옌의 정리

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확률론에서, 얀의 정리는 분리와 존재의 결과입니다.크렙스-얀 정리를 증명하기 위해 그것을 사용하는 것은 재정 수학에서 특히 관심이 있습니다.

그 정리는 Jia-An ^[1]Yan에 의해 출판되었습니다.그것은¹ L 공간에 대해 증명되었고 나중에 Jean-Pascal Ansel에 의해 1≤< +\ $displaystyle$ 1 \ $leq$ p < + \ $infty$ ^[2]로 일반화되었습니다.

옌의 정리

표기법:

${\$Omega$}}$은(는) $집합$ ${\displaystyle$ $\backslash$Omega}의 닫힘입니다.

${\displaystyle A}$- ${\displaystyle B}$ $=$ {${\displaystyle f}$-${\displaystyle g}$ : f ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle g}$ ∈ $}{displaystyle A-B$=\{$f-g:f\in$ A$,\;g\in$ B$\backslash \}\}.$

$({$는 A$({displaystyle$A$\})$의 지시 함수입니다.

${\displaystyle q}${\$displaystyle q}$는 p ${\displaystyle$p}의 $공액{\displaystyle }$ 지수입니다.

진술

$({\displaystyle \Delta ,}$ ${\displaystyle F,}$ P$$) \$displaystyle$(\$Omega, {\mathcal${F}, $P)}$를 확률 공간으로 , 1≤< + $≤$ \ \ $displaystyle$1\$leq$ p < + \ $infty }$ $및$ B$$+ {\$displaystyle$ B_${+}}$를 음이 아닌 유계 랜덤 변수의 공간으로 합니다.또한 K ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}{p}^{}}$ ( ${\displaystyle \mathrm{\omega },}$ ${\displaystyle F,P}$) {\$displaystyle$K\$subseteq L^{$p}(\Omega,${\mathcal {F$}, P$)}$를 볼록 부분 집합이고 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ∈ ${\displaystyle K}${\$displaystyle$ 0$\in$K$\}$라고 $합니다{\displaystyle }$.

그러면 다음 세 가지 조건이 동일합니다.

1. 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle \mathrm{\omega },}$ ${\displaystyle F,P}$) {\$displaystyle$ f$\in$ L_${+}^{p}(\Omega, {\$$mathcal$ {$F}, P)}$에 대해, ${\displaystyle \mathrm{f}}$가$$0인$$ ${\displaystyle c}$> cf $K$-${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ +$¯ {\displaystyle c>0$이 $존재$합니다.
2. P >({\$displaystyle$$$P$(A)$ > $0)$인 $모든{\displaystyle }$ A ${\displaystyle {}_{}}$$$ $\\in$ {\$mathcal$ {$F}}$에 대해 ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}K\stackrel{}{}}$ -${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ + $¯$ {{$displaystyle C>$$0$과 같은 c >이 존재합니다.A$}\in \in$ {{$K-B_{+}}}$이$($가) $아닙니다$.
3. Z$∈$ ${\displaystyle L^{}}$q {\$displaystyle Z\in$ L$^{$q$\}\}$ 의 $변수$가 존재하므로 Z > {\$displaystyle Z>$0은 거의 확실하고

Y [ < + $∞$ \$displaystyle \sup \limits$ _${Y\in$ K$}\mathbb {E}$ [$ZY]<+\infty$

문학.

• Yan, Jia-An (1980). "Caracterisation d' une Classe d'Ensembles Convexes de ${\displaystyle L^{1}}$ ou ${\displaystyle H^{1}}$". Séminaire de probabilités de Strasbourg. 14: 220–222.
• Freddy Delbaen과 Walter Schachermayer:차익거래의 수학(2005).스프링거 파이낸스

레퍼런스