영점 객체(알지브라)
Zero object (algebra) |
대수학에서, 주어진 대수적 구조의 제로 물체는, 아래에서 설명하는 의미에서, 그러한 구조의 가장 단순한 물체다.세트로서 싱글톤이며, 마그마로서 사소한 구조를 가지고 있는데, 이것도 아벨 그룹이다.앞서 언급한 아벨 그룹 구조는 대개 덧셈으로 식별되며, 유일한 원소는 0이라고 부르기 때문에 물체 자체는 일반적으로 {0}로 표시된다.모든 사소한 물건들이 (독특한 이형성 하에서) 다른 어떤 것에도 이형성이 있기 때문에 흔히 (특정 범주의) 사소한 물건을 가리킨다.
0 객체의 인스턴스에는 다음이 포함되지만 이에 국한되지는 않는다.
- 그룹으로서, 0 그룹 또는 사소한 그룹.
- 반지로서 제로 반지 또는 하찮은 반지.
- 한 분야에 대한 대수학이나 반지에 대한 대수학으로서, 사소한 대수학이다.
- 모듈로서(링 R 위에), 제로 모듈.사소한 G-모듈이 사소한 행동을 하는 G-모듈이기 때문에 애매할 수 있지만, 사소한 모듈이라는 용어도 사용된다.
- 벡터 공간으로서(필드 R 위에), 0 벡터 공간, 0차원 벡터 공간 또는 단지 0 공간.
이러한 개체들은 공통의 싱글톤과 사소한 그룹 구조에 기초할 뿐만 아니라 공유 카테고리 이론적 특성 때문에 공동으로 기술된다.
최근 세 가지 경우에 베이스 링(또는 필드)의 한 요소에 의한 스칼라 곱셈은 다음과 같이 정의된다.
- κ0 = 0, 여기서 κ R.
그중 가장 일반적인 0 모듈은 빈 생성 세트를 가지고 정밀하게 생성된 모듈이다.
사소한 고리와 같이 제로 객체 내부의 곱셈 구조가 필요한 구조물의 경우, 0이 아닌 원소가 없기 때문에 0 × 0 = 0 단 한 개만 가능하다.이 구조는 연상적이고 상통적이다.첨가물 및 승법적 정체성을 모두 갖는 링 R은 1 = 0인 경우에만 사소한 것이며, 이 동등성은 R 내의 모든 R에 대해,
이 경우, 단일 원소는 그 자체의 승법 역이므로 0으로 분열을 정의할 수 있다.{0}의 일부 속성은 정확한 승법 ID의 정의에 따라 달라진다. 아래 § Unital 구조를 참조하십시오.
어떤 사소한 대수학도 하찮은 고리다.한 분야에 걸친 사소한 대수학은 동시에 아래를 고려한 제로 벡터 공간이다.상호 작용 링 위에서, 사소한 대수학은 동시에 제로 모듈이다.
그 하찮은 반지는 정사각형 0의 rng의 예다.사소한 대수학은 제로 대수학의 한 예다.
0차원 벡터 공간은 특히 어디서나 볼 수 있는 제로 물체의 예로서, 빈 바탕이 있는 필드 위의 벡터 공간이다.따라서 차원 0이 있다.또한 덧셈보다는 사소한 집단이고, 위에서 언급한 사소한 모듈이다.
특성.
| 2↕ | = | [ ] | ‹0 | ||
| ↔ 1 | ^ 0 | ↔ 1 | |||
| 빈 열 벡터(가장 오른쪽)로 표기된 영공간의 원소는 2×0 빈 행렬을 곱하여 2차원 영 벡터(가장 왼쪽)를 얻는다.매트릭스 곱셈의 규칙은 존중된다. | |||||
사소함 링, 제로 모듈 및 제로 벡터 공간은 해당 범주의 제로 객체, 즉 Rng, R-Mod, Vector이다R.
0개체는 정의상 단자 객체여야 하며, 이는 형태론 A → {0}이(가) 존재해야 하며 임의의 객체 A에 대해 고유해야 함을 의미한다.이 형태론은 A의 어떤 요소도 0으로 지도화한다.
0개체는 정의상 초기 개체여야 하는데, 이는 형태론 {0} → A가 존재해야 하며 임의의 개체 A에 대해 고유해야 한다는 것을 의미한다.이 형태론은 {0}의 유일한 원소인 0을 벡터 공간에서 0 벡터라고 불리는 0 원소 0 ∈ A에 매핑한다.이 지도는 단동형이며, 따라서 그 이미지는 {0}에 이등형이다.모듈 및 벡터 공간의 경우 이 부분 집합 {0} ⊂ A는 각 모듈(또는 벡터 공간) A에서 유일하게 빈 상태로 생성된 하위 모듈(또는 0차원 선형 하위 공간)이다.
유니탈 구조
{0} 개체는 위에 예시된 바와 같이 그것이 존재하는 모든 대수 구조의 단자 객체다.그러나 그것의 존재와 그것이 존재한다면, 초기 물체(따라서 범주-이론적 의미에서의 0개 물체)가 되는 속성은 특정 구조에서 승법적 정체성 1의 정확한 정의에 따라 달라진다.
1의 정의에 1 ≠ 0이 필요한 경우 {0} 개체는 하나의 요소만 포함할 수 있기 때문에 존재할 수 없다.특히 제로링은 필드가 아니다.수학자들이 가끔 하나의 원소를 가진 분야를 이야기한다면, 이 추상적이고 다소 신비로운 수학적 물체는 하나의 분야가 아니다.
형태론에 의해 복수 정체성이 보존되어야 하지만 0과 같을 수 있는 범주에 {0} 개체가 존재할 수 있다.그러나 초기 개체로는 그렇지 않다. 왜냐하면 {0}부터 1 ≠ 0이 존재하지 않는 개체까지의 정체성 보존 형태.예를 들어, 링의 범주에서 정수 Z의 링은 {0}이(가) 아닌 초기 개체다.
대수적 구조가 승수적 정체성을 요구하지만 형태론이나 1 1 0에 의한 보존은 요구하지 않는 경우, 제로 형태론은 존재하며 상황은 앞의 절에서 고려한 비유니탈 구조와 다르지 않다.
표기법
벡터 공간 0과 모듈 0은 일반적으로 ({0} 대신) 0으로 표시된다.정확한 순서에 따라 발생할 때는 항상 이런 경우가 있다.
참고 항목
외부 링크
- David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. p. 10 : trivial ring. ISBN 0-521-33718-6.
- Barile, Margherita. "Trivial Module". MathWorld.
- Barile, Margherita. "Zero Module". MathWorld.
