무기 대상 할당 문제

무기 대상 할당 문제(WTA)는 최적화 및 운용 연구 분야에서 존재하는 조합 최적화 문제의 한 종류다. 상대에게 가해지는 예상 피해의 총량을 극대화하기 위해 다양한 유형의 무기 세트를 목표물 집합에 최적의 할당을 찾아내는 것으로 구성된다.

기본적인 문제는 다음과 같다.

많은 무기와 목표물이 있다. The weapons are of type ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$. There are ${\displaystyle W_{i}}$ available weapons of type ${\displaystyle i}$. Similarly, there are ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ targets, each with a value of ${\displaystyle V_{j}}$. Any of the weapons can be a어떤 목표에도 속박되어 있다. 각 무기 유형은 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$가 부여한 각 대상을 파괴할 확률을 일정하게 가지고 있다$.$

고전적인 할당 문제나 일반화된 할당 문제와는 반대로, 각 과제(즉, 대상)에 하나 이상의 에이전트(즉, 무기)를 할당할 수 있으며, 모든 대상이 무기를 할당해야 하는 것은 아니라는 점에 유의하십시오. 따라서, 우리는 WTA가 에이전트들 간의 협력이 필요한 업무에서 최적의 할당 문제를 공식화할 수 있도록 허용한다고 본다. 또한, 비용 외에 업무의 확률적 완료를 모델링할 수 있는 능력을 제공한다.

WTA의 정적 버전과 동적 버전을 모두 고려할 수 있다. 정적인 경우, 무기는 목표물에 한 번 배정된다. 동적 케이스는 다음 라운드에서 각각의 화재(원형) 교환 후의 시스템 상태를 고려하는 많은 배정을 포함한다. 정적 WTA 문제에 대한 대부분의 작업이 이루어진 반면, 최근 동적 WTA 문제는 더 많은 관심을 받고 있다.

그 이름에도 불구하고, WTA의 비군사적 신청이 있다. 개, 항공기, 워커 등 이질적인 자산에 의해 유실물이나 사람을 찾는 것이 주요 내용이다. 문제는 객체를 찾지 못할 확률을 최소화하기 위해 객체가 위치한 공간의 칸막이에 자산을 할당하는 것이다. 칸막이의 각 요소의 "값"은 객체가 그곳에 위치할 확률이다.

형식수학적 정의

무기 목표 할당 문제는 종종 다음과 같은 비선형 정수 프로그래밍 문제로 공식화된다.

${\displaystyle \min \sum \sum _{j=1}{j}\prod _{i=1}^{m}q_{x_{ij}}}\right)}}$

제약을 받고.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x_{ij}\leq W_{i}{\text{{}{}}{}}}{}}}}}{}}}}}}.$

${\displaystyle x_{ij}\geq 0{\text{} 및 }}}}:{i=1,\ldots,m{\text{ 및 }j=1,\ldots,n.}에 대한 정수$

여기서 변수 x $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 $대상{\displaystyle }$ j ${\displaystyle j}$에 $대한{\displaystyle }$ i$${\$displaystyle$i} 유형의 무기 수만큼 할당됨을$$ 나타내며$$$$$,$ ${\displaystyle {\mathrm{qij}}_{}}$$}$은 $생존$ $확률$(1 - p i j {\$displaystyle$ $ij}).$ 첫 번째 제약조건은 할당된 각 유형의 무기 수가 사용 가능한 수를 초과하지 않도록 요구한다. 두 번째 제약조건은 본질적인 제약조건이다.

예상 생존가치를 최소화하는 것은 예상 피해를 최대화하는 것과 같다는 점에 유의하십시오.

알고리즘 및 일반화

이완(대략)을 활용하는 분기 및 바운드 기법을 사용하여 정확한 해결책을 찾을 수 있다.^[1] 다항식 시간에 거의 최적인 해결책을 제공하는 많은 경험적 알고리즘이 제안되었다.^[2]

예

지휘관은 탱크 5대, 항공기 2대, 해상 1척을 보유하고 있으며 5, 10, 20의 값을 가진 목표물 3개를 교전하라는 지시를 받는다. 각 무기 유형은 각 대상에 대해 다음과 같은 성공 확률을 가진다.

무기 유형	${\displaystyle V_{1}=5}$	${\displaystyle V_{2}=10}$	${\displaystyle V_{3}=20}$
탱크	0.3	0.2	0.5
항공기	0.1	0.6	0.5
바다 선박	0.4	0.5	0.4

실현 가능한 해결책 중 하나는 선박과 항공기 1대를 가장 높은 가치의 목표(3)에 배정하는 것이다. This results in an expected survival value of ${\displaystyle 20(0.6)(0.5)=6}$. One could then assign the remaining aircraft and 2 tanks to target #2, resulting in expected survival value of ${\displaystyle 10(0.4)(0.8)^{2}=2.56}$. Finally, the remaining 3 tanks are assigned to t예상 생존 값이 $5{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle 0.7{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1.715}$ $(\디스플레이 스타일$ 5 $(0.7)^{3}=1.715}$인 arget #1 $.$ Thus, we have a total expected survival value of ${\displaystyle 6+2.56+1.715=10.275}$. Note that a better solution can be achieved by assigning 3 tanks to target #1, 2 tanks and sea vessel to target #2 and 2 aircraft to target #3, giving an expected survival value of ${\displaystyle 5(0.7{)}^3+10(0.5)(0.8{)}^2}$${\displaystyle +}$ ${\displaystyle {20\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle 0.5{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$= 9${\displaystyle .915}$ ${\displaystyle 5 (0.7)^{3}+10 (0.5)^{2}+20 (0.5)^{2}=9.915$ .

참고 항목

• 옥션 알고리즘
• 마감문제
• 일반화 할당 문제
• 선형 병목 현상 할당 문제
• 2차 할당 문제
• 안정적 결혼문제

참조

추가 읽기

• Ahuja, Ravindra; T. L. Magnanti; J. B. Orlin (1993). Network Flows. Prentice Hall. ISBN 0-13-617549-X.