발트 방정식

확률론에서 월드의 방정식, 월드의 정체성^[1] 또는 월드의 보조정리란^[2] 무작위 수량의 합계의 기대값 계산을 단순화하는 중요한 정체성이다.가장 단순한 형태에서, 그것은 무작위로 많은 유한 평균, 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수의 합계에 대한 기대와 합계의 기대되는 항 수와 합계의 항 수가 합계에 독립적이라는 조건 하에 랜덤 변수의 공통적인 기대치를 연관시킨다.

이 방정식은 수학자 아브라함 월드의 이름을 따서 명명되었다.두 번째 순간의 정체성은 블랙웰-기르식 방정식에 의해 주어진다.^[3]

기본 버전

Let (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}는 실제 값되고 독립적이며 동일하게 분포된 랜덤 변수의 시퀀스이고 N은 시퀀스 (X_n)와 독립된 음이 아닌 정수 값 랜덤 변수가 되도록 한다._{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}N과 X가_n 유한한 기대를 가지고 있다고 가정하자.그러면

${\displaystyle \operatorname {E}[X_{1}+\dots +X_{N}]=\operatorname {E}[N]\operatorname {E}[X_{1}]\,}$

예

6면 주사위를 굴려라.주사위(N이라고 부름)에 있는 숫자를 취해서 그 숫자의 6면 주사위를 굴려₁ X, . . , X를_N 얻고 그 값을 합산한다.월드의 방정식에 따르면 평균적으로 그 결과 값은

${\displaystyle \operatorname {E} [N]\operatorname {E}[X]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}\cdot {\1+2+3+4+6}{6}}\frac {1+3+4+5+6}{6}}}}={\frac {441}{36}}={\frac {49}{4}=12.25\,.}$

일반 버전

Let (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}는 실제 값 랜덤 변수의 무한 시퀀스가 되고 N은 음수가 아닌 정수 값 랜덤 변수가 되도록 한다.

다음과 같이 가정하십시오.

1. (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} 모든 통합형(완료형) 랜덤 변수,

2. 모든 자연수 n에 대한 E_{n{N ≥ n}n}[X1] = E[X] P(N n n) 및

3. 무한 시리즈 만족

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\inful }\operatorname {E}\!{\bigl [}X_{n}1_{N\geqn\}}}{\bigr ]}<\infully .}$

그럼 무작위 합계가

${\displaystyle S_{N}}=\sum _{n=1}^{{N},\qquad T_{N}=\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E}[X_{n}]}}$

통합이 가능하고

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E}[T_{N}]}$

만약, 게다가

4. (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} 모두 같은 기대를 가지고 있고,

5. N은 유한한 기대를 가지고 있다.

그때

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E}[N]\,\operatorname {E} [X_{1}]}$

비고: 보통, 월드의 방정식이라는 이름은 이 마지막 평등을 가리킨다.

가정 논의

분명히 가정 (2)와 월드의 방정식을 공식화하기 위해서는 가정(1)이 필요하다.가정 (2)는 수열(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}과 수 N의 항 사이에 허용되는 의존도를 제어한다. 필요성은 아래 표본을 참조한다.N이 시퀀스(X_n)의 정지 시간인 경우 가정 (2)가 충족된다는 점에 유의하십시오._{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}^{[citation needed]}가정 (3)은 절대적인 정합성을 의미하며 따라서 증명에서 무한 계열의 임의 재배치를 허용하는 더 기술적인 성격을 띤다.

가정(5)이 충족되면 가정(3)을 더 간단한 조건으로 강화할 수 있다.

6. 모든 자연수 n에 대해 E[ X_n 1_{{N ≥ n}}] ≤ C P(N ≥ n)와 같은 실제 상수 C가 존재한다.

실제로 가정(6)을 사용하여

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\inful }\operatorname {E} \\bigl [}X_{n}{{N\geqn\}}}}}\bigr ]}\leq C\sum _{n=1}^{\inp}\n\geq}),$

그리고 마지막 시리즈는 가정 (5)에 의해 유한한 N 의 기대와 같다.따라서 (5)와 (6)는 가정 (3)을 의미한다.

(1) 및 (5) 이외에 다음과 같이 가정한다.

7. N은 순서(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}와 독립적이다.

8. 모든 자연수 n에_n 대해 E[ X ] ≤ C와 같은 상수 C가 존재한다.

그러면 모든 가정(1), (2), (5) 및 (6)이 충족된다. 따라서 (3)도 충족된다.특히 조건(4)과 (8)은 다음과 같이 만족한다.

9. 랜덤 변수(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}는 모두 동일한 분포를 가지고 있다.

시퀀스(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}의 랜덤 변수는 독립적일 필요가 없다는 점에 유의하십시오.

흥미로운 점은 항들의 난수 N과 수열(X_n) 사이의 어느 정도 의존성을 인정하는 것이다._{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}표준 버전은 다음과 같이 (1), (5), (8) 및 여과(F_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}의 존재를 가정한다.

10. N은 여과에 관한 정지 시간이며,

11. X와_n F는_n–1 모든 n ∈ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 독립적이다$.$

그러면 (10)은 사건 {N ≥ n} = {N ≤ n – 1}^c이(가) F에_n–1 있으므로 (11) X와_n 무관하다는 것을 의미한다.이는 (2)를 암시하며, (8)과 함께 (6)을 암시한다.

편의상(선택적 정지 정리를 사용하여 아래의 증명 참조)과 시퀀스(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}와 여과(F_n)의 관계를 명시하기 위해 다음과 같은 추가 가정이 부과되는 경우가 많다._{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}

12. 시퀀스(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}가 여과(F_n)에 적응되어 있다는 것은 _{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}X가 모든_n n $n{\displaystyle \mathbb{}}$ N ${\$에 대해 F-측정 가능하다는_n 것을 의미한다$.$

(11)과 (12)는 함께 랜덤 변수(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}가 독립적이라는 것을 의미한다는 점에 유의하십시오.

적용

총 청구금액이 복합 포아송 공정을 따르는 것을 고려할 때 보험수리적 과학에 적용한다.

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{{N}X_{n}}}}$

특정 기간 내에 개별 보험금 청구 건수의 무작위 숫자 N에서 발생하는 1년이라고 가정하고, 그 크기는 무작위 변수(X_n)로 설명된다._{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}위의 가정 하에서 월드의 방정식을 사용하여 연간 평균 청구 번호와 평균 청구 규모에 대한 정보를 구할 수 있을 때 예상 총 청구 금액을 계산할 수 있다.보다 강력한 가정 하에서 그리고 기초 분포에 대한 더 많은 정보를 가지고, Panjer의 재귀는 S의_N 분포를 계산하는 데 사용될 수 있다.

예

종속 항이 있는 예제

N은 적분 가능한, N{\displaystyle \mathbb{N}}은 적분 가능한으로 독립적이다 0-valued 확률 변수, real-valued 확률 변수 ZE[Z]=0. 모든 n에 ∈ N{\displaystyle \mathbb{N}}Xn)(–1)n Z를 정의합니다. 그리고 가정들,(5),(7), C와(8)(1):)E[Z], 따라서 또한(2)과(6),와 W. 만족하고 있자ald의 방정식이 적용된다.Z의 분포가 대칭적이지 않으면 (9)은 지탱하지 않는다.Z가 0 랜덤 변수와 거의 확실히 같지 않으면 (11)과 (12)가 여과(F_n)를 동시에 유지할 수 없는데,_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} 이는 Z가 E[Z²] = (E[Z]² = 0으로 독립적일 수 없기 때문이다.

항의 수가 순서에 따라 달라지는 예제

Let_n (X)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}는 독립적이고 대칭적이며 {–1, +1} 값 랜덤 변수의 시퀀스가 되도록 한다.모든 n ∈ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에_n 대해 X₁, . , X에_n 의해 생성된 F를 σ-algebra로 하고$$ X가_n +1 값을 갖는 첫 번째 랜덤 변수인 경우 N = n을 정의한다.P(N = n) = 1/2이므로ⁿ 비율 검사에 의한 E[N] < ∞에 유의한다.따라서 (1), (5) 및 (9) C = 1, (10), (11) 및 (12)를 가진 (4) 및 (8)은 유지하며, 따라서 (2) 및 (6)와 월드의 방정식이 적용된다.단, N은 시퀀스_n(X)로 정의되기 때문에 (7)은 고정되지 않는다._{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}직관적으로 이 예에서 E[S_N] 0이 될 것으로 예상할 수 있는데, 합계가 1이 지나면 바로 끝나기 때문에 분명히 긍정적인 편견을 형성하기 때문이다.그러나 월드의 방정식은 이러한 직관이 오해를 불러일으킨다는 것을 보여준다.

백작샘플

가정 (2)의 필요성을 보여주는 사례. (2)

확률로 두 값 각각 0과 1을 취하면서 i.i.d 랜덤 변수의 시퀀스(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}를 고려하십시오.1/2 (실제로 다음에서는 X만₁ 필요함).N = 1 – X를₁ 정의하십시오.그러면 S는_N 0과 동일하므로 E[S_N] = 0이지만 E[X₁] = 1/2과 E[N] = 1/2이므로 월드의 방정식은 유지되지 않는다.실제로 가정 (1), (3), (4) 및 (5)은 충족되지만, 가정 (2)의 방정식은 n$$ = 1을 제외한 모든 n ∈ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 유지된다.

가정 필요성에 대한 예시(3)

위의 두 번째 예시와 매우 유사하게 (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} 독립적이고 대칭적인 랜덤 변수의 시퀀스가 되게 하고 여기서 X는_n 확률 1/2로 각 값 2와ⁿ –2를ⁿ 취한다.N을_n X = 2와ⁿ $같은$ 첫 번째 n ∈ N ${\$가) 되도록 한다.그렇다면 위에서와 같이 N은 유한한 기대를 가지므로 가정 (5)은 유지된다.모든 n ∈ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 E[X_n] = 0이므로 가정 (1) 및 (4) 보류.그러나 S_N = 1은 거의 확실하기 때문에 월드의 방정식은 지탱할 수 없다.

N은 (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}에 의해 생성된 여과와 관련된 정지 시간이기 때문에 가정 (2)는 유지된다(위 참조).따라서 가정 (3)만이 실패할 수 있으며, 실제로 그 이후부터입니다.

${\displaystyle \{N\geq n\}=\{X_{i}=-2^{i}{\text{{}}{{}}}{}}}{}}}}{}}}}}}{}i=1,\ldots,n-1\}}}}의 경우$

따라서 P(N ≥ n) = 모든 $n{\displaystyle \mathbb{}}$ ∈ N ${\$에 대해 1/2이며^n–1$,$ 그 다음이 된다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [} X_{n} 1_{\{N\geq n\}}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\,\operatorname {P} (N\geq n)=\sum _{n=1}^{\infty }2=\infty .}$

선택적 정지 정리를 이용한 증명

(1), (5), (8), (10), (11) 및 (12)로 가정한다.가정(1)을 사용하여 랜덤 변수의 순서를 정의하십시오.

${\displaystyle M_{n}=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\operatorname {E}[X_{i}]),\quad n\in {\mathb {N}}_{0}.}$

가정(11)은 주어진 X의_nn–1 조건부 기대치가 $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ n ∈ N ${\$에 대해 거의 확실히 E[X_n]와 같다는 것을 의미하므로, (M_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}은 가정 (12)에 의한 여과(F_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}와 관련된 마팅게일이다.가정 (5), (8) 및 (10)은 선택적 정지 정리를 적용할 수 있는지 확인하므로 M_N = S – T는_NN 통합이 가능하고

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}-T_{N}]=\operatorname {E}[M_{0}]=0.}$

(13)

가정(8)으로 인해

${\displaystyle T_{N} ={\biggl }\sum _{i=1}^{N}\operatorname {E} [X_{i}]{\biggr }}\leq \sum _{i=1}^{N}\operatorname {E} [X_{i} ]\leq CN,}}$

가정 (5)에 따라 이 상한은 통합할 수 있다.따라서 방정식(13)의 양쪽에 T의_N 기대를 더하고 선형성을 통해 얻을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E}[T_{N}]}$

비고: 이 증거는 위의 예에 종속적인 용어를 포함하지 않는다는 점에 유의하십시오.

일반증거

이 증거는 르베그 모노톤과 지배적인 융합 이론만을 사용한다.우리는 위와 같은 진술을 세 단계로 증명한다.

1단계: 랜덤섬 S의_N 통합성

우리는 무작위 금액 S가_N 통합 가능하다는 것을 먼저 보여준다.부분 합계 정의

${\displaystyle S_{i}=\sum _{n=1}^{i}X_{n},\quad i\in {\mathb {N}_{0}.}$

(14)

N은 그 $값$을$$N {\$displaystyle \mathb$ {$N} }$에서 취하기 때문에$$₀ S = 0이기₀ 때문에 다음과 같다.

${\displaystyle S_{N} =\sum _{i=1}^{\\infit }S_{i} \,1_{{N=i\}}.}$

르베그 모노톤 융합의 정리는 다음과 같은 것을 내포하고 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} [ S_{N} ]=\sum _{i=1}^{\infit }\operatorname {E}[S_{i}\,1_\{N=i\}]}$

삼각형 불평등에 의해

${\displaystyle S_{i} \leq \sum _{n=1}^{i} X_{n} ,\quad i\in {\mathb {N}}}}$

이 상위 추정치를 사용하고 합계 순서를 변경하면(모든 항이 음수가 아니기 때문에 허용됨) 당사는 이를 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {E} [ S_{N} ]\leq \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} [ X_{n} \,1_{\{N=i\}}]=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [ X_{n} \,1_{\{N\geq n\}}],}$

(15)

단조로운 수렴 정리를 이용하여 두 번째 불평등이 뒤따른다.가정 (3)에 의해 (15)의 우측에 있는 무한 시퀀스가 수렴되므로 S는_N 통합할 수 있다.

2단계: 랜덤섬 T의_N 통합성

우리는 이제 무작위 합계 T가_N 통합 가능하다는 것을 보여준다.부분 합계 정의

${\displaystyle T_{i}=\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E}[X_{n}}],\quad i\in {\mathb {N}{0},}$

(16)

실수의N은₀ 그 $값$을$$N {\$displaystyle \mathb$ {$N} }$에서 취하기 때문에$$₀, T = 0이기 때문에 다음과 같다.

${\displaystyle T_{N} =\sum _{i=1}^{\\nft }T_{i} \,1_{{N=i\}}.}$

1단계에서와 같이, 르베그 모노톤 융합정리는 다음을 함축하고 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} [ T_{N} ]=\sum _{i=1}^{\ft }T_{i} \operatorname {P}(N=i).}$

삼각형 불평등에 의해

${\displaystyle T_{i} \leq \sum _{n=1}^{}{\bigl }\\operatorname {E}[X_{n}]{\bigr }}}}\quad i\in {\mathb {N}}}}}}}$

이 상위 추정치를 사용하고 합계 순서를 변경하면(모든 항이 음수가 아니기 때문에 허용됨) 당사는 이를 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {E} [ T_{N} ]\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl }\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr }\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {P} (N=i)} _{=\,\operatorname {P} (N\geq n)},}$

(17)

가정(2)에 의해

${\displaystyle {\bigl }\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr }\operatorname {P} (N\geq n)={\bigl }\!\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]{\bigr }\leq \operatorname {E} [ X_{n} 1_{\{N\geq n\}}],\quad n\in {\mathbb {N} }.}$

이를 (17) 수익률로 대체

${\displaystyle \operatorname {E} [ T_{N} ]\leq \sum _{n=1}^{\infit }\operatorname {E} [X_{n} 1_{{N\\n\geqn\}],},},}$

가정(3)에 의해 유한하므로 T는_N 통합할 수 있다.

3단계: 신원 증명

월드의 방정식을 증명하기 위해 우리는 본질적으로 절대값 없이 같은 단계를 다시 거치게 되는데, 이들이 같은 기대를 가지고 있다는 것을 보여주기 위해 무작위 합산_N S와_N T의 통합성을 이용한다.

지배적인 무작위 변수 S와_N (14)에 주어진 부분 합계 S의_i 정의로 지배적인 수렴 정리를 사용하면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{i=1}^{\ft }\operatorname {E} [S_{i}1_{\\]{N=i\}}}=\sum _{i=1}^{\inful }\sum _{n=1}^{n}\operatorname {E} [X_{n1}1_{\\]{N=i\}}.}$

가정(3)을 이용하여 위 (15)에서 입증된 절대 수렴 때문에, 합계를 재정렬하여 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{n=1}^{\inflt }\sum _{i=n}^{\inflt }}\operatorname {E}[X_{n}1_{\\\\\\\\\\\\]{N=i\}}}=\sum _{n=1}^{\infit }\operatorname {E}[X_{n1}1_{{N\geqn\}}},}$

여기서 가정 (1)과 지배적인 수렴 정리를 두 번째 평등을 위해 지배적인 랜덤 변수 X와_n 함께 사용했다.가정 (2)와 확률 측정의 σ-additivity로 인해,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]&=\operatorname {E} [X_{n}]\operatorname {P} (N\geq n)\\&=\operatorname {E} [X_{n}]\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {P} (N=i)=\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [}\operatorname {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}{\bigr ]}.\end{정렬}}}$

이 결과를 이전 방정식으로 대체하고 기대의 선형성과 (16)에 제시된 기대의 부분 합계_i T의 정의를 사용하여 합계(절대 수렴으로 인해 허용됨, 위 (15) 참조)를 재배열한다.

${\displaystyle \operatorname {E}[S_{N}]=\sum _{i=1}^{\put }\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} \!\\bigl[}\operatorname {E}[X_{n}]1_{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\{N=i\}{\bigr ]}=\sum _{i=1}^{\\put }\operatorname {E}[\underbrace {T_{i}1_{\\\]{N=i\} _{{=\,T_{N}1_{\}{N=i\}}}.}$

지배적인 랜덤 변수 T와_N 함께 지배적인 수렴을 다시 사용함으로써 ,

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\e} \!{{\biggl [}T_{N}}\underbrace {\sum _{i=1}^{\infully }{1_{\\\n\\\\\\computy }\compute.{N=i\} _{=\,1_{{N\geq 1\}}{\\\biggr ]}=\operatorname {E} [T_{N}]}$

가정(4)과 (5)이 충족되면 기대의 선형성에 의해

${\displaystyle \operatorname {E} [T_{N}]=\operatorname {E} \!{\biggl [}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [X_{n}]{\biggr ]}=\operatorname {E} [X_{1}]\operatorname {E} \!{\biggl [}\underbrace {\sum _{n=1}^{N}1} _{=\,N}{\biggr ]}=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}].}$

이것으로 증거가 완성되었다.

추가 일반화

• 월드의 방정식은 모든 성분에 1차원 버전을 적용하여 R 값^d 랜덤 변수(X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}로 전송할 수 있다.
• (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} Bochner-integrated random variables가 Banach 공간에서 값을 취하는 경우, 위의 일반적인 증거는 그에 따라 조정될 수 있다.

참고 항목

• 로든의 부등식
• 월즈 마팅게일
• 스피처 공식

메모들

참조

• Wald, Abraham (September 1944). "On cumulative sums of random variables". The Annals of Mathematical Statistics. 15 (3): 283–296. doi:10.1214/aoms/1177731235. JSTOR 2236250. MR 0010927. Zbl 0063.08122.
• Wald, Abraham (1945). "Some generalizations of the theory of cumulative sums of random variables". The Annals of Mathematical Statistics. 16 (3): 287–293. doi:10.1214/aoms/1177731092. JSTOR 2235707. MR 0013852. Zbl 0063.08129.
• Blackwell, D.; Girshick, M. A. (1946). "On functions of sequences of independent chance vectors with applications to the problem of the 'random walk' in k dimensions". Ann. Math. Statist. 17: 310–317. doi:10.1214/aoms/1177730943.
• Chan, Hock Peng; Fuh, Cheng-Der; Hu, Inchi (2006). "Multi-armed bandit problem with precedence relations". Time Series and Related Topics. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. Vol. 52. pp. 223–235. arXiv:math/0702819. doi:10.1214/074921706000001067. ISBN 978-0-940600-68-3.

외부 링크

• "Wald identity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]