윌모어 추측

미분 기하학에서 윌모어 추측은 토러스(torus)의 윌모어 에너지에 대한 하한선이다.1965년 추측한 영국의 수학자 톰 윌모어의 이름을 따서 지은 것이다.^[2]페르난도 코다 마르키스와 안드레 네베스의 증명서는 2012년에 발표되었고 2014년에 출판되었다.^[1][3]

윌모어 에너지

v : M → R을³ 콤팩트하고 방향감 있는 표면의 매끄러운 잠수가 되도록 한다.v에 의해 유도된 리만니아계 지표를 M에 부여하면 H : M → R을 평균 곡률(각 지점에서 주곡선의 산술 평균 κ과₁ κ₂)이 되게 한다.이 표기법에서 M의 Willmore 에너지 W(M)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.}$

M이 내장형 원형구인 경우에만 평등하게 W(M) ≥ 4π을 만족한다는 것을 윌모어 에너지가 증명하는 것은 어렵지 않다.

성명서

몇 가지 예에 대해 W(M)를 계산하면 g(M)가 0이 넘는 표면에는 W(M) ≥ 4π보다 더 좋은 구속이 있어야 한다는 것을 알 수 있다.특히 다양한 대칭이 있는 토리의 W(M)를 계산하면 1965년에 윌모어가 다음과 같은 추측을 하게 되는데, 이 억측에는 이제 그의 이름이 적혀 있다.

매끄럽게³ R에 담근 토러스 M의 경우, W(M) π² 2π.

1982년, 피터 웨이-쿵 리와 신퉁 야우는 비임상 사례에서 추측을 증명하여 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$\Sigma \to S^{3}}$은(는) 임베딩이 아닌 콤팩트한 표면을 담근 것으로 W(M)는 최소 8㎛이다.^[4]

2012년 페르난도 코다 마르키스와 안드레 네베스는 최소 표면의 알그렌-피츠 최소-최대 이론을 사용하여 임베디드 케이스에서 추측을 증명했다.^[3][1]마틴 슈미트는 2002년에 증거를 주장했지만,^[5] 동료가 검토한 어떤 수학 학술지에 발표하기 위해 받아들여지지 않았다(윌모어 추측에 대한 증거를 포함하지는 않았지만, 그는 그 안에 몇 가지 다른 중요한 추측들을 증명했다).마키스와 네베스의 입증 이전에 윌모어 추측은 튜브토리(윌모어 본인에 의해), 혁명의 토리(랜저 앤 싱어)와 같은 많은 특수한 경우에 대해 이미 증명된 바 있었다.^[6]

참조