벡터 포텐셜

벡터 미적분학에서 벡터 전위는 컬이 주어진 벡터 필드인 벡터 필드다. 이것은 스칼라 전위와 유사하며, 스칼라 전위는 경사가 주어진 벡터 필드인 스칼라 전위장과 유사하다.

형식적으로 벡터 필드 v가 주어지는 벡터 전위는 $다음$과 같은 C ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2}}$ 벡터$$ 필드 A이다.

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

결과

벡터 필드 v가 벡터 전위 A를 허용하면 동등으로부터

${\displaystyle \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

(curl의 수렴은 0)을 얻는다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$

즉, v는 솔레노이드 벡터 필드여야 함을 의미한다.

정리

내버려두다

${\displaystyle \mathbf {v} :\mathb {R} ^{3}\to \mathb {R} ^3}}}}$

연속적으로 2배의 차이가 나는 솔레노이드 벡터장이다. v(x)가 x →message로 충분히 빠르게 감소한다고 가정한다. 정의

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\ \mathbf {x} -\mathbf {y} \right\ }}\,d^{3}\mathbf {y} .}$

그렇다면 A는 v의 벡터 전위, 즉,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

이 정리의 일반화는 어떤 벡터장이든 솔레노이드 벡터장과 비회전 벡터장의 합으로 분해될 수 있다고 기술한 헬름홀츠 분해다.

고유성

솔레노이드 장에 의해 인정된 벡터 전위는 고유하지 않다. A가 v에 대한 벡터 전위라면, 역시 그렇다.

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$

여기서 f는 지속적으로 다른 스칼라 함수다. 이는 경사의 컬이 0이라는 사실에서 따온 것이다.

이러한 고유성은 전기역학, 즉 게이지의 자유도를 형성하는데 있어서 자유도로 이어지고, 게이지 선택을 필요로 한다.

참고 항목

• 벡터 미적분학의 기본 정리
• 자기 벡터 전위
• 솔레노이드
• 밀폐형 및 정확한 차등형식

참조

• David K에 의한 엔지니어링 전자석의 기초. 쳉, 애디슨 웨슬리 1993년