비만-발리론 이론

위만-발리론 이론은 앤더스 위만이 임의의 전체 함수의 동작을 연구하는 도구로 발명한 수학 이론이다.위만의 연구 이후, 이 이론은 다른 수학자들에 의해 개발되었고, 보다 일반적인 분석 함수 클래스로 확장되었다.이 이론의 주요 결과는 이 함수의 최대 계수가 달성되는 지점 근처의 함수와 그 도함수에 대한 점근 공식이다.

최대항 및 중심지수

정의상 전체 기능은 모든 $복잡한{\displaystyle }$ z$\displaystyle$z에$$대해 수렴되는 멱급수로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.}$

이 시리즈의 항은 n ${\displaystyle \to }$ $∞$ { $displaystyle$ n$\to$ \infty $\}$인 경향이 있으므로 각 z ${\displaystyle$ z$}$에는 최대 계수$$ 항이 있습니다.이 용어는 r : ${\displaystyle =}{\displaystyle z}$ {$style$ r: =$z$에 따라 달라집니다. 계수를 시리즈의 최대 항이라고 합니다.

$\displaystyle \mu (r,f)=\max _{k} a_{k} r^{k}=: a_{n} r^{n},\display r\geq 0.}$

$여기$서 n$${\$displaystyle$n}은$$ 최대값에 도달한 지수입니다. 여러 개의 최대값이 있는 경우 n$${\$displaystyle$ n$}$을 그 중 가장 큰 $지수$로 정의합니다.이 $숫자{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$은 r$(\$$displaystyle$ r$)$에 의존하며 n$r, f)$으로 $나타내며{\displaystyle }$ 중앙 인덱스라고 합니다.

허락하다

$\displaystyle M(r,f)=\max\{ f(z): z \leq r\}$

함수$f$의 최대 계수이다. Cauchy의 부등식은 모든 $r{\displaystyle 0}$0$${ $displaystyle$ $\mu (r,f)\leq$ $M$$(r,f)}$에 대해${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ,}$f )$$ ${\displaystyle M}$( r${\displaystyle }$, f ) { displaystyle$$r \ $\}$을 의미합니다.$역추정{\displaystyle }$M (${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle f}$ ) ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle \mu }$ ( ${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle f{}^{}}$)${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ + ${\$ ( \ $displaystyle$M ($r$ , $f$)\$leq$( \$mu$ ( r , $f$)^$1$+ \ $epsilon }$ )는$$ Borel에 의해 최초로 증명되었으며 Wiman에 의한 보다 정확한 추정치는 다음과 같다.

${{displaystyle M(r,f)\leq \mu (r,f)\left(\log \mu (r,f)\right)^{1/2+\epsilon }}$

모든 >0 {\$displaystyle \silon$> $0}$에 대해 이 부등식이 유지되는 r$${\$displaystyle$ r$}$의 $임의$의 큰 값이 존재한다는 점에서.실제로 Valiron은 위의 관계가 r$\displaystyle$$r$의 "대부분" 값에 대해 유지된다는 것을 보여주었습니다. 즉$,$ r\$displaystyle$에는 유한한 로그 측정값이 있습니다.

$\displaystyle \int _{E}{\frac {dr}{r}}<\infty .}$

이러한 불평등의 개선은 20세기에 많은 연구의 대상이 되었다.^[2]

주요 점근 공식은

위만[3]의 다음과 같은 결과 다양한 애플리케이션에:자 근본적인 것은 zr{\displaystyle z_{r}}그 시점에 최대 정의의 M(r, f){M(r,f)\displaystyle}이 이루어지;에 의해 최대 원리 우리가 가진 zr)r(=r}. 그것은으로는 f(z). {\d$isplaystyle$ f$(z)}$는 단항식처럼 z$$ {\$displaystyle z_{$r$$} 지점 근처에서 동작합니다$.$r {\$displaystyle$ r$}$에는 임의의 큰 값이 있으므로 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f(z)=(1+o(1)\leftfrac\frac{z_{r}}\right)^{n(r,f)}f(z_{r}),}$

디스크에 보관 유지

$\displaystyle z-z_{r} <{\frac {r}{\left(n(r)\right)^{1/2+\ilon }}}.}$

서 $(\displaystyle \silon$> $0)$은 임의의 양수이며, o(1)는 r ${\displaystyle \to \mathrm{、}}$ ${\displaystyle r}$ $（\displaystyle$r \$to$\infty $;r \not \in$ E$）$를 $나타냅니다{\displaystyle }$.$여기$서 E$(\displaystyle$E)는$$ 위에서 설명한 예외 세트입니다.이 디스크는 보통 Wiman-Valiron 디스크라고 불립니다.

적용들

${\displaystyle z_{}}$ r$(\$$})$ $근방$의$$z(\$displaystyle$ z$)$에 $대한{\displaystyle }$ f$z)$ {$displaystyle$ f$(z)}$ 공식은$$ 미분할 수 있으므로 점근 관계를 갖는다.

${\displaystyle f^{(m)}(z)=(1+o(1))\leftflac\frac{n(r)}{z}}\right)^{m}\frac {r}{z_{r}}\right)^{n(r)}f(z_{r}).}$

이것은 미분방정식의 전체 해를 연구하는 데 유용합니다.

또 다른 중요한 적용에 r1{\displaystyle r_{1}}과 r2/r1{\displaystyle r_{2}{1}}arbitrar가 Wiman-Valiron 디스크의 이미지}은" 큰"annulus({z:r1<>z<>r2}{\displaystyle\와 같이{z:r_{1}<, z<>r_{2}\}가 들어 있다는 것을 알아채Valiron[4]때문이다.ily) 큰.이것은 전체 함수의 역분지를 정의할 수 있는 평면에 임의로 큰 원반이 있다는 발리론의 중요한 정리를 암시합니다.이 진술의 양적 버전은 블로흐 정리라고 알려져 있다.

발리론의 이 정리는 전체 함수의 탈출 집합이 비어 있지 않다는 사실을 증명하는 데 사용된다.

차후 개발

1938년 매킨타이어는^[5] 이 이론에서 중심 지수와 멱급수 자체를 제거할 수 있다는 것을 발견했다.매킨타이어는 중앙지수를 수량으로 대체했다.

${{displaystyle a(r,f):=r(r,f)}{M(r,f)}}$

그리고 그 형태에서 주요 관계를 증명했다.

${\displaystyle f^{(m)}(z)=(1+o(1))\leftfac\frac{a(r,f)}{z}}\right)^{m}\left\frac {z}{z_{r}}\right)^{a(r,f)}f(z_{r})\filon{mbox{for}\req {r}{(a(r,f)}^2/2+\eilon}}}}.}$

이 문장은 멱급수를 언급하지 않지만$,$ f\$displaystyle$f가$$ $전체$라는 가정은 Macintyre에 의해 사용되었습니다.

마지막 일반화 Bergweiler, 리폰과 Stallard[6]은 유일한 가정 아래 f(z){\displaystyle f(z)}이 관계마다 무한한 해석 함수 f{\displaystyle f} 임의의 무한한 지역 D{D\displaystyle}의 복잡한 비행기에 정의된, 그리고 나서 보여 준 일을 달성했다. 는bounded $for{\displaystyle }$ z${\displaystyle d\mathrm{}}$D$${ $style$z \ $in$\ $partial$ D$$}$$。이 일반화를 가능하게 하는 주요 스테이트먼트는 $예외적$이지 않은 모든 r$${\$displaystyle$ r$\}$에 대해 실제로 Wiman-Valiron 디스크가$$D {\$displaystyle$ D$}$에 포함되어 있다는 것입니다.

레퍼런스