웨인슈타인-아론자힌 정체성

수학에서 Weinstein-Aronszajn ID는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 각각 m × n 및 n × m 크기의 행렬(둘 다 무한할 수 있음)이면$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyty AB}($따라서 ${\displaystyle B}$ ${\displaystystystystytype BA}$도 클래스$)$라고 명시한다.$$

${\displaystyle \det(I_{m})+AB)=\det(I_{n}+BA),}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 k × k ID 행렬이다.

그것은 매트릭스 결정 요소 보조정리 및 그것의 일반화와 밀접한 관련이 있다.그것은 매트릭스 invers에 대한 Woodbury 매트릭스 아이덴티티의 결정요소 아날로그다.

증명

그 정체는 다음과 같이 증명될 수 있다.^[1]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$을(를) 4개의 블록 ${\displaystyle {Im}_{}}$ ${\$${\displaystyle }$- A ${\displaystyle -A$ $B$ ${\displaystyle B}$ 및 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$로 구성된 행렬로$$ 두십시오$.$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

나는_m 변환불가능하기 때문에 블럭 행렬의 결정인자에 대한 공식은

${\displaystyle \det {\pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}=\det(I_{m})\det \left(I_{n}-BI_{m}^{-1}(-A)\right)=\det(I_{n}+BA).}$

나는_n 변환불가능하기 때문에 블럭 행렬의 결정인자에 대한 공식은

${\displaystyle \det {\pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}=\det(I_{n})\det \det \left(I_{m}-(-A)I_{n}^{-1}B\오른쪽)=\det(I_{m}+AB).}$

그러므로

${\displaystyle \det(I_{n}+BA)=\det(I_{m}+AB).}$

적용들

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}\setminus }$ { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathb {R} \setminus \{0\}}}$을(를) 두십시오$.$그 정체성을 이용하여 보다 일반적이면서 다소 더 일반적인 진술을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \det(AB-\lambda I_{m}=(-\lambda )^{m-n}\det(BA-\lambda I_{n}).}$

$따라서{\displaystyle }$ A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$과 ${\displaystyle B}$ A ${\displaystyle BA}$의 0이 아닌 고유값이 동일하다.

이 아이덴티티는 다변량 가우스 분포를 위한 베이즈 추정기를 개발하는 데 유용하다.

그 정체성은 또한 큰 행렬의 결정요인과 작은 행렬의 결정요인을 연관시킴으로써 랜덤 행렬 이론에서 응용을 찾는다.^[2]

참조