분산감소

수학에서, 더 구체적으로 몬테카를로 방법론에서, 분산 감소는 주어진 시뮬레이션이나 계산 노력에 대해 얻을 수 있는 추정치의 정밀도를 높이기 위해 사용되는 절차다.^[1]시뮬레이션에서 나오는 모든 출력 랜덤 변수는 시뮬레이션 결과의 정밀도를 제한하는 분산과 연관된다.시뮬레이션을 통계적으로 효율적으로 만들기 위해, 즉 관심 있는 출력 무작위 변수에 대해 더 큰 정밀도와 더 작은 신뢰 구간을 얻기 위해 분산 감소 기법을 사용할 수 있다.주요 변수로는 공통 난수, 반독점 변수, 제어 변수, 중요도 샘플링, 층화 샘플링, 모멘트 일치, 조건부 몬테 카를로 및 준 난수 변수가 있다.블랙박스 모델을 이용한 시뮬레이션을 위해 부분집합 시뮬레이션과 라인 샘플링도 사용할 수 있다.이러한 표제 아래에는 다양한 전문 기법이 있다. 예를 들어, 입자 전송 시뮬레이션은 중요도 샘플링의 한 형태인 "무게 창문"과 "분할/러시아 룰렛" 기법을 광범위하게 사용한다.

조잡한 몬테카를로 시뮬레이션

Suppose one wants to compute ${\displaystyle z:=E(Z)}$ with the random variable ${\displaystyle Z}$ defined on the probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$. Monte Carlo does this by sampling i.i.d. copies ${\displaystyle Z_{1},...,Z_{R}}$ of $$${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$을(를) 선택한 다음 샘플-평균 $추정기$를 $통해$ z ${\displaystyle$ z$}$을(를) 추정하십시오.

${\displaystyle {\overline{z}={\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}}}}$

v 같은 더욱 많은 온화한 조건은 r(Z)<>∞{\displaystyle var(Z)<, \infty}에 의하면 한 중심 극한 정리 큰 n→ ∞{\displaystyle n\rightarrow \infty}, z¯{\displaystyle{\overline{z}의 분포}에 대한 그것을 적용할 것입니다}평균 z을 가진 일반적인 분포는{z\displaystyle}에 전진.dstandard error $\sigma {\displaystyle }$/ ${\displaystyle n\sqrt{}}$ ${\$$sqrt{n}}}.$ 표준 편차가 $n{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle$ $0}$에 0 ${\\$displaystyle 0}으로 $수렴$되기 때문에 $시뮬레이션$수$($n ${\displaystyle$n})를 $4배{\displaystyle \mathrm{}}$ 증가시켜$$ st를 절반으로 줄여야 함을 의미한다$.$${\$의 andard 편차$,$ 분산 감소 방법은 $종종{\displaystyle }$ 많은 수의 시뮬레이션이 필요 없이$$ z ${\displaystyle$ z$}$에 대한 더 정확한 추정치를 얻는데 유용하다.

CRN(공통 난수)

공통 난수 분산 감소 기법은 단일 구성을 조사하는 대신 둘 이상의 대체 구성을 비교할 때 적용되는 인기 있고 유용한 분산 감소 기법이다.CRN은 상관된 샘플링, 일치된 스트림 또는 일치된 쌍으로도 불린다.

CRN은 모든 구성을 시뮬레이션하기 위해 동일한 무작위 번호를 사용하는 것 외에도, 한 구성에서 특정 목적에 사용되는 특정 무작위 번호가 다른 모든 구성에서 정확히 동일한 목적으로 사용되도록 하는 난수 스트림의 동기화를 요구한다.예를 들어, 대기열 이론에서, 만약 우리가 은행에 있는 텔러의 두 가지 다른 구성을 비교하고 있다면, 우리는 N번째 고객의 도착 시간이 두 구성 모두에 대해 무작위 숫자 스트림에서 같은 추첨을 사용하여 생성되기를 원할 것이다.

CRN 기법의 기본 원리

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 및$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이(가) j번째 독립 복제에 대한 첫 번째 및 두 번째 구성의 관측치라고$$ 가정합시다.

우리는 추정하기를 원한다.

${\displaystyle \xi =E(X_{1j}-E(X_{2j})=\mu _{1}-\mu _{2}.\,}$

각 구성에 대해 n개의 복제를 수행하고 다음 작업을 수행하는 경우

${\displaystyle Z_{j}=X_{1j}-X_{2j}\quad{\mbox{{}}{}}}}}.$

then ${\displaystyle E(Z_{j})=\xi }$ and ${\displaystyle Z(n)={\frac {\sum _{j=1,\ldots ,n}Z_{j}}{n}}}$ is an unbiased estimator of ${\displaystyle \xi }$.

$그리고$Z ${\displaystyle j_{}}$ ${\$s는 독립적으로 분포된 랜덤 변수인 만큼,

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z(n)]={\frac {\operatorname {Var} (Z_{j})}{n}}={\frac {\operatorname {Var} [X_{1j}]+\operatorname {Var} [X_{2j}]-2\operatorname {Cov} [X_{1j},X_{2j}]}{n}}.}$

독립 표본 추출의 경우, 즉, Cov(X_1j2j, X) = 0. 그러나 Cov(X_1j2j, X)가 0이 되도록 X와₁ X의₂ 양의 상관관계 요소를 유도하는 데 성공하면, 분산이 감소하는 것을 위의 방정식에서 알 수 있다.

또한 CRN이 음의 상관 관계, 즉 Cov(X_1j2j, X) < 0을 유도하는 경우, 이 기법은 실제로 분산이 증가하거나 감소하지 않는 역효과를 일으킬 수 있음을 관찰할 수 있다(의도대로).^[2]

참고 항목

• 설명 분산

참조

• Hammersley, J. M.; Handscomb, D. C. (1964). Monte Carlo Methods. London: Methuen. ISBN 0-416-52340-4.
• Kahn, H.; Marshall, A. W. (1953). "Methods of Reducing Sample Size in Monte Carlo Computations". Journal of the Operations Research Society of America. 1 (5): 263–271. doi:10.1287/opre.1.5.263.
• MCNP — 일반 몬테 카를로 N-입자 교통 법규 버전 5 Los Alamos 보고서 LA-UR-03-1987