정류자 부분군

수학에서, 더 구체적으로 추상대수학에서, 그룹의 정류자 부분군 또는 파생된 부분군은 그룹의 모든 정류자에 의해 생성된 부분군이다.^[1]^[2]

정류자 부분군은 이 부분군에 의해 원래 그룹의 몫 그룹이 아벨리안일 정도로 가장 작은 정규 부분군이기 때문에 중요하다.즉, $G/N$ / $G/N$ ${\displaystyle$ $G$ $/N$ $}$ 이(가) $G$ $G$ 의 정류자 하위 그룹을 포함할 $N$ 경우에만 아벨리안이다 $G/N$ $G$ 따라서 어떤 의미에서는 그룹이 아벨리안으로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지 측정한다. 즉, 정류자 하위 그룹이 클수록 그 그룹은 "덜 아벨리안"이다.

정류자

그룹 G의 요소 $h$ $g$ $g$ $및$ h $g$ ${\displaystyle$ $h$ $}$ 에 대해 $g$ $g$ 및 $h$ ${\displaysty$ h $}$ 의 정류자는 $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ [ $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ = $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ - $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ - 1 $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ ${\displaystyle$ [ $g,h]=g^{-1}h$ gh}gh}gh $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ 정류자 $[g,h]$ [ $[g,h]$ , $[g,h]$ $[g,h]$ $[g,h]$ 은(는) ID 요소와 동일하며 $[g,h]$ , $gh=hg$ $gh=hg$ = $gh=hg$ $gh=hg$ $gh=hg$ 인 경우, $즉$ g {\ $displaystyle g}$ $h$ h ${\displaysty h}$ 가 통근하는 $h$ 경우에만 해당된다.일반적으로 $gh=hg[g,h]$ $gh=hg[g,h]$ = $gh=hg[g,h]$ $gh=hg[g,h]$ [ $gh=hg[g,h]$ $gh=hg[g,h]$ $gh=hg[g,h]$ ${\displaystyle gh=hg[g,h$

However, the notation is somewhat arbitrary and there is a non-equivalent variant definition for the commutator that has the inverses on the right hand side of the equation: $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ in which case $gh\neq hg[g,h]$ but instead $gh=[g,h]hg$ $gh=[g,h]hg$ $gh=[g,h]hg$ , $gh=[g,h]hg$ $gh=[g,h]hg$ $gh=[g,h]hg$ $gh=[g,h]hg$ ${\displaystyle gh=[g,h]hg$

일부 g와 h에 대해 $[g,h]$ [ $[g,h]$ , $[g,h]$ $[g,h]$ $[g,h]$ 형태의 G의 원소를 정류자라 한다.아이덴티티 요소 e = [e,e]는 항상 정류자(commutator)이며, G가 아벨리안일 경우에만 정류자(commutator)이다.

다음은 그룹 G의 모든 요소 s, g, h에 대해 참된 간단하지만 유용한 정류자 ID:

$[g,h]^{-1}=[h,g],$
$[g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],$ where $g^{s}=s^{-1}gs$ (or, respectively, $g^{s}=sgs^{-1}$ ) is the conjugate of $g$ by $s,$
모든 동형상 $f:G\to H$ : $f:G\to H$ → H ${\displaystyle f:$ $G\to$ H $f:G\to H$ $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ ( $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ [ g $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ , $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ ) $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ = $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ [ $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ ( g $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ ) $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ , $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ ( h ) $f([g,h])=[f(g),f(h)].$ . ${\displaystyle$ f $([g,$ ),f $(h)].$ $}$

첫 번째와 두 번째 정체성은 G의 정류자 집합이 반전 및 결합 하에서 닫힌다는 것을 의미한다.만약 우리가 세 번째 정체성에서 H = G를 취한다면, 우리는 G의 어떤 내형성에서도 정류자 집합이 안정적이라는 것을 알게 된다.이것은 사실 두 번째 정체성의 일반화인데, 우리가 F를 G $x\mapsto x^{s}$ $x\mapsto x^{s}$ $x\mapsto x^{s}$ $x\mapsto x^{s}$ s ${\$ x $\mapsto x^{s}$ 의 결합 자동화로 가져갈 수 있기 때문이다.

그러나 둘 이상의 정류자의 제품은 정류자가 될 필요가 없다.일반적인 예는 a,b,c,d의 자유 그룹에서 [a,b][c,d]이다.제품이 정류자가 아닌 두 개의 정류자가 존재하는 유한집단의 최소 순서는 96인 것으로 알려져 있다. 실제로 이 속성에는 96개의 비이형적 순서가 있다.^[3]

정의

이는 정류자 서브그룹 $[G,G]$ [ $[G,G]$ , $[G,G]$ $[G,G]$ ${\displaystyle [G,G]}($ 유형 서브그룹이라고도 하며 G $'$ ${\$ 또는 $G'$ $G^{(1)}$ ( $G^{(1)}$ ) ${\$ 의 정의에 동기를 부여한다: 모든 정류자가 생성하는 서브그룹이다.

$[G,G]$ , $[G,G]$ $[G,G]$ $[G,G]$ 의 모든 요소가 형식이라는 $[G,G]$ 것은 정류자의 속성에서 따온 것이다.

[g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]

일부 자연수 $n$ $n$ 에 대해 $n$ 여기서 $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ 와_i h는_i $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ 의 요소다. 더욱이 $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ = $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ [ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ s $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ s $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ = [ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ h $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ s ] $]$ [ ${1}h_{1}]\cdots [g_{n}, h_n}}}}.$ $^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}],\cdots[g_{n}^{s}, h_{n}^{s$ 정류자 하위 그룹은 G에서 정상이다.모든 동형상 f: G → H,

f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]

,

$f([G,G])\leq [H,H]$ f $f([G,G])\leq [H,H]$ ( $f([G,G])\leq [H,H]$ [ $f([G,G])\leq [H,H]$ , $f([G,G])\leq [H,H]$ $f([G,G])\leq [H,H]$ ) $f([G,G])\leq [H,H]$ [ H $f([G,G])\leq [H,H]$ , $f([G,G])\leq [H,H]$ $f([G,G])\leq [H,H]$ ${\displaystyle f([G,G]])\leq [H,H$

이것은 쉼표 하위 그룹이 그룹 범주에 대한 functor로 볼 수 있다는 것을 보여주며, 아래에 설명되어 있는 몇 가지 함축적 의미를 보여준다.또한 G = H를 취하면 G의 모든 내형성 하에서 정류자 부분군이 안정적이라는 것을 알 수 있다. 즉, [G,G]는 G의 완전 특성 부분군이며, 정규성보다 상당히 강한 성질이다.

정류자 부분군은 제품 g = g₁₂ ...g로_k 표현식을 갖는 그룹의 요소 g 집합으로 정의될 수 있으며, 이를 다시 배열하여 ID를 제공할 수 있다.

파생계열

이 구조는 다음과 같이 반복할 수 있다.

G^{(0):=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N}}

$G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ ( $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ ) $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ , $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ ( 3 $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ ) $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ , $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ … $G^{(2)}, G^{(3)},\ldots$ 그룹을 두 번째 파생 부분군, 세 번째 파생 부분군 등으로 부르고 $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ , 내림차 정규 시리즈라고 한다.

\displaystyle \cdots \triangleleleft G^{(2)}\triangleft G^{(1)\triangleft G^{(0)=G}

파생된 시리즈라고 불린다.이는 G:=({\displaystyle G_{n}[G_{n-1}G]}인 하부 중앙 영상 시리즈와 혼동해서는 안 된다.

유한집단의 경우 파생된 시리즈는 사소한 것일 수도 있고 아닐 수도 있는 완벽한 그룹에서 종료된다.무한 그룹의 경우, 파생된 시리즈는 유한 단계에서 종료할 필요가 없으며, 트랜스피니트 재귀성을 통해 무한 서수 번호로 계속 진행할 수 있으며, 따라서 트랜스피니트 파생 시리즈를 얻을 수 있으며, 이는 결국 그룹의 완벽한 핵심에서 종료된다.

아벨리아화

그룹 $G$ $G$ 을(를) 지정하면 $G$ 지수 $G/N$ $G/N$ / N ${\displaystyle$ G $/N}$ 은 $[G,G]\leq N$ 는) [ $[G,G]\leq N$ $[G,G]\leq N$ $[G,G]\leq N$ $[G,G]\leq N$ $[G,G]\leq N$ ${\displaystyle [G,G]\leq$ N $}$ 인 경우에만 아벨리안이다 $G/N$ $[G,G]\leq N$

지수 $G/[G,G]$ / $G/[G,G]$ [ $G/[G,G]$ , $G/[G,G]$ $G/[G,G]$ $G/[G,G]$ 은 아벨리안을 만든 $G$ $G$ $G$ 또는 $G$ G ${\displaysty G}$ 의 아벨리안화라고 불리는 아벨리안 그룹이다 $G/[G,G]$ .^[4]보통 $G^{\operatorname {ab} }$ ${\$ 또는 $G^{\operatorname {ab} }$ $G_{\operatorname {ab} }$ $G_{\operatorname {ab} }$ ${\$ 으로 표시된다 $G_{\operatorname {ab} }$

There is a useful categorical interpretation of the map $\varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }$ . Namely $\varphi$ is universal for homomorphisms from $G$ to an abelian group $H$ : for any abelian group $H$ $f:G\to H$ $f:G\to H$ : $f:G\to H$ → H $[\displaystyle f:$ $F:G^{\operatorname {ab} }\to H$ $\to H}$ 에는 $f:G\to H$ 고유한 동형상 $F:G^{\operatorname {ab} }\to H$ : $F:G^{\operatorname {ab} }\to H$ $F:G^{\operatorname {ab} }\to H$ → H ${\displaystyle F:$ $G^{\operatorname {ab} }\to H}$ such that $f=F\circ \varphi$ . As usual for objects defined by universal mapping properties, this shows the uniqueness of the abelianization $G^{\operatorname {ab} }$ up to canonical isomorphism, whereas the explicit construction $G\to G/[G,G]$ $[\displaystyle G\to G/[G,G]]}$ 은(는) 존재를 보여준다 $G\to G/[G,G]$ .

아벨리아화 펑터는 아벨리아 그룹의 범주에서 그룹 범주에 이르는 포함 펑터의 왼쪽 부호다.아벨리아화 펑터 Grp → Ab의 존재는 Ab 범주를 그룹 범주의 반사 하위 범주로 만들고, 포함 펑터가 왼쪽 부호를 갖는 완전한 하위 범주로 정의된다.

$G^{\operatorname {ab} }$ $G^{\operatorname {ab} }$ ${\$ $G$ $^{\operatorname{ab}}}}$ 의 또 다른 중요한 해석은 정수 계수를 $G$ G ${\displaystyle$ $H_{1}(G,\mathb {Z} )$ 의 첫 번째 호몰로지 $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ 그룹인 $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ 1 $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ , Z $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ )로 한다 $G^{\operatorname {ab} }$ .

그룹 클래스

그룹 $G$ $G$ 은(는) 파생 그룹이 사소한 경우에만 아벨 그룹이다 $G$ . [G,G] = {e}.동등하게, 그룹이 아벨리아화(abelianization)와 동일한 경우에만 해당된다.그룹의 아벨리아화 정의는 위 내용을 참조하라.

그룹 $G$ $G$ 은(는) 파생 그룹이 그룹 자체와 동일한 경우에만 완벽한 그룹이다 $G$ . [G,G] = G. 동등하게 그룹의 아벨리아화가 사소한 경우에만 해당된다.이것은 아벨리안에게 "반대"이다.

N의 일부 N에 $G^{(n)}=\{e\}$ G $G^{(n)}=\{e\}$ ( n $G^{(n)}=\{e\}$ ) $G^{(n)}=\{e\}$ = $G^{(n)}=\{e\}$ { e $G^{(n)}=\{e\}$ ${\displaystyle$ G $^{(n)}=\{e\}}}}}$ 을(를) 가진 그룹을 해결 가능한 그룹이라고 하는데, 이는 사례 n = 1인 아벨리안보다 약하다.

N의 모든 N에 $G^{(n)}\neq \{e\}$ G $G^{(n)}\neq \{e\}$ ( $G^{(n)}\neq \{e\}$ ) $G^{(n)}\neq \{e\}$ ≠ { $G^{(n)}\neq \{e\}$ $G^{(n)}\neq \{e\}}}$ 을(를) 가진 그룹을 해결 불가능한 그룹이라고 한다.

일부 서수( $G^{(\alpha )}=\{e\}$ )에 $G^{(\alpha )}=\{e\}$ G $G^{(\alpha )}=\{e\}$ (α ) $G^{(\alpha )}=\{e\}$ = $G^{(\alpha )}=\{e\}$ { $G^{(\alpha )}=\{e\}$ {\e $}$ {\ $displaystyle$ G $^{(\alpha )}=\{e\}}}$ 를 가진 그룹을 하아벨 그룹이라고 하는데, 이는 해결 가능한 것보다 약하며, 이는 α가 유한한 경우(자연수)이다.

퍼펙트 그룹

그룹 $G$ $G$ 이(가) $G^{(1)}=G$ ( $G^{(1)}=G$ ) $G^{(1)}=G$ = G ${\displaystyle$ G $^{(1)=G}$ 와 동일한 파생 하위 그룹을 가질 $G$ 때마다 완벽한 그룹이라고 부른다 $G^{(1)}=G$ 여기에는 고정 필드 $k$ $k$ 에 $\operatorname {SL} _{n}(k)$ 대한 특수 선형 그룹 SL $\operatorname {SL} _{n}(k)$ groups $($ ) {\ $displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ 이(가) 포함된다 $k$

예

어떤 아벨리안 집단의 정류자 하위 집단은 하찮은 것이다.
The commutator subgroup of the general linear group $\operatorname {GL} _{n}(k)$ over a field or a division ring k equals the special linear group $\operatorname {SL} _{n}(k)$ provided that $n\neq 2$ or k is not the field with two elements.^[5]
교류 그룹 A의₄ 정류자 하위 그룹은 클라인 4 그룹이다.
대칭 그룹 S의_n 정류자 하위 그룹은 교류 그룹 A이다_n.
쿼터니온 그룹 Q = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}의 정류자 하위 그룹은 [Q,Q] = {1, -1}이다.
경로연결 위상학 공간 X의 기본 그룹 group₁(X)의 정류자 부분군은 최초의 단일 동질학 그룹 H₁(X)에 대한 자연 동형성의 커널이다.

지도 출력

파생된 부분군이 특징적이기 때문에 G의 어떤 자동화도 아벨화 자동화를 유도한다.아벨리아화(Abelianization)는 아벨화(Abelian)이기 때문에, 내면의 자동화는 시시콜콜하게 작용하므로, 이것은 지도를 산출한다.

\operatorname {Out}(G)\to \operatorname {Aut}(G^{\mbox{ab})

참고 항목

해결 가능한 그룹
닐포텐트군
유한지수(G:H)의 부분군 H < G의 아벨리아화 H/H'는 아르틴 전이 T(G,H)의 대상이다.

메모들

^ Dummit & Foote(2004)
^ 랭 (2002)
^ 수아레스알바레스
^ 프랄리(1976, 페이지 108)
^ Suprunenko, D.A. (1976), Matrix groups, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 정리 II.9.4

참조

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-43334-9
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-95385-X
Suárez-Alvarez, Mariano. "Derived Subgroups and Commutators".

외부 링크

"Commutator subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Dummit & Foote(2004)

[2] 랭 (2002)

[3] 수아레스알바레스

[4] 프랄리(1976, 페이지 108)

[5] Suprunenko, D.A. (1976), Matrix groups, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 정리 II.9.4

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