계수가 0, 1 또는 -1인 것은 아니라는 점에 유의한다. 첫 번째 예외는 Ⅱ이다₁₀₅. 계수의 동작이 n에 크게 의존하지 않고 n에 얼마나 많은 기형적인 주요 요인이 나타나느냐에 따라 달라지기 때문에 예를 들기까지 이렇게 오래 걸리는 것은 놀라운 일이 아니다. 보다 정확히 말하면, n이 1 또는 2개의 홀수 주요 인자(예: n = 150)를 갖는 경우 n번째 사이클로토믹 다항식은 계수 0, 1 또는 -1만 갖는다는 것을 알 수 있다. 따라서 0, 1 또는 -1 외에 계수가 있을 수 있는 첫 번째 상상할 수 있는 n은 3개의 가장 작은 홀수인 곱이며, 이는 3 3 5 ⋅ 7 = 105이다. 이것은 그 자체로 105번째 다항식이 다른 계수를 가지고 있다는 것을 증명하지는 못하지만, 그것이 심지어 작동할 기회조차 있는 첫 번째 다항식이라는 것을 보여준다(그리고 계수의 계산이 그것을 보여준다). 슈르의 정리에는 절대값이 임의로 큰 계수를 갖는 사이클로토믹 다항식이 있다고 한다. In particular, if ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$ where ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$ are odd primes, ${\displaystyle p_{1}+p_{2$$}}>p_{t}},$ t는 홀수인 다음 1 - t는 n번째 사이클로토믹 다항식 계수로 발생한다.^[3]

사이클로토믹 다항식이 정수 값으로 가정할 수 있는 값에 대해서는 많은 제한이 알려져 있다. 예를 들어, p가 prime이면 d_p ( ((d)이고 d 1 1(mod p)이면 d ∣ φ(d)이다.

단결의 뿌리는 그 자체가 급진적이기 때문에 사이클로토믹 다항식은 급진적으로 해결할 수 있다. 더욱이 급진파의 가치(예를 들어 제곱근의 표시)를 선택하여 얻은 표현의 모든 가치가 단결의 원시적인 n번째 근원이라는 부가적인^[4] 성질과의 통합의 n번째 근원에 대해 보다 유익한 급진적인 표현이 존재한다. 이것은 이미 1797년에 가우스에 의해 보여졌다.^[5] 그러한 식을 계산하기 위한 효율적인 알고리즘이 존재한다.^[6]

순환군

곱하기 아래의 통일성의 n번째 근원은 n의 순환 그룹이며, 사실 이 그룹들은 복합 수 영역의 승수 그룹의 모든 유한 부분군을 구성한다. 이 순환집단의 발전기는 단결의 원시 n번째 뿌리다.

통합의 n번째 뿌리는 n번째 순환의 어떤 집단도 되돌릴 수 없는 표현을 형성한다. 직교 관계도 문자 그룹에 설명된 집단 이데올로기 원리에서 따른다.

단결의 뿌리는 어떤 순환 기질의 고유 벡터의 입력으로 나타난다. 즉, 주기적인 이동에 따라 불변하는 행렬, 블로흐의 정리의 변종으로서 그룹 대표론에서도 따르는 사실이다.^[7] 특히 순환성 에르미타니아 행렬(예를 들어 주기적 경계가^[8] 있는 1차원 라플라시아어)을 고려한다면, 직교성 특성은 에르미타 행렬의 고유 벡터의 통상적인 직교성으로부터 바로 따르게 된다.

사이클로토믹장

원초적인 통합의 n번째 $루트$를${\displaystyle }$Q$$, {\$displaystyle \mathb$ {Q}에 연결함으로써$$n번째 사이클로토믹 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ (${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle /n}$) . ${\displaysty \mathb {Q} (\expi i/n)$를 얻는다$$.$}$This field contains all nth roots of unity and is the splitting field of the nth cyclotomic polynomial over ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ The field extension ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ has degree φ(n) and its Galois group is naturally isomorphic to the mul링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ n ${\displaystyle Z\mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathb {Z} /n\mathb {Z} .}$의 단위 티플레이션 그룹

${\displaystyle Q}$의 갈루아 그룹${\displaystyle (\exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$/ n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ Q ${\$이(가) 아벨리안이므로 이것은 아벨리안 확장이다. 사이클로토믹 분야의 모든 하위 영역은 이성계의 아벨식 확장이다. 통일의 모든 n번째 루트는 k-root의 용어로 표현될 수 있으며, 다양한 k가 φ(n)을 초과하지 않는다. 이 경우 갈루아 이론은 가우스 시대의 관점에서 명시적으로 서술될 수 있다: 가우스의 미취득 산술화 이론은 갈루아 이론이 여러 해 전에 발표되었다.^[9]

반대로, 이성계의 모든 아벨의 연장은 사이클로토믹스의 장에 있어서 그러한 하위 영역이다 – 이것은 보통 웨버가 그 증거를 완성했다는 이유로 크로네커-베버 정리라고 불리는 크로네커의 정리의 내용이다.

2차 정수에 대한 관계

n = 1, 2의 경우, 통합 1의 뿌리와 -1의 뿌리는 모두 정수다.

n의 세 가지 값에 대해, 통일의 뿌리는 2차 정수다.

• n = 3, 6의 경우 에이젠슈타인 정수(D = -3)이다.
• n = 4의 경우 가우스 정수(D = -1): 가상 단위를 참조하십시오.

n의 다른 네 가지 값에 대해, 통일의 원시적 뿌리는 2차 정수가 아니라, 그 복잡한 결합(또한 통일의 n번째 뿌리)과 일체성의 어떤 뿌리의 합은 2차 정수다.

n = 5, 10의 경우, (사분위 방정식을 만족하는) 단일성의 비현실적인 뿌리 중 어느 것도 2차 정수는 아니지만, 복잡한 결합(일치의 5번째 뿌리)이 있는 각 루트의 합계 z + z = 2 Rez는 고리 Z[1 + √5/2]의 요소다. (D = 5). 두 쌍의 비실제 5루트의 통일의 경우 이 합은 역황금 비율과 -황금 비율이다.

n = 8의 경우, 단일성 z + z 루트는 0, ±2 또는 ±2(D = 2)와 같다.

n = 12의 경우, 통합의 모든 루트에 대해 z + z는 0, ±1, ±2 또는 ±3(D = 3)과 같다.

참고 항목

• 아간드 시스템
• 서클 그룹, 단위 복합 번호
• 사이클로토믹장
• 통합의 뿌리에 대한 그룹화
• 디리클레 문자
• 라마누잔의 총액
• 비트 벡터
• 타이히뮐러 캐릭터

메모들

참조

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Milne, James S. (1998). "Algebraic Number Theory". Course Notes.
• Milne, James S. (1997). "Class Field Theory". Course Notes.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997). Cyclotomic fields (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
• Derbyshire, John (2006). "Roots of Unity". Unknown Quantity. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.