이스케이프 세트

수학, 특히 복잡한 역학에서 전체 함수 ƒ의 탈출 세트는 ƒ의 반복적인 적용에 따라 무한에 경향이 있는 모든 점들로 구성된다.^[1]즉, $\$${\displaystyle {mathb}_{}}$${C}$의 복잡한 숫자 z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$in$$\mathb {C}은(는) $z{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ ${\displaystyle ({}_{}{n}_{}}$ )$${\$displaysty z_{n+1}:=f(z_{n})}$에 의해 정의된 시퀀스가 n$${\$displaysty n}$이 커짐에 따라 무한대로 수렴되는$$ 경우에만 이스케이프팅 세트에 속하게$$ 된다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f}의$이스케이프$ 세트는 $I{\displaystyle (f}$) ${\displaystyle I(f)}$로 표시된다$.$^[1]

예를 들어, $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 경우$,$ 시퀀스 이후 원점은 이스케이프 세트에 속한다.

${\displaystyle 0,1,e,e^{e},e^{e^{e},\message }$

무한의 경향이 있다

역사

초월적 $전체$ 기능의 반복은 ${\displaystyle \mathrm{1926년}}$에^[2] Pierre Fatou에 의해 처음 연구되었다 탈출 세트는 명시적 전체 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= z${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle z}$) ${\$$displaysty$ f$(z)=z+$1+\$exp(-z)}$ 및 $f$ (${\displaystyle z}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$($z)$에 대한 연구에서 암묵적으로 일어난다$.$

일반 초월 기능 전체를 위한 탈출 세트에 대한 첫 번째 연구는 위만-발리론 이론을 사용한 알렉상드르 에레멘코 때문이다.^[3]그는 탈출하는 세트의 모든 연결 요소들이 초월적인 전체 함수의 무한하다고 추측했다.이것은 에레멘코의 추측으로 알려지게 되었다.^[1][4]이 문제에 대한 많은 부분적인 결과들이 있지만 2013년 현재 그 추측은 여전히 열려있다.

에레멘코는 또한 모든 탈출 지점이 탈출 세트에서 커브에 의해 무한대로 연결될 수 있는지를 물었다; 이것은 나중에 사실이 아니라는 것이 밝혀졌다.실제로 탈출 세트에 곡선이 전혀 없는 전체 기능이 존재한다.^[4]

특성.

다음 특성은 비정규적 및 비선형 전체 함수의 탈출 집합에 대해 유지되는 것으로 알려져 있다.(여기서 비선형적인 의미는 $함수$가 f${\displaystyle }$(${\displaystyle z}$) =${\displaystyle z}$ + ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(z)=az+b}$ 형식이 아님을 의미한다.)$$

• 탈출 세트에는 적어도 한 점이 들어 있다.^[a]
• 탈출 세트의 경계는 정확히 줄리아 세트다.^[b]특히 탈출 세트는 절대 닫히지 않는다.
• 초월적인 전체 기능을 위해 탈출 세트는 항상 줄리아 세트와 교차한다.^[c]특히 탈출 세트는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 다항식인 경우에만 개방된다.
• 탈출 세트 폐쇄의 연결된 모든 구성요소는 바인딩되지 않는다.^[d]
• 이스케이프 세트에는 항상 하나 이상의 무한 연결 구성 요소가 있다.^[1]
• 탈출 세트는 연결되거나 무한히 많은 구성 요소를 가지고 있다.^[5]
• 세트 $I{\displaystyle }$(${\displaystyle f\mathrm{)\{\{\{\backslash }}$infit$$\}{\$displaystyle$ I$(f)\cup \}}}$이(가) 연결되어$$ 있다.^[5]

최종 진술이 에레멘코의 추측을 암시하는 것은 아니라는 점에 유의한다. (사실, 단일 분산점을 제거하면 남은 공간이 완전히 분리되는 연결된 공간이 존재한다.)

예

다항식

도 2의 다항식은 리만 구체의 분석적 자기 지도까지 확장되며, 무한대에 초매력 고정점을 갖는다.탈출 세트는 정확히 이 고정점의 끌어당김의 분지로서, 따라서 보통 무한대의 **basin*이라고 한다.이 경우 $I{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle I(f)}$은 복잡한 평면의 개방되고 연결된 부분집합이며$$, 줄리아 집합은 이 분지의 경계선이다.

예를 들어 복합 ${\displaystyle \mathrm{2차}}$ 다항식 $f{\displaystyle (}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$개의 탈출 세트는 닫힌 단위 디스크의 보완으로 정밀하게 구성된다$$.

$\displaystyle I(f)=\{z\in \mathb {C} \colon z >1\}$

전체 함수를 초월

전체 기능을 초월하는 경우, 탈출 세트는 다항식보다 훨씬 더 복잡하다. 그림에서 묘사된 것과 같은 가장 단순한 경우에서 그것은 머리카락이나 광선이라고 불리는 헤아릴 수 없이 많은 곡선으로 구성된다.다른 예에서는 탈출 세트의 구조가 매우 다를 수 있다(거미의 거미줄).^[6]위에서 언급한 바와 같이 탈출 세트에 곡선이 없는 전체 함수를 초월하는 예가 있다.^[4]

정의에 따르면 탈출 세트는 FσΔ 세트, 즉 Fσ 세트의 계수 가능한 교차점이다.Δ도 F도 아니다.^[7]

참고 항목

• 조건이나 구제금융을 면하다.
• 목표 집합

메모들

참조

외부 링크

• Lasse Rempe. "A poem on Eremenko conjecture".