웨이터 프리젠테이션

In mathematics, especially in group theory, a Wirtinger presentation is a finite presentation where the relations are of the form ${\displaystyle wg_{i}w^{-1}=g_{j}}$ where ${\displaystyle w}$ is a word in the generators, ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{$$K}\}}$ 빌헬름$$ 웨터링거는 3-공간에서 매듭의 보완은 이러한 형태의 프레젠테이션과 함께 근본적인 그룹을 가지고 있다는 것을 관찰했다.

예단 및 정의

매듭 K는 3차원 공간 R에³ 1-sphere S를¹ 내장한 것이다. (대안적으로 주변 공간도 3-sphere³ S로 간주할 수 있으며, 이는 Watteringer 프레젠테이션의 목적상 차이가 없다.)매듭의 보완체인 오픈 서브스페이스 S ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$ S$^{3}\setminus K}$가 매듭보완이다.그것의 기본 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S}$ 3 ${\displaystyle {}^{}}$ K${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$은 등가 매듭이 이형성 매듭 그룹을 가지고 있다는 점에서 매듭의 불변성이다.그러므로 접근 가능한 방법으로 이 그룹을 이해하는 것은 흥미롭다.

웨이팅어 프리젠테이션은 지향적인 매듭의 규칙적인 투영에서 도출된다.그러한 투영은 투영의 교차점에 의해 분리되어 평면에서 유한한 수의 (방향) 호로 그려질 수 있다.기본 그룹은 각 호를 감는 루프에 의해 생성된다.각각의 건널목은 건널목에서 호들이 만나는 것에 해당하는 발전기들 사이에서 일정한 관계를 형성한다.

고차원 노트의 Watter 프레젠테이션

보다 일반적으로 구면 2노트의 공차원에서는 Watheringer 프레젠테이션이 있는 것으로 알려져 있다.Michel Kervaire는 다음과 같은 조건이 모두 충족되는 경우에만 추상적인 그룹이 (아마도 고차원적인 구체에서) 매듭 외관의 기본 그룹이라는 것을 증명했다.

1. 집단의 아벨리안화는 정수다.
2. 그 집단의 두 번째 호몰이들은 하찮은 것이다.
3. 그 그룹은 아주 훌륭하게 출품되어 있다.
4. 그 그룹은 단일 발전기의 정상적인 폐쇄다.

조건 (3)과 (4)는 기본적으로 Watheringer 표시 조건이며, 재작성된다.케르베르는 5차원 이상에서 위의 조건이 필요하고 충분하다는 것을 증명했다.차원 4에서 매듭 그룹을 특징짓는 것은 공공연한 문제다.

예

Trefoil 매듭의 경우 Watinger 프레젠테이션은 다음과 같이 보여질 수 있다.

${\displaystyle \pi _{1}(\mathb {R}^{3}\백슬래시 {\text{trefoil}})=\langle x,y\mid yxy=xyx\angle .}$

참고 항목

• 매듭군

추가 읽기

• Rolfsen, Dale (1990), Knots and links, Mathematics Lecture Series, vol. 7, Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-16-4, 섹션 3D
• Kawauchi, Akio (1996), A survey of knot theory, Birkhäuser, doi:10.1007/978-3-0348-9227-8, ISBN 978-3-0348-9953-6
• Hillman, Jonathan (2012), Algebraic invariants of links, Series on Knots and Everything, vol. 52, World Scientific, doi:10.1142/9789814407397, ISBN 9789814407397
• Livingston, Charles (1993), Knot Theory, The Mathematical Association of America