일반화 카-무디 대수

수학에서 일반화된 Kac-Moody 대수학은 상상적인 단순한 뿌리를 가질 수 있다는 점을 제외하면 Kac-Moody 대수학과 유사한 Lie 대수학이다.일반화된 Kac-Moody 알헤브라는 GKM 알헤브라스, 보처드-Kac-Moody 알헤브라스, BKM 알헤브라스 또는 보처드 알헤브라스라고도 불린다.가장 잘 알려진 예는 괴물 리 대수학이다.

동기

유한차원 반시 구현 리알헤브라는 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

• 그들은 비degenergenate 대칭 불변성 이선형(,)을 가지고 있다.
• 그들은 0도 조각(카르탄 아발지브라)이 아벨리안일 정도로 등급이 매겨져 있다.
• 그들은 (카탄) 비자발성을 가지고 있다.
• (a, w(a)는 a가 0이 아닌 경우 양의 값이다.

예를 들어, 추적 0의 n 행렬에 의한 n의 알헤브라의 경우, 이린형태는 (a, b) = 트레이스(ab)이고, 카르탄 비자발성은 전치(transpose)를 뺀 값으로 주어지며, 등급은 "대각선으로부터의 거리"로 부여하여 카르탄 아발헤브라가 대각선 원소가 되도록 할 수 있다.

반대로 이러한 성질을 가진 모든 리 알헤브라를 찾으려고 노력할 수 있다(그리고 몇 가지 다른 기술적 조건을 만족시킨다).답은 유한한 차원의 리알헤브라를 얻는다는 것이다.

몬스터 리 대수학은 위 조건들의 약간 약한 버전을 만족시킨다: (a, w(a)는 a가 0이 아닌 경우 양이고 0도가 아닌 경우 양이지만, a가 0이 있는 경우 음이 될 수 있다.이러한 약한 조건을 만족하는 리 알헤브라는 다소 일반화된 Kac-Moody 알헤브라스다.그것들은 본질적으로 특정 발전기와 관계에 의해 주어지는 알헤브라와 같다(아래 설명 참조).

비공식적으로 일반화된 Kac-Moody Algebras는 유한차원 semisimple Lie Algebras처럼 행동하는 Li Algebras이다.특히 그들은 Weyl 그룹, Weyl 캐릭터 공식, Cartan 하위 골지브라, 뿌리, 웨이트 등을 가지고 있다.

정의

대칭 카르탄 행렬은 (무한한) 제곱 행렬로, 다음과 같은$$ 항목 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 사용한다.

• ${\displaystyle c_{ij}=c_{ji}\ }$
• ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\$ $i{\displaystyle j}$ j$${\$displaystyle i\neq$ j\$}$인 경우$$
• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$/ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle 2c_{ij}/c_{ii}\}}$은(는) > ${\$이면 정수다$.$$\ }$

주어진 대칭화된 카르탄 행렬을 가진 보편적 일반화된 Kac-Moody 대수학 은 $발전기{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle f_{}}$ i ${\$ 및$$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$i}}}와$$ 관계에 의해 정의된다.

• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle h_{}}$ i $displaystyle [e_{i},f_{j}]=h_{i}\ }$ $i$ = ${\displaystyle j}$ ${\displaysty i=j$ 다른 경우 0
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, e ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= c ${\displaystyle i_{}}$ e ${\displaystyle j_{}}$ $displaystyle [h_{i},e_{j}]=c_{ij}e_{j}\},$$$[${\displaystyle h_{}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{f}_{}]}$ = - ${\displaystyle c_{}}$ i j ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}${${\displaystyle j_{}}$} = c j f {$nowstyle [h_},f_{j}]=-{ij}$f_${j}\}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
• $displaystyle [e_{$$=[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]=0\ }$ for ${\displaystyle 1-2c_{ij}/c_{ii}\ }$ applications of ${\displaystyle e_{i}\ }$ or ${\displaystyle f_{i}\ }$ if ${\displaystyle c_{ii}>0\ }$
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ e ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\$ 만약$$ ${\displaystyle {\mathrm{cij}}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\$. {\displaystyj}=${\displaystyle 0}$$.$$\ }$

이는 주로 카르탄 행렬의 대각선 입력을 비양성으로 허용함으로써 (대칭성) Kac-Moody 대수학의 관계와 다르다.즉, 우리는 단순한 뿌리가 상상이 되도록 허용하는 반면, Kac-Moody 대수학에서는 단순한 뿌리가 항상 진짜인 것이다.

일반화된 Kac-Moody 대수학은 카르탄 행렬을 변경하거나 중앙에서 무언가를 죽이는 연산을 하거나 중앙 확장자를 취하거나 외부 유래를 추가함으로써 보편적인 것으로부터 얻는다.

일부 저자들은 카르탄 행렬이 대칭이어야 한다는 조건을 제거함으로써 보다 일반적인 정의를 제시한다.이러한 비대칭성 일반화된 Kac-Moody Algebras에 대해서는 별로 알려져 있지 않으며, 흥미로운 예는 없는 것 같다.

또한 이 정의를 슈퍼알제브라까지 확장하는 것도 가능하다.

구조

일반화된 Kac-Moody 대수학에서는 e도_i 1, f도_i -1, h도_i 0을 주어 등급을 매길 수 있다.

0도 조각은 원소 h에_i 의해 확장된 아벨리안 아발지브라로, 카르탄 아발지브라라고 불린다.

특성.

일반화된 Kac-Moody Algebras의 대부분의 특성은 (대칭성) Kac-Moody Algebras의 일반적인 특성의 직접적인 확장이다.

• 일반화된 Kac-Moody 대수학에는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (e_{i},f_{i}=1}$과 같은 불변 대칭 이선형 형태가 있다$.$
• 상상의 단순한 뿌리에 대한 보정 용어를 가지고 있다는 점을 제외하면 Kac-Moody Algebras의 Weyl-Kac 문자 공식과 유사하게 최고 중량 모듈의 문자 공식도 있다.

예

가장 일반화된 Kac-Moody Algebras는 뚜렷한 특징이 없는 것으로 생각된다.흥미로운 것은 세 가지 유형이다.

• 유한차원의 반시 구현 리 알헤브라스
• 아핀 칵-무디 알헤브라스
• 분모 함수가 단수 중량의 자동 형태인 로렌츠 카탄 하위 분지브라와 함께 알헤브라스.

세 번째 유형의 예는 한정된 숫자로만 나타난다.두 가지 예로는 괴물 집단이 작용하여 괴물 월광 추측에 쓰이는 괴물 리 대수학, 가짜 괴물 리 대수학 등이 있다.다른 산발적인 단순 집단들과 관련된 유사한 예들이 있다.

일반화된 Kac-Moody Algebras의 많은 예를 일반화된 Kac-Moody 대수학처럼 보이는 것은 모두 일반화된 Kac-Moody 대수학이다.더 정확히 말하면, Lie 대수학에서 로렌츠 격자식으로 등급이 매겨지고 불변형 이린형태를 가지고 있고 쉽게 확인되는 몇 가지 다른 기술적 조건을 만족시킨다면, 그것은 일반화된 Kac-Moody 대수학이다.특히 어떤 격자에서도 정점 알제브라를 사용하여 Lie 대수학을 구성할 수 있다.격자가 양수라면 유한차원 반실행 리 대수학, 양수 세미데핀이면 아핀 리 대수학, 로렌츠라면 위의 조건을 만족하는 대수학, 그러므로 일반화된 Kac-Moody 대수학이다.격자가 짝수 26차원 단변형 로렌츠 격자일 때, 구조는 가짜 괴물 리 대수학을 준다; 다른 모든 로렌츠 격자는 흥미 없는 알헤브라를 주는 것처럼 보인다.

참조

• Kac, Victor G. (1994). Infinite dimensional Lie algebras (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8.
• Wakimoto, Minoru (2001). Infinite dimensional Lie algebras. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2654-9.
• Ray, Urmie (2006). Automorphic Forms and Lie Superalgebras. Dordrecht: Springer. ISBN 1-4020-5009-7.