벡터 값 함수

벡터 값 함수는 벡터 함수라고도 하며 범위가 다차원 벡터 또는 무한 차원 벡터의 집합인 하나 이상의 변수의 수학적 함수다. 벡터 값 함수의 입력은 스칼라 또는 벡터일 수 있다(즉, 도메인의 치수는 1 이상일 수 있음). 함수 영역의 치수는 그 범위의 치수와 관계가 없다.

예: 헬릭스

벡터 값 함수의 일반적인 예는 단일 실제 매개변수 t에 의존하는 것으로, 종종 시간을 나타내며 그 결과로 벡터 v(t)를 생성한다. 데카르트 3공간의 표준 단위 벡터 i, j, k에 관해서, 이러한 특정한 유형의 벡터 값 함수는 다음과 같은 표현에 의해 주어진다.

• ${\displaystyle \mathbf {r}(t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}}}}$

여기서 f(t), g(t) 및 h(t)는 매개변수 t의 좌표 함수이며, 이 벡터 값 함수의 영역은 함수 f, g, h의 도메인의 교차점이다. 다른 표기법으로도 언급할 수 있다.

• ${\displaystyle \mathbf {r}(t)=\langle f(t), g(t), h(t)\angle }$

벡터 r(t)은 꼬리가 원점에 있고 머리는 함수에 의해 평가된 좌표에 있다.

오른쪽 그래프에 표시된 벡터는 t = 19.5(즉, 6㎛와 6.5㎛ 사이, 3회전 이상)에$$ 가까운 함수${\displaystyle }$∆ 2 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle t,}$ 4 ${\displaystyle \sin t,}$ ${\displaystyle t}$ $displaystyle \langle 2\cos t,\,\,4$\sin $t,\t\rangele }$에 대한 평가다. 나선은 t가 0에서 8㎛까지 증가할 때 벡터 끝에 의해 추적되는 경로다.

2D에서는 벡터 값 함수에 대해 다음과 같이 유사하게 말할 수 있다.

• ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle t\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) ${\displaystyle j\mathbf{}}$ $displaystyle \mathbf {r}(t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$ 또는$$
• ${\displaystyle \mathbf {r}(t)=\langle f(t), g(t)\angle }$

선형대소문자

선형인 경우 함수는 행렬 단위로 표시할 수 있다.

${\displaystyle y=Ax,}$

여기서 y는 n × 1 출력 벡터, x는 k × 1 입력 벡터, A는 n × k 파라미터의 행렬이다. 밀접한 관련이 있는 것은 함수가 형태를 취하는 어핀 케이스(번역까지의 직선)이다.

${\displaystyle y=Ax+b,}$

여기서 더하기 b는 매개변수의 n × 1 벡터다.

선형 경우 종종, 예를 들어 여러 regression[해명 필요한], 예를 들어는 n×1벡터는 y^{\displaystyle{\hat{y}}}종속 변수를 예측한 값의 선형적으로 한 k모드의 평가 값의 x1벡터 β ^{\displaystyle{\hat{\beta}}}(k<>n)의 관점에서 표현된다에서 일어난다.나는 매개 변수:

${\displaystyle {\hat {y}=X{\hat {\beta}},}$

여기서 X(이전의 일반 형태에서 A의 역할을 하는 것)는 n × k의 고정된 (전자적으로 기반한) 숫자의 행렬이다.

지표면의 모수 표현

표면은 (가장 일반적으로) 3차원 공간에 내장된 2차원 점 집합이다. 지표면을 나타내는 한 가지 방법은 파라메트릭 방정식을 사용하는 것이다. 여기서 두 매개변수 s와 t는 지표면에 있는 어떤 점의 세 가지 데카르트 좌표를 결정한다.

${\displaystyle (x,y,z)=(f(s,t),g(s,t),h(s,t)\equiv F(s,t)}$

여기서 F는 벡터 값 함수다. n-차원 공간에 포함된 표면의 경우, 유사한 표현법을 가지고 있다.

${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n}=(f_{1}(s,t),f_{2}(s,t), ...,f_{n}(s,t)\equiv F(s,t).}$

3차원 벡터함수의 파생상품

스칼라 값 함수와 같은 많은 벡터 값 함수는 단순히 카르테시안 좌표계의 구성요소를 차별화함으로써 구별될 수 있다. 그러므로, 만약

${\displaystyle \mathbf {r}(t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}}}}$

벡터 값 함수, 즉

${\d\mathbf {r}(t){dt}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}.}$

벡터 파생상품은 다음과 같은 물리적 해석을 인정한다: r(t)이 입자의 위치를 나타낸다면, 그 파생상품은 입자의 속도다.

${\displaystyle \mathbf {v}(t)={\frac {d\mathbf {r}{dt}}.}$

마찬가지로, 속도의 파생상품은 가속도다.

${\dfrac {d\mathbf {v}(t)}{dt}=\mathbf {a}(t).}$

부분파생상품

스칼라 변수 q에 대한 벡터 함수 a의 부분 파생형은 다음과^[1] 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a}{\\mathbf{a}}{\mathbf{a}}{n1}^{n}{\frac a_{i}}{\mathbf{e}}}}}}}$

여기서 a는_i e의_i 방향에서 의 스칼라 성분이다. a 및 e_i 또는 그들의 도트 제품의 방향 코사인이라고도 한다. 벡터 e₁, e는₂₃ 파생상품이 취해지고 있는 기준 프레임에 고정된 정형화된 기준을 형성한다.

일반파생상품

만약 a가 시간 t와 같은 단일 스칼라 변수의 벡터 함수로 간주된다면, 위의 방정식은 t와 관련하여 a의 첫 번째 정규 시간 파생물로 감소한다.^[1]

${\dplaystyle {\frac {d\mathbf {a}}{dt}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {da_{d}}}\mathbf {e} _{i}.}$

총파생상품

벡터 a가 n개의 스칼라 변수 q_r(r = 1, ..., n)의 함수이고 각 q가_r 시간 t의 함수일 경우 t에 관한 a의 일반적인 파생상품은 다음과 같이^[1] 총 파생상품이라고 알려진 형태로 표현할 수 있다.

${\dfrac {d\mathbf {a}{dt}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {n}{\frac {dq_{r}}{dt}}{\frac \mathbf {a}{d}+{dt}}}{dac \frac {}{}{{{{}}}}}}}}}}}}{{{{dmathba}.}$

일부 저자들은 D/Dt에서와 같이 총 파생상품 사업자를 나타내기 위해 자본 D를 사용하는 것을 선호한다. 전체 파생상품은 전체 파생상품이 변수 q의_r 시간분산으로 인한 a의 변동을 설명한다는 점에서 부분시간파생상품과 다르다.

참조 프레임

스칼라 값 함수의 경우 가능한 기준 프레임 하나만 있는 반면, 벡터 값 함수의 파생 모델을 취하려면 기준 프레임의 선택이 필요하다(적어도 고정 데카르트 좌표계가 이와 같이 함축되지 않은 경우). 일단 기준 프레임이 선택되면, 벡터 값 함수의 파생상품은 스칼라 값 함수의 파생상품을 계산하는 것과 유사한 기법을 사용하여 계산할 수 있다. 기준 프레임을 다르게 선택하면 일반적으로 다른 파생상품 함수가 생성된다. 서로 다른 기준 프레임의 파생적 함수는 특정 동역학적 관계를 가진다.

고정되지 않은 베이스가 있는 벡터 함수의 파생 모델

벡터함수의 파생상품에 대한 위의 공식은 기본 벡터 E₁, e, 즉₂₃ a의 파생상품이 취해지는 기준 프레임에 고정되어 있고, 따라서₁ e, e₂ 각각이₃ 동일한 0의 파생상품을 갖는다는 가정에 의존한다. 이것은 고정 좌표계의 벡터장을 다루는 문제나 물리학의 단순한 문제에도 종종 적용된다. 그러나 많은 복잡한 문제들은 다중 이동 기준 프레임에서 벡터 함수의 파생을 수반하며, 이는 기본 벡터가 반드시 일정하지는 않음을 의미한다. 기준 벡터 e₁, e₂, e가₃ 기준 프레임 N에는 고정되지만 기준 프레임 N에는 고정되지 않는 경우, 기준 프레임 N에 벡터의 통상 시간 파생에 대한 더 일반적인 공식은 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$

여기서 파생상품 사업자의 왼쪽에 있는 위첨자 N은 파생상품을 가져가는 기준 프레임을 나타낸다. 앞에서 설명한 것처럼, 오른쪽의 첫 번째 용어는 기준₁ 프레임에서₂ e, e₃, e가 일정한 기준 프레임 E의 파생 모델과 동일하다. 또한 오른쪽의 두 번째 항은 벡터 a 자체와 교차하는 두 개의 기준 프레임의 상대적인 각도 속도와 동일하다는 것을 알 수 있다.^[1] 따라서 치환 후 두 기준 프레임에서 벡터 함수의 파생에 관한 공식은 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {a} }$

여기서 Ω은^E 기준 프레임 N에 상대적인 기준 프레임 E의 각도 속도다.

이 공식이 사용되는 한 가지 일반적인 예는 지면에 상대적인 로켓의 속도를 측정하여 관성 기준 프레임에서 로켓과 같은 우주에 의해 전달되는 물체의 속도를 찾는 것이다. 위치^R r에 위치한 로켓 R의 관성 기준 프레임 N에서 v 속도는^R 다음 공식을 사용하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })={\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }.}$

여기서 Ω은^E 관성 프레임 N에 대한 지구의 각도 속도다. 속도는 위치의 파생 모델이기 때문에, v와^RR v는 각각 기준 프레임 N과 E에서^R r의 파생 모델이다. 대체에 의해,

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }}$

여기서 v는^R 지구에 고정된 기준 프레임 E에서 측정된 로켓의 속도 벡터다.

파생 및 벡터 곱하기

벡터 함수의 곱은 스칼라 함수의 곱과 비슷하게 동작한다.^[2] 구체적으로 벡터의 스칼라 곱셈의 경우 p가 q의 스칼라 변수 함수라면,^[1]

${\displaystyle {\frac {\frac {\mathbf {a}}={\frac {\frac}{\pmathbf {a} +p{\frac {\frac }{\mathbf {a}{\mathbf q}}}.}$

점 곱셈의 경우, q의 함수인 두 벡터 a와 b에 대해,^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$

마찬가지로 두 벡터 함수의 교차 산출물의 파생상품은 다음과 같다^[1].

${\displaystyle {\frac {\b}{\mathbf {a} \mathbf {b}}={\frac {b}{\mathbf {a}}}{\mathbf {a}} \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {b}{}}}}}}}} \mat}}}}}}.}$

n차원 벡터함수의 파생상품

A function f of a real number t with values in the space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ can be written as ${\displaystyle f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$. 그 파생상품은 동일하다.

${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f'(t)=(f_{1}'t), f_{2}'(t),\ldots ,f_{n}'(t$

f가 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$의 함수인 경우 t$t{\displaystyle }$ R m {\$displaystyle$t$\in$\mathb {R}$^m},$f의 성분 부분파생물은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\time m}$ 행렬을 형성한다.

무한 차원 벡터 함수

함수 f의 값이 힐버트 공간과 같은 무한 차원 벡터 공간 X에 놓여 있다면 f를 무한 차원 벡터 함수라고 부를 수도 있다.

Hilbert 공간에서 값을 가진 함수

f의 주장이 실제 수이고 X가 힐버트 공간이라면, 지점 t에서의 f의 파생상품은 유한차원 사례에서와 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\오른쪽 화살표 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}.}$

유한차원의 경우는 대부분 무한차원의 경우도 마찬가지인데, 이를 준용한다. 또한 분화는 여러 변수의 함수(예: t${\displaystyle }t{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R}$^{$n})$ 또는$$ $t{\displaystyle y}$ Y$${\$displaysty t\in$ Y$\},$ 여기서 Y는 무한 차원 벡터 공간이다.

N.B. X가 힐버트 공간이라면, 어떤 파생상품(및 다른 한계)도 구성 요소별로 계산할 수 있다는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.

${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$

(i.e., ${\displaystyle f=f_{1}e_{1}+f_{2}e_{2}+f_{3}e_{3}+\cdots }$, where ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},\ldots }$ is an orthonormal basis of the space X ), and ${\displaystyle f'(t)}$ exists, then

${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, f ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle }$…${\displaystyle$ f$'(t)=(f_{1}'t),f_{2}'(t), f_{3}'(t),\ldots$ $)\}.$

그러나 구성요소적 파생상품의 존재는 힐버트 공간의 구성요소적 융합이 힐버트 공간의 실제 위상에 관한 정합성을 보장하지 않기 때문에 파생상품의 존재를 보증하지 않는다.

기타 무한 차원 벡터 공간

위와 같은 대부분은 다른 위상 벡터 공간 X에서도 유지된다. 그러나 바나흐 공간 설정에서 고전적인 결과가 많이 나타나는 것은 아니다. 예를 들어 적절한 바나흐 공간의 값을 갖는 절대적으로 연속적인 함수는 어디에서도 파생상품을 가질 필요가 없다. 게다가, 대부분의 바나흐 공간에는 정형외과적 기초가 없다.

참고 항목

• 좌표 벡터
• 벡터장
• 곡선
• 다중값 함수
• 파라메트릭 표면
• 위치 벡터
• 파라메트리제이션

메모들

참조

• Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), "1–9 Differentiation of Vector Functions", Dynamics Online, Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc., pp. 29–37
• Hu, Chuang-Gan; Yang, Chung-Chun (2013), Vector-Valued Functions and their Applications, Springer Science & Business Media, ISBN 978-94-015-8030-4

외부 링크

• 벡터 값 함수 및 특성(레이크 타호 커뮤니티 칼리지)
• Weisstein, Eric W. "Vector Function". MathWorld.
• Everything2 기사
• 3차원 벡터 값 함수(East Tennessee State University)
• "위치 벡터 가치 함수" Khan Academy 모듈