매트릭스 결정 보조정리

수학에서 특히 선형대수학에서 행렬 결정요인 보조마사는 반전성 매트릭스 A와 열 벡터 u와 행 벡터^T v의^T 디라디칼 곱의 합계의 결정요인을 계산한다.^[1][2]

성명서

A가 반전 가능한 제곱 행렬이고 u, v가 열 벡터라고 가정하자.매트릭스 결정요인 보조정리법에 따르면

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.}$

여기서 uv는^T 두 벡터 u와 v의 외제품이다.

그 정리는 또한 A의 애드주게이트 행렬의 측면에서도 명시될 수 있다.

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}\오른쪽)=\det \det(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v}^{\textsf {T}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \u}$

이 경우 정사각형 행렬 A가 변환 불가능한지 여부를 적용한다.

증명

첫째, 특수 사례 A = I의 증거는 동등함에서 따른다.^[3]

${\displaystyle{\begin{pmatrix}\mathbf{나는}&0\\\mathbf{v}^{\textsf{T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf{나는}+\mathbf{uv}^{\textsf{T}}&\mathbf{u}\\0&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf{나는}&0\\-\mathbf{v}^{\textsf{T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf{나는}&\mathbf{u}\\0&, 1+\mathbf{v}^{\tex.tsf{T}}\mathbf{u}\end{pmatrix}}.}$

왼쪽의 결정인자는 세 개의 행렬의 결정인자의 산물이다.첫 번째와 세 번째 행렬은 단위가 대각선인 삼각 행렬이므로 이들의 결정 계수는 1에 불과하다.중간 행렬의 결정요인은 우리가 원하는 값이다.우측의 결정요인은 단순(1 + vu^T)이다.그래서 우리는 그 결과를 가지고 있다.

${\displaystyle \det \좌(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}\우)=\좌(1+\mathbf {v} ^{\textsf{T}\mathbf {u} \우).}$

그 다음 일반적인 경우를 다음과 같이 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A}\오른쪽)\left(1+\mathbf {v}^{\textsf {T}\lef(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u}\right)\right).\end{정렬}}}$

적용

A의 결정요소와 역이 이미 알려진 경우, 이 공식은 행렬 uv에^T 의해 보정된 A의 결정요소를 계산하는 수치로 값싼 방법을 제공한다.A + uv의^T 결정인자를 처음부터 (일반적으로 비싼) 계산하지 않아도 되기 때문에 계산이 비교적 저렴하다.u 및/또는 v에 대한 단위 벡터를 사용하여 A의 개별 열, 행 또는 요소를^[4] 조작할 수 있으며, 이러한 방식으로 비교적 저렴하게 계산된 그에 상응하는 업데이트 결정자를 사용할 수 있다.

매트릭스 결정요인 보조정리기를 셔먼-모리슨 공식과 함께 사용할 경우 역 및 결정요인을 함께 편리하게 업데이트할 수 있다.

일반화

A가 변환 불가능한 n-by-n 행렬이고 U, V가 n-by-m 행렬이라고 가정하자.그러면

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}\오른쪽)=\\det(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A}).}$

특별한 경우 $A{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle {I\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle n{\mathbf{}}_{}}$ ${\$이(가) 와인스타인-아론자jn ID이다.

추가적으로 변환 가능한 m-by-m 행렬 W를 주어, 그 관계는 또한 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}\오른쪽)=\det \def(\mathbf {W}^{-1}+\mathbf {V}^{\textsf{T}\mathbf {A}^{-1}\mathbf {U} \right)\det \deft(\mathbf {A} \right)\det.}$

참고 항목

• (A + uv^T)를⁻¹ 얻기 위해 역, A를 업데이트하는 방법을 보여주는 셔먼-모리슨 공식.⁻¹
• (A + UCV^T)를 얻기 위해 역, A를⁻¹ 업데이트하는 방법을 보여주는 Woodbury 공식.⁻¹
• (A + UCV^T)에 대한 이항 역 정리.⁻¹

참조