가중 평면 확률 격자

Weighted planar stochastic lattice

물리학자들은 종종 그들이 좋아하는 모델을 그 안에 적용하기 위해 다양한 선반들을 사용한다.예를 들어, 가장 좋아하는 격자는 아마 사각 격자일 것이다.14개의 브라바이스 공간 격자에는 모든 세포가 정확히 같은 수의 가장 가까운, 가장 가까운, 가장 가까운 이웃을 가지고 있기 때문에 그들은 보통 격자라고 불린다.종종 물리학자와 수학자들은 각각의 세포가 정확히 같은 수의 이웃을 가지지 않고 이웃의 수가 엄청나게 다를 수 있는 혼란된 격자를 필요로 하는 현상을 연구한다.예를 들어, 질병, 바이러스, 소문 등의 확산을 연구하려면 사각 격자무늬를 마지막으로 찾아봐야 한다.이런 경우 격자무늬 격자가 필요하다.격자무늬 격자를 만드는 한 가지 방법은 다음과 같다.

단위 면적을 정사각형으로 시작하고 각 단계에서 한 블록만 랜덤하게 나눈 다음, 면적 기준으로 우선 선택한 후 4개의 작은 블록으로 나누면 가중 평탄성 격자(WPSL)가 생성된다.기본적으로 블록 크기와 조정 번호가 랜덤하기 때문에 정렬되지 않은 평면 격자다.

설명

응용수학에서 가중 평면 확률 격자(WPSL)는 격자 및 그래프의 격자와 공통되는 특성을 갖는 구조다.일반적으로 공간을 채우는 평면 세포 구조는 겉보기에는 이질적으로 보이는 다양한 물리적 및 생물학적 시스템에서 유용할 수 있다.다결정 구조의 곡물, 생물학의 세포질 및 조직, 마텐사이트 생육의 고환질, 바닷가의 테셀링 포장, 비누 거품, 소유권에 따른 농경지 분할 등이 그 예다.[1][2][3]이러한 구조들이 어떻게 나타나는가에 대한 의문과 그들의 위상학적, 기하학적 특성에 대한 이해는 일반 과학자들과 특히 물리학자들 사이에서 항상 흥미로운 명제였다.몇몇 모델은 세포 구조를 생성하는 방법을 규정한다.종종 이러한 구조들은 자연에서 발견되는 구조들을 직접적으로 모방할 수 있고 그것들은 우리가 자연 구조에서 발견하는 필수적인 성질을 포착할 수 있다.일반적으로 세포 구조는 평면을 연속적이고 겹치지 않는 셀로 임의 다듬기, 타일링 또는 분할하여 나타난다.예를 들어, 보로노이 다이어그램과 아폴로니안 패킹은 평면을 각각 연속 볼록형 및 비과대형 볼록형 폴리곤과 디스크로 분할 또는 타일링하여 형성된다.[2][4]

정사각형 격자, 삼각 격자, 벌집 격자 등과 같은 규칙적인 평면 격자는 모든 셀이 정확히 같은 크기와 동일한 조정 번호를 갖는 세포 구조의 가장 단순한 예다.반면에 평면도 보로노이 도표에는 고정된 셀 크기나 고정된 조정 번호가 없다.그것의 조정 번호 분포는 본질적으로 푸아소니아어다.[5]즉, 평균보다 유의하게 조정 숫자가 높거나 적은 셀을 찾는 것이 거의 불가능한 평균에 대해 분포가 정점을 이룬다.최근에 Hassan 외 연구진은 격자, 즉 가중 평면 확률 격자 격자를 제안했다.예를 들어, 네트워크나 그래프와는 달리, 그것은 그것의 사이트가 공간적으로 내장되어 있기 때문에 격자의 속성을 가지고 있다.반면에 격자와는 달리, 그것의 이중(각 격자 블록의 중심은 노드로서, 블록 사이의 공통 경계는 링크로서 고려함으로써 파악됨)은 그 정도 분포가 전력 법칙을 따르기 때문에 네트워크의 속성을 나타낸다.게다가, 일반 격자와 달리, 그것의 세포의 크기는 같지 않다. 오히려, 그것의 블록의 면적 크기 분포는 힘 법칙을 따르는 동적 스케일링을 따른다.[6][7][8]

가중 확률형 격자의 스냅숏.

WPSL의 건설

WPSL의 시공 과정은 다음과 같이 설명할 수 있다.그것은 우리가 이니시에이터로 간주하는 단위 영역의 사각형으로 시작한다.그런 다음 발전기는 첫 번째 단계에서 동일한 확률을 가진 이니시에이터를 네 개의 작은 블록으로 무작위로 나눈다.두 번째 단계 이후, 발전기는 블록 중 하나에만 적용된다.문제는 다음과 같다.블록이 두 개 이상인데 어떻게 저 블록을 고를까?가장 일반적인 선택은 면적이 높을수록 선택 확률이 높아지도록 면적에 따라 우선적으로 선택하는 것이다.예를 들어, 1단계에서 발전기는 이니시에이터를 무작위로 네 개의 작은 블록으로 나눈다.왼쪽 상단 모서리에서 시작하여 방향으로 1,, 로 라벨을 붙이도록 합시다 그러나 물론 우리가 라벨을 붙이는 방법은 완전히 임의적이며 관찰 가능한 수량의 최종 결과에 영향을 미치지 않을 것이다. 는 th 블록의 영역이며, i th 블록을 선택할 확률로 간주할 수 있다.이니시에이터의 영역을 1과 동일하게 하므로 이러한 확률은 자연스럽게 정규화된 = 1 }이다2단계에서는 4개 블록 중 한 블록을 우선적으로 선택한다.블록 을(를) 선택하고 제너레이터를 그 위에 적용하여 4개의 작은 블록으로 랜덤하게 나누도록 하자.따라서 3 이(가) 이제 중복되므로 왼쪽 상단 모서리에 라벨을 붙이도록 재활용하고, 나머지 3개 블록은 방향으로, 6{\ {\로 라벨을 표시한다.일반적으로 단계에서는 3 j - 개 블록 중 하나를 로 우선 선택하여 무작위로 4개 블록으로 나눈다.자세한 알고리즘은 다윈과 하산[6], 하산, 하산, 파벨에서 찾을 수 있다.[8]

격자 생성의 이 과정도 다음과 같이 설명할 수 있다.기질이 단위 영역의 사각형이며, 각 단계에서 씨앗이 핵화되어 기질 측면에 평행하는 두 개의 직교 분할선이 기존 선에 의해 가로채기 전까지 성장한다고 간주한다.결과적으로 사각형을 서로 배타적인 직사각형 블록으로 분할한다.블록의 면적이 높을수록 씨앗이 기질에 무작위로 뿌려지기 때문에 씨앗이 4개의 작은 블록으로 나누기 위해 그 안에서 핵화될 확률이 높다는 점에 유의한다.그것은 또한 2차원 물체의 단편화의 운동학을 설명할 수 있다.[9][10]

세 가지 크기의 WPSL에 대한 면적 크기 분포 함수 C(a,t)inset에서 동일한 데이터가 자기 유사 좌표에 표시되고 서로 다른 시간에 취해진 모든 데이터의 데이터 축소는 하나의 범용 곡선으로 붕괴된다.면적 크기 분포 함수가 동적 스케일링을 준수함을 나타낸다.
WPSL의 이중 분포 및 WPSL 자체의 조정 번호 분포.

WPSL의 속성

  • 이 격자 성장의 역학관계는 무한히 많은 보존법에 의해 지배되고 있는데, 그 중 하나가 전체 면적의 사소한 보존이다.
  • 비삼각적 보존법은 각각 다원적 척도로 사용할 수 있으므로 다원적(다원적 체계)이기도 하다.
  • 블록의 면적 크기 분포 함수는 동적 스케일링을 준수한다.
  • 각 블록의 중심을 노드로, 블록 사이의 공통 경계선을 해당 노드의 중앙 사이의 링크라고 생각하면 네트워크로 매핑될 수 있다.결과 네트워크의 정도 분포는 전원법(스케일 프리 네트워크)을 나타낸다.1999년 바라바시와 알버트는 성장과 우선적 애착(PA) 규칙이 권력-법률 분포의 두 가지 기본 요소라고 주장했다.WPSL의 경우 성분 중 한 가지 존재는 명백하다.PA 규정은?WPSL의 성장 과정을 자세히 보면 블록은 이웃 중 하나를 골라 나눠야 새로운 이웃을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.따라서 한 블록이 더 많은 이웃을 가질수록 더 많은 이웃을 얻을 가능성이 더 높다.사실 (중재 주도의 애착 모델)은 이런 생각을 정확히 구현하고 있다.이 모델에서도 PA 규칙이 존재하지만 변장하고 있다!
  • 그것은 다중점수를 보여준다.

예를 들어, 2000년 이전에는 모든 사람이 동일한 방법으로 다른 모든 사람을 감염시킬 수 있다고 가정하여 사각 격자처럼 규칙적인 격자에 그것들을 적용하여 연구하고 있었다.네트워크 기반의 프레임워크의 출현은 근본적인 변화를 가져왔고, 그 어느 때보다도 훨씬 더 나은 실용적 골격을 제공했다.오늘날 전염병 모델은 인플루엔자의 확산을 예측하거나 에볼라를 억제하는 데 사용되는 네트워크 과학의 가장 활발한 응용 프로그램 중 하나이다.WPSL은 그래프나 네트워크의 특성과 전통 격자의 특성을 가지고 있기 때문에 모델과 같은 전염병을 적용하기에 좋은 후보가 될 수 있다.

참조

  1. ^ Rao, Madan; Sengupta, Surajit; Sahu, H. K. (1995-09-11). "Kinematic Scaling and Crossover to Scale Invariance in Martensite Growth". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 75 (11): 2164–2167. Bibcode:1995PhRvL..75.2164R. doi:10.1103/physrevlett.75.2164. ISSN 0031-9007. PMID 10059230.
  2. ^ a b Okabe, Atsuyuki; Boots, Barry; Sugihara, Kokichi; Chiu, Sung Nok; Kendall, D. G., eds. (2000-07-12). Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams. Wiley Series in Probability and Statistics. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc. doi:10.1002/9780470317013. ISBN 978-0-470-31701-3. ISSN 1940-6347.
  3. ^ Ben-Naim, E.; Krapivsky, P. L. (1996-04-22). "Comment on "Kinematic Scaling and Crossover to Scale Invariance in Martensite Growth"". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 76 (17): 3234. Bibcode:1996PhRvL..76.3234B. doi:10.1103/physrevlett.76.3234. ISSN 0031-9007. PMID 10060910.
  4. ^ Delaney, Gary W.; Hutzler, Stefan; Aste, Tomaso (2008-09-16). "Relation Between Grain Shape and Fractal Properties in Random Apollonian Packing with Grain Rotation" (PDF). Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 101 (12): 120602. Bibcode:2008PhRvL.101l0602D. doi:10.1103/physrevlett.101.120602. ISSN 0031-9007. PMID 18851353.
  5. ^ de Oliveira, Marcelo M.; Alves, S. G.; Ferreira, S. C.; Dickman, Ronald (2008-09-29). "Contact process on a Voronoi triangulation". Physical Review E. 78 (3): 031133. arXiv:0810.0240. Bibcode:2008PhRvE..78c1133D. doi:10.1103/physreve.78.031133. ISSN 1539-3755. PMID 18851019. S2CID 34027358.
  6. ^ a b Dayeen, F.R.; Hassan, M.K. (2016). "Multi-multifractality, dynamic scaling and neighbourhood statistics in weighted planar stochastic lattice". Chaos, Solitons & Fractals. Elsevier BV. 91: 228–234. arXiv:1409.7928. Bibcode:2016CSF....91..228D. doi:10.1016/j.chaos.2016.06.006. ISSN 0960-0779.
  7. ^ Hassan, M K; Hassan, M Z; Pavel, N I (2010-09-27). "Scale-free network topology and multifractality in a weighted planar stochastic lattice". New Journal of Physics. 12 (9): 093045. arXiv:1008.4994. Bibcode:2010NJPh...12i3045H. doi:10.1088/1367-2630/12/9/093045. ISSN 1367-2630.
  8. ^ a b Hassan, M K; Hassan, M Z; Pavel, N I (2011-05-01). "Scale-free coordination number disorder and multifractal size disorder in weighted planar stochastic lattice". Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing. 297 (1): 012010. arXiv:1104.1831. Bibcode:2011JPhCS.297a2010H. doi:10.1088/1742-6596/297/1/012010. ISSN 1742-6596. S2CID 119262569.
  9. ^ Krapivsky, P. L.; Ben-Naim, E. (1994-11-01). "Scaling and multiscaling in models of fragmentation". Physical Review E. 50 (5): 3502–3507. arXiv:cond-mat/9407084. Bibcode:1994PhRvE..50.3502K. doi:10.1103/physreve.50.3502. ISSN 1063-651X. PMID 9962400. S2CID 9600655.
  10. ^ Krapivsky, Pavel; Redner, S.; Ben-naim, E. (2010). A kinetic view of statistical physics. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85103-9. OCLC 672330146.