아벨 사철 모형

직사각형 그리드의 샌드파일 그룹의 식별 요소입니다.노란색 픽셀은 라일락에서 입자로, 녹색에서 1로, 검은색에서 0으로 세 개의 입자를 운반하는 정점에 해당합니다.

아벨 샌드파일 모델(ASM)은 원래 Bak-Tang-Wiesenfeld 모델(BTW)의 더 일반적인 이름입니다.BTW 모델은 자기 조직적 임계성을 나타내는 동적 시스템의 첫 번째 사례였다.이것은 페르박, 차오 탕, 커트 비센펠트에 의해 1987년 ^[1]논문에서 소개되었다.

3년 후 디팍 다르(Deepak Dhar)는 BTW 샌드파일 모델이 실제로 아벨 역학을 따른다는 것을 발견했고, 따라서 이 모델을 아벨 샌드파일 모델이라고 불렀습니다.^[2]

그 모델은 세포 자동 장치이다.원래 공식에서 유한 그리드 상의 각 사이트는 말뚝의 기울기에 해당하는 관련 값을 가집니다.이 경사도는 "모래 알갱이"(또는 "칩")가 무작위로 말뚝 위에 놓이면서 쌓입니다. 경사가 특정 임계값을 초과하면 해당 부지가 붕괴되어 모래가 인접 사이트로 이동하면서 경사가 증가합니다.Bak, Tang 및 Wiesenfeld는 그리드 상에 모래 알갱이를 연속적으로 랜덤으로 배치하는 과정을 고려했다. 특정 현장에 모래를 배치하는 것은 효과가 없을 수도 있고, 많은 현장에 영향을 미칠 수 있는 계단식 반응을 일으킬 수도 있다.

Dhar는 눈사태가 종료된 후 최종적인 안정적인 모래톱 구성이 눈사태 동안 이어지는 정확한 토플링 순서와는 무관하다는 것을 보여주었다.이 사실의 직접적인 결과로, 두 개의 모래 알갱이를 두 개의 서로 다른 순서로 안정된 구성에 추가한다면, 예를 들어, 먼저 현장 A에서, 그리고 먼저 현장 B에서, 그리고 그 다음에 A에서, 모래 알갱이의 최종적인 안정적인 구성은 정확히 동일한 것으로 판명되었다.모래 알갱이가 안정된 모래밭 구성에 추가되면 눈사태가 발생하여 결국 또 다른 안정적인 구성으로 이어집니다.Dhar는 모래 알갱이의 추가를 연산자로 간주할 수 있으며, 모래 알갱이가 하나의 안정적인 구성에 작용하면 또 다른 안정적인 구성을 생성할 수 있다고 제안했습니다.Dhar는 그러한 모든 덧셈 연산자가 아벨 군을 형성한다는 것을 보여주었고, 따라서 아벨리안 샌드파일 모델이라는 이름이 붙여졌다.^[3]

^[4]

이후 모델은 무한 격자, 다른 (비 정사각형) 격자 및 임의 그래프(^[5]유향 멀티그래프 포함)에서 연구되었다.이는 ^[6]빅스가 선보인 칩 발사 게임의 변형인 달러 게임과 밀접한 관련이 있다.

정의(직각 그리드)

샌드파일 모델은 표준 $N\times M$ $격자$ $\mathbb {Z} ^{2}$ 의 N × $N\times M$ M (\ $디스플레이$ $스타일$ $N\times$ M) $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ Z 2 $(\$ $displaystyle \Gamma$ \ $subset$ $\mathbb {Z} ^{2}$ \ $mathbb$ {Z $}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ ^{2 $}}$ ^{2} $^{$ 2}} $to$ to $N\times M$ to （ 각 필드)에 정의된 셀 오토마톤입니다 $.$ $그리드$ 의 style $(x,y)\Gamma }$ 에서 $(x,y)\in \Gamma$ 값(모래, 경사, 입자) $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ 0 $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ ) $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ { { $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ , $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ , $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ , $}$ ({ $displaystyle$ $z_{0}$ ( $x,y$ )\ $in \{0,1, 2,$ $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ 을 $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ 0 $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ ∈ { $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ 1, $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ , $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ 3 }에 관련짓습니다 $.$

$i\in \mathbb {N}$ 후 반복 i $i\in \mathbb {N}$ N {\ $displaystyle$ i $\in \mathbb {N}$ 에서의 $i\in\mathbb{N}$ $i\in \mathbb {N}$ 자동화의 역학은 다음과 같이 정의된다.

확률 분포(통상 균일)에 따라 \ $Gamma }$ 에서 $(x_{i},y_{i})\in \Gamma$ 임의의 꼭지점 $(x_{i},y_{i})\in \Gamma$ $yi$ $∈$ \ $displaystyle (x_{i$ }, $y_{$ i})을 선택합니다.
이 정점에 모래 한 알씩을 더하고 다른 모든 정점에 대한 입자 수는 변경하지 마십시오.
$z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ i ( $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ i , $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ ) $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ i - $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ ( $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ , $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ ) + $z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ ( \ $display style$ z _ { $i$ } ( x $_$ { $i$ , $y _$ { i } ) = $z$ _ { $i-1}$ ( x $_$ { $i$ , y _ { $i$ } ) + $1$ 、
$z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ ( $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ x , $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ ) $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ i - $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ ( $x$ , $y$ ) = $z _$ { i $- 1$ ( x , y $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ ) $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ , y $z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ ） $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ ( （ $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ , y ） ≠ ( （ $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ i , $）$ \ $displaystyle ( x$ , y ) \ $neq$ ( x $_$ { $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ $i$ , $y$ ）。
$z_{i}(x,y)<4$ 정점이 안정되어 있는 경우, 즉 $z_{i}(x,y)<4$ z $z_{i}(x,y)<4$ ( $(x,y)\in \Gamma$ x $z_{i}(x,y)<4$ , y $(x,y)\in \Gamma$ ) < $(x,y)\in \Gamma$ $z_{i}(x,y)<4$ \ $displaystyle$ z _ { $i （$ $(x,y)\in \Gamma$ x , $(x,y)\in \Gamma$ ） $(x,y)\in \Gamma$ $style$ \ $displaystyle$ ( x , y )\ $in$ \ Gamma $(x,y)\in \Gamma$ ∈ if the the $z_{i}$ i i i i i i i i i i i i i i i z $z_{i}$ i \ $displaystystyle z_{ i$ }도 $z_{i}(x,y)<4$ $z_{i}$ 안정되어 있다고 합니다.이 경우는, 다음의 반복을 계속합니다.
하나 이상의 정점이 불안정한 경우, $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ 를 $z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4$ $z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4$ i $z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4$ $z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4$ 4 $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ display $display$ $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ $display$ \ $displaystyle$ $(x_{u}, y_{u$ }) \ $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ $geq$ 4 $}$ 전체 $z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4$ $z_{i}$ 이 경우 \ $Gamma }$ 의 $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ 불안정한 정점 $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ u )∈ $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ ∈ $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ \ $displaystyle ($ x $_ {$ u , y _ { $u$ } )를 랜덤으로 선택합니다.이 정점을 4개까지 줄이고 (최대 4개까지) 직접 이웃의 각 정점을 1개씩 증가시킴으로써 이 정점을 무너뜨린다.
$z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ i ( $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ u , $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ u ) $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ ( $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ , $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ u $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ ) - $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ , \ $displaystyle z_{i}(x_{u$ , $y_{u}$ ) \ $rightarrow$ z_{ $i}$ ( $x_{u})$ - 4, { $u}$ $z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$
$z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ i ( $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ u ± $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ , $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ± $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ) $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ( $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ x $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ± $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ 1 , $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ± $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ 1 $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ) + $z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ ( \ $displaystyle z_{i}(x_$ { $u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm$ 1) ( $(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma$ 1, $(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma$ ± $1$ $(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma$ )
도메인의 경계에 있는 정점이 무너지면 순수 입자 손실이 발생합니다(그리드의 모서리에 있는 두 개의 입자, 그렇지 않으면 한 개의 입자).
입자의 재배포로 인해 한 정점이 쓰러지면 다른 정점이 불안정해질 수 있습니다. $따라서$ z i $\$ displaystyle $z_{i}$ 의 $z_{i}$ 모든 정점이 안정될 때까지 토핑 절차를 반복하고 다음 반복을 계속합니다.

한 번 반복하는 동안 여러 정점이 무너지는 것을 눈사태라고 합니다.모든 눈사태는 결국 멈추게 됩니다. 즉, 한정된 수의 토플링 후에 오토마톤이 잘 정의되도록 안정적인 구성에 도달합니다.또한, 정점을 쓰러뜨리는 순서에 대해 많은 가능한 선택사항이 있을 수 있지만, 최종 안정 구성은 선택한 순서에 의존하지 않습니다. 이것은 샌드파일이 아벨인 하나의 의미입니다.마찬가지로, 각 반복 동안 각 정점이 넘어지는 횟수도 넘어지는 순서 선택과 무관합니다.

정의(무방향 유한 멀티그래프)

표준 사각 격자의 직사각형 그리드에서 임의의 무방향 유한 $G=(V,E)$ G $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) ( \ $displaystyle$ G $=$ ( V , $E$ ) $G=(V,E)$ 로 샌드파일 모델을 일반화하기 위해, 싱크라고 하는 $s\in V$ 정점 s $s\in V$ V \ $displaystyle$ s $\in$ V 를 지정합니다 $s\in V$ .모델의 구성(상태)은 함수 $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ { $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ {\ $displaystyle$ z $:$ $V\setminus$ \{ $s\}\rightarrow \mathbb {N}_$ 각 비싱크 꼭지점에서 음이 아닌 곡물의 수를 카운트합니다.비싱크 $v\in V\setminus \{s\}$ v $v\in V\setminus \{s\}$ V $v\in V\setminus \{s\}$ { $v\in V\setminus \{s\}$ $}$ { $displaystyle$ v \ $in$ V \ $setminus$ \ { $s$ \ } 。

\displaystyle z(v)\geq \display(v)}

는 불안정하기 때문에 쓰러질 수 있으며, 그 곡물의 1개가 각 (비동작) 네이버에 송신됩니다.

\displaystyle z(v)\to z(v)-\displaystyle(v)}

z(u)\to z(u)+1

(

z(u)\to z(u)+1

)

z(u)\to z(u)+1

(

z(u)\to z(u)+1

u

z(u)\to z(u)+1

) +

z(u)\to z(u)+1

{\

displaystyle

z

(u)\to

z(

u)+1}

(

u\neq s

u\sim v

u ~

u\sim v

{\

displaystyle

u\sim v

u

\sim

v

u\neq s

,

u\neq s

u\neq s

) 。

세포 자동화는 이전과 같이 진행되며, 즉 각 반복에서 무작위로 선택된 비싱크 정점에 하나의 입자를 추가하고 모든 정점이 안정될 때까지 쓰러뜨린다.

표준 사각 $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ 의 유한 직사각형 격자 $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ Z $(\$ $\Gamma$ $\displayb$ ${Z} ^{2})$ 에 $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ 대해 위에 제시된 샌드파일 모델의 정의는 이 정의의 특수한 경우로 볼 수 있다. $G=(V,E)$ G $G=(V,E)$ ( $Displaystyle$ V $)$ 를 고려하십시오.이는 $\Gamma$ (\ $displaystyle \Gamma)$ 에서 $\Gamma$ $,(\$ $displaystyle$ $\Gamma$ G $)$ 의 $\Gamma$ $G$ 각 비싱크 정점의 도수가 4가 되도록 $\Gamma$ 에서 $display$ (\ $displaystyle$ \Gamma $)$ 의 경계 정점까지 display(\displaystyle \Gamma)를 추가하여 구한다.이와 같이 표준 사각 격자(또는 다른 격자)의 비직사형 격자에 대한 샌드파일 모델도 정의할 수 있습니다. $\mathbb {R} ^{2}$ 2의 $\mathbb {R} ^{2}$ 부분 $집합$ S $({$ $displaystyle \mathbb {R}$ $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ ^{ $2$ $})$ 와 $S$ $\mathbb {R} ^{2}$ Z $\mathbb {Z} ^{2}$ \ $mathbb$ ${Z$ $}$ ^{ $2$ $\mathbb {Z} ^{2}$ 를 교차합니다. Z $\mathbb {Z} ^{2}$ 2(\ $displaystyle \mathbbb$ {Z} $^{$ 2} })의 $\mathbb {Z} ^{2}$ 모든 모서리를 수축합니다. 두 끝점은 S $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ Z 2 $(\$ \ $displaystyle$ \mathb ${\$ cap {\ $mathb$ {Z})에 없습니다 $.$ $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ 2 $(\$ {Z} ^{ $2})$ 외부에 $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ 있는 하나의 남은 정점은 결과 샌드파일 그래프의 싱크를 구성합니다.

일시적 및 반복적 구성

위에서 정의한 샌드파일오토마톤의 다이내믹스에서는 $v\in G\setminus \{s\}$ v $v\in G\setminus \{s\}$ G $v\in G\setminus \{s\}$ { s $v\in G\setminus \{s\}$ { $displaystyle$ v $\in$ G $\setminus$ \{ $s$ 에 대해 몇 가지 안정된 구성( $0\leq z(v)<4$ z ( $0\leq z(v)<4$ ) < $4 display$ $displaystyle$ 0 \ $leq$ z ( $v$ ) < 4 $0\leq z(v)<4$ ）） , , 。전자는 반복 설정, 후자는 과도 설정이라고 불립니다.따라서 반복 구성은 정점에 모래 입자를 반복적으로 추가하고 쓰러뜨리면 다른 안정적인 구성에서 도달할 수 있는 모든 안정적인 비음성 구성으로 구성됩니다.모든 정점이 z $z_{m}(v)=deg(v)-1$ $z_{m}$ ( $z_{m}(v)=deg(v)-1$ ) $z_{m}$ $z_{m}(v)=deg(v)-1$ $z_{m}(v)=deg(v)-1$ e $z_{m}(v)=deg(v)-1$ ( $z_{m}(v)=deg(v)-1$ ) - $z_{m}(v)=deg(v)-1$ ( \ $displaystyle z$ _ { $m}$ ( v ) $deg(v)-z(v)-1\geq 0$ $spair$ ( $v$ )- $1}$ 개의 $z_{m}(v)=deg(v)-1$ $z_{m}(v)=deg(v)-1$ 을 운반하는 $z_{m}$ 안정 $z_{m}$ ( $deg(v)-z(v)-1\geq 0$ ( $deg(v)-z(v)-1\geq 0$ v ) - $deg(v)-z(v)-1\geq 0$ ( v $deg(v)-z(v)-1\geq 0$ ) - $display 0 ($ display 1 ))에서 도달 가능함을 쉽게 알 수 있습니다.모든 꼭지점)에 접속합니다.따라서 반복 구성은 모래 알갱이만 첨가하고 안정화함으로써 최소 안정 구성에서 도달할 수 있는 구성입니다.

음이 아닌 안정된 설정이 모두 반복되는 것은 아닙니다.예를 들어, 적어도 두 개의 연결된 비싱크 정점으로 구성된 그래프 상의 모든 샌드파일 모델에서 두 정점이 모두 모래 입자를 운반하는 모든 안정적인 구성은 비재귀적입니다.이를 증명하기 위해 먼저 모래 입자를 추가하면 두 꼭지점이 함께 운반하는 총 입자 수만 증가할 수 있습니다.양쪽 정점이 그렇지 않은 구성에서 입자를 0으로 반송하는 구성에 도달하려면 두 정점 중 적어도 하나가 쓰러지는 단계가 필요합니다.다음 단계 중 마지막 단계를 고려합니다.이 단계에서는 두 정점 중 하나가 마지막으로 쓰러져야 합니다.토핑은 모래알을 모든 인접 정점에 전달하기 때문에, 이것은 두 정점이 함께 운반하는 총 입자의 수가 1보다 적을 수 없다는 것을 의미하며, 이는 증거를 끝낸다.

샌드파일군

$구성$ $v\in G\setminus \{s\}$ $v\in G\setminus \{s\}$ $displaystyle$ z $z$ $z(v)\in \mathbb {N} _{0}$ $z(v)\in \mathbb {N} _{0}$ 0 $z(v)\in \mathbb {N} _{0}$ {\ $displaystyle$ z $($ $v)\in \mathbb {N} _{0}$ $v\in G\setminus \{s\}$ 모든 v $v\in G\setminus \{s\}$ { $v\in G\setminus \{s\}$ { $displaystyle$ v $\in$ G $\setminus$ \{ $s$ n n n n n n n n n 、 불안정한 비싱크 정점이 불안정한 정점으로 이어질 때까지 안정된 상태로 유지됩니다. $displaystyle$ z $^{\$ $displaystyle$ $z^{\circ }$ z $}$ 의 $z$ $z$ 라고 불리는displaystyle z^{\displaystyle z $}$ 와 $\$ $displaystyle$ w $w$ 의 두 가지 안정적인 $z$ 을통해 z $z*w:=(z+w)^{\circ }$ w : $z*w:=(z+w)^{\circ }$ ( $z*w:=(z+w)^{\circ }$ + w ) ${\$ \ $displaystyle$ z*w : = ( $z$ + w )^{\displaystyle $z*w:=(z+w)^{\circ }$ }} $z*w:=(z+w)^{\circ }$ {\ {\ followed \ w followed followed by by followed followed followed followed followed followed followed followed followed t의 정점에 대응하는 동작을 $z*w:=(z+w)^{\circ }$ 할 수 있습니다.그는 결과적인 샌드파일을 안정화 시킨다.

불규칙한 구성의 안정화 중에 발생할 수 있는 다중 토핑 연산은 임의의 순서가 주어질 경우 라플라시안 $\Delta =D-A$ $\Delta =D-A$ D - A $\Delta =D-A$ \ $displaystyle$ $\Delta$ = $D-A$ 를 사용하여 효율적으로 인코딩할 수 있습니다. $D$ 서D \ $displaystyle$ D는 $D$ $A$ 이고 A는A입니다. $tyle$ A $}$ 는 $A$ 그래프의 인접 행렬입니다.싱크대에 대응하는 $\Delta$ $\Delta$ (\ $displaystyle\Delta)$ 의 행과 열을 삭제하면 그래프 $\Delta '$ {\(\ $displaystyle\$ $Delta$ 이 축소됩니다.그리고 구성 $z$ 에서 $시작$ 하여 $z$ 각 $정점$ v $\displaystyle$ v에서 $v$ 각 정점 v $\mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}$ displaystyle을 쓰러뜨리면 x(v) $\mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}$ ∈ $\mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}$ . $bf {x}(v)\in \mathbb$ { $N} _{$ 0 $\mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}$ }}회 $z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x}$ z - $z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x}$ x \ $displaystyle$ z - \ $Delta$ ' { \ $bold$ symbol \ $cdot }}$ ~\ $mathbf { x$ $z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x}$ 를 생성합니다.여기서 $⋅$ \ $displaystyle$ \ bold $sylmbol$ \ cdmbol { $cd$ } { x \ cd $}$ } } the ${\boldsymbol {\cdot }}$ the $z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x}$ the the the the 。또한 x $(\$ 가 $\mathbf {x}$ 특정 $구성$ z(\ $displaystyle$ z $z$ 의 안정화 중에 각 정점이 쓰러지는 횟수에 해당하는 $\mathbf {x}$ ,

z^{\cdot}=z-\Delta '{\boldsymbol {cdot}}~\mathbf {x}

이 경우 x $(\$ 는 $\mathbf {x}$ 토핑 또는 주행 기록계 함수(z $\displaystyle$ z $)$ 라고 $합니다$ .

연산 ${\$ { $displaystyle$ * $*$ } operation $\Delta '$ lap lap 、 \ $displaystyle$ \ $Delta$ ' $,$ lap{{ $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ lap lap lap lap lap lap lap lap $（$ \ displaystyle \ $mathbf$ { Z $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ } $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ ^ - $1$ ^ - 1 ） $b$ $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ { $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ configur $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ configur configur configur configur configur configur lap configur lap lap lap configur lap （ \ $displaystyle$ \ displaystyle \ displaystyle \ displaystyle \ displaystyle \ deltyle \ deltyle \ del $yle$ n $}$ 은 $n$ 꼭지점(싱크 포함)의 수를 나타냅니다.보다 일반적으로, 일련의 안정적인 구성(과도적 및 반복적)은 연산 $*$ θ {\ $displaystyle$ $*$ 하에서 교환성 모노이드를 형성한다. 이 모노이드의 최소 이상은 반복 구성 그룹과 동일하다.

반복 구성에 의해 형성된 $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ 과 Z $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ n - $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ / Z $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ - $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ ${\$ { $displaystyle \mathbf {Z}$ ^{ $n-1}/\mathbf {Z}$ ^{ $n-1}\Delta '}$ 는 ${\mathbf {Z}}^{{n-1}}/{\mathbf {Z}}^{{n-1}}\Delta '$ $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ 으로 샌드파일 군으로 불린다.같은 그룹의 다른 일반적인 이름은 크리티컬 그룹, 제이코비안 그룹 또는 (적게는) 피카르 그룹입니다. $단$ , 일부 저자는 반복 구성에 의해 형성된 그룹을 샌드파일 그룹으로만 나타내면서도 Z $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ - 1 $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ / $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ - $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ ${\$ { $displaystyle$ \mathbf {Z $}$ ^{n-1 $}/\mathbf$ { $TA}$ ' $Del-1}$ 에 $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ 정의된 (동형) 그룹에 대해 제이코비안 그룹 또는 임계 그룹이라는 이름을 예약한다.efinitions)를 참조해 주세요.마지막으로, 일부 저자는 Sandpile group의 직접 산물과 $(\$ display \mathbb {Z $\mathbb {Z}$ 를 지칭하기 위해 Picard group이라는 이름을 사용합니다. Z(\display \ $mathbb {Z})$ 는 Sandpile 모델과 밀접한 관련이 있는 셀 오토마톤에 자연스럽게 나타나며 칩 연소 또는 달러 게임이라고 합니다.

상기의 동형사상이 주어졌을 때, 샌드파일군의 순서는 $\$ 의 행렬식이며, 매트릭스 트리 정리에 의해 그래프의 스패닝 트리 수가 된다.

자기 조직화된 중요도

이 모델의 원래 관심은 격자에 대한 시뮬레이션에서 시스템의 상관 길이와 시스템의 상관 시간이 시스템 매개변수의 미세 조정 없이 무한대로 가는 임계 상태에 끌린다는 사실에서 비롯되었다.이는 임계점에 도달하기 위해서는 정확한 조정(예: 온도)이 필요한 고체와 액체 또는 액체와 기체 사이의 위상 전이 등 임계 현상의 이전 예와 대조된다.따라서 샌드파일 모델에서는 임계값이 자체 조직화되어 있다고 할 수 있습니다.

샌드파일 모델이 임계 상태에 도달하면 섭동에 대한 시스템의 반응과 섭동의 세부 사항 사이에는 상관 관계가 없습니다.일반적으로 모래알을 더 말뚝 위에 떨어뜨리면 아무 일도 일어나지 않거나 대규모 미끄럼틀에서 말뚝 전체가 붕괴될 수 있습니다.또, 이 모델에서는, 많은 복잡한 시스템에 공통의 기능인 1/m2 노이즈가 표시됩니다.

이 모델은 2차원 이상의 중요한 동작만 표시합니다.샌드파일 모델은 1D로 표현할 수 있지만, 1D 샌드파일 모델은 임계 상태로 발전하는 대신 모든 격자 부위가 임계 경사 방향으로 가는 최소 안정 상태에 도달합니다.

2차원에서, 연관된 등각장 이론이 중심 전하 c = ^[7]-2인 심플렉틱 페르미온으로 구성된다는 가설이 있다.

특성.

최소 작용 원리

칩 구성의 안정화는 최소 동작의 원리에 준거하고 있습니다.즉,^[8] 안정화 과정에서 각 정점이 필요 이상으로 넘어지지 않는 것입니다.이는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.불안정한 정점만 쓰러뜨리면 일련의 토플이 합법적이고 안정된 구성이 되면 안정적이라고 합니다.샌드파일을 안정화시키는 표준 방법은 최대한의 법적 순서를 찾는 것입니다. 즉, 가능한 한 오래 쓰러뜨리는 것입니다.이러한 시퀀스는 분명히 안정되고 있으며, 샌드파일의 아벨적 특성은 이러한 시퀀스가 모두 토핑 순서의 순열과 동등하다는 것입니다. 즉, 모든 $정점$ v $\displaystyle$ v $v$ displaystyle v $}$ 의 $v$ 토플 $v$ 는 모든 법적 안정화 시퀀스에서 동일합니다.최소 작용 원리에 따르면 최소 안정화 시퀀스는 토핑 순서를 합법적(및 여전히 안정화) 시퀀스로 치환하는 것과 동등합니다.특히 최소 안정화 시퀀스에 의한 구성은 최대 법적 시퀀스에 의한 결과와 동일하다.

보다 형식적으로 u $\mathbf {u}$ $\mathbf {u} (v)$ v $\mathbf {u} (v)$ ) \ $displaystyle$ $\mathbf {u}$ ( $v$ {displaystyle $\mathbf {u}$ 가 ${\mathbf {u}}(v)$ 칩 $구성$ z {\ $displaystyle$ z $z$ 및 $\mathbf {n}$ n ${\displaystyle$ \ $m$ }의 안정화 중에 $정점$ v { $display$ v $}$ 가 $v$ 넘어지는 횟수인 $\mathbf {u} (v)$ 일 $\mathbf {u}$ $athbf {n}$ 은 $\mathbf {n}$ ${\mathbf {u}}(v)\leq {\mathbf {n}}(v)$ $($ 는) 모든 $vstyle$ 의 z- $\mathbf {n}$ \ $Delta'}$ 이 $z-{\mathbf {n}}\Delta '$ $z-\mathbf {n} \Delta '$ $\mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)$ ) 안정되고 $\mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)$ (v) $\mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)$ display $\mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)$ ( $v$ ) display display $style$ \ $mathbf {u}$ ( $v)\leq \mathbf {n}$ ( $v$ $v$

스케일 제한

크기가 증가하는 정사각형 그리드의 샌드파일 아이덴티티 애니메이션.검정색은 0개의 입자를 가진 꼭지점, 녹색은 1, 보라색은 2개, 금색은 3개를 나타냅니다.

애니메이션은 크기가 $N\geq 1$ $N\geq 1$ $(\displaystyle$ N\ $geq$ 1)인 $N\times N$ 여러 $N\times N$ N × $N\times N$ (\ $displaystyle$ N\ $times$ N $N\geq 1$ 정사각형 그리드에서 샌드파일 그룹의 ID에 해당하는 반복 구성을 보여 줍니다. 이 경우 구성이 항상 동일한 물리적 치수로 조정됩니다.시각적으로 더 큰 그리드의 ID는 점점 더 상세해지고 "연속 이미지로 변환"되는 것처럼 보인다.수학적으로, 이것은 약한-* 수렴(또는 다른 일반화된 수렴 개념)의 개념에 기초한 사각 격자에 모래톱 동일성의 스케일링 한계 존재의 존재를 시사한다.실제로 Wesley Pegden과 Charles ^[10]Smart는 반복 샌드파일 구성의 스케일링 한계 존재를 증명했다.Lionel Levine과의 추가 공동 연구에서는 스케일링 한계를 사용하여 사각 ^[11]격자상의 샌드파일 프랙탈 구조를 설명한다.

일반화 및 관련 모델

무한 그리드의 샌드파일 모델

3천만 개의 알갱이가 무한 정사각형 격자 자리에 떨어졌고, 그 후 모래톱 모델의 규칙에 따라 떨어졌습니다.흰색은 0개, 녹색은 1, 보라색은 2, 금색은 3개입니다.경계 상자는 3967×3967입니다.

무한 그리드에 대한 샌드파일 모델에는 몇 가지 일반화가 있습니다.이러한 일반화의 과제는 일반적으로 모든 눈사태가 결국 멈추는다는 것을 더 이상 보장하지 않는다는 것이다.따라서 일반화의 일부에서는 이를 보증할 수 있는 설정의 안정화만을 고려합니다.

사이트 $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ ( $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ , $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ 2 \ $displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z}^{2}$ 를 가진 $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ (무한) 정사각형 격자에서 비교적 일반적인 모델은 다음과 같이 정의됩니다.

값 $z(x,y)\in \mathbf {Z}$ ( $z(x,y)\in \mathbf {Z}$ , $z(x,y)\in \mathbf {Z}$ ) $z(x,y)\in \mathbf {Z}$ z $z(x,y)\in \mathbf {Z}$ {\ $displaystyle$ z $(x,y)\in \mathbf {Z}$ 의 $z(x,y)\in {\mathbf {Z}}$ 음수가 아닌 구성부터 시작합니다.이것은 유한합니다.

\displaystyle \sum _{x,y}z(x,y) <\infty .}

모든 사이트 $(x,y)$ ( $(x,y)$ , $(x,y)$ $){$ $displaystyle (x$ $, y$ ) }

z(x,y)\geq 4

는 불안정하여 쓰러질(또는 발화) 가능성이 있으며 칩 중 하나를 4개의 인접 라우터에 각각 송신합니다.

z(x,y)\오른쪽 화살표 z(x,y)-4,

z(x\pm 1,y)\오른쪽 화살표 z(x\pm 1,y)+1,

\displaystyle z(x,y\pm 1)\rightarrow z(x,y\pm 1)+1.}

초기설정은 유한하므로 프로세스가 종료되고 입자가 바깥쪽으로 흩어집니다.

원점을 제외한 모든 정점에 대해 초기 구성이 0일 때 이 모델의 일반적인 특수 사례가 제공됩니다.원점에서 대량의 모래 입자를 운반하는 경우, 완화 후의 구성은 프랙탈 패턴을 형성합니다(그림 참조).원점에서의 초기 입자 수를 무한대로 두면 스케일 조정된 안정화 구성이 고유한 ^[10]^[11]한계로 수렴되는 것으로 나타났습니다.

유도 그래프의 샌드파일 모델

샌드파일 모델은 임의의 지향성 멀티그래프로 일반화할 수 있습니다.이 규칙은 모든 $정점$ v $\style$ v\ $display$ v $\$ style v는 $v$

\displaystyle z(v)\geq \display ^{+}(v)}

는 불안정합니다.또한 토핑은 각 발신 엣지를 따라 칩을 각 네이버에 전송합니다.

z(v)\rightarrow z(v)-\param ^{+}(v)+\param(v,v)

$u\neq v$ $u\neq v$ v \ $display$ u \ $neq$ v $u\neq v$ :

z(u)\rightarrow z(u)+\display(v,u)

$\deg(v,u)$ 서 deg $\deg(v,u)$ ( $\deg(v,u)$ , $\deg(v,u)$ ) { $style \display(v,u)}$ 는 $\deg(v,u)$ $v$ v{ $style$ v $}$ ~ $u$ ${displaystyle$ u $u$ 의 $에지$ 수입니다.

이 경우 라플라시안 행렬은 대칭이 아닙니다. $다른$ 모든 정점에서 s $(\displaystyle$ s $s$ 까지 $s$ 가 있는 싱크 s $(\displaystyle$ s $)$ 를 $s$ 지정하면 유한 그래프에 대한 안정화 연산이 잘 정의되어 샌드파일 그룹을 작성할 수 있습니다.

\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '

종전과 같이

샌드파일 그룹의 순서는 다시 $\Delta '$ δ \ $displaystyle \Delta$ 의 행렬식이며, 매트릭스 트리 정리의 일반 버전에 따르면 싱크대에 뿌리를 둔 방향 스패닝 트리의 수입니다.

확장 샌드파일 모델

255x255 정사각형 그리드 상의 고조파 함수 H=x*y에 의해 유도되는 샌드파일 역학.

서로 다른 유한 볼록 그리드 $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ Z $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ \ $표시 \Gamma \subset \mathbb {Z}$ ^{ $2}}$ 표준 $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ 사각 $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ 2 $\mathbb {Z} ^{2}$ \ $표시$ 스타일 $\mathbb {Z}$ ^{2} $\mathbb {Z} ^{2}$ 、 ^[12]Lang 、 Shkolnikov lang sand sand sand sand sand sand sand sandpppppppppppp to to to topp in to to to to to to to to to to to to to in to in in in in in in $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ to to to to $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ to to to to in in in in in in in to to to to to to to to to to to to to확장 샌드파일 모델은 그리드의 경계 $(\displaystyle \partial \Gamma)$ 에 $\partial \Gamma$ 있는 정점이 음이 아닌 실수 개수의 곡물을 운반할 수 있다는 점을 제외하고 일반적인 샌드파일 모델(즉, 원래의 Bak-Tang-Wiesenfeld 모델)과 거의 동일하게 정의된다.이와는 대조적으로 그리드 내부의 정점은 여전히 정수의 곡립만 전달할 수 있습니다.토핑 규칙은 변경되지 않습니다. 즉, 내부와 경계 정점 모두 불안정해지고 입자 수가 4에 도달하거나 초과할 경우 토핑되는 것으로 가정합니다.

또한 확장 샌드파일 모델의 반복 구성은 확장 샌드파일 그룹이라고 불리는 아벨 그룹을 형성하며, 이 그룹의 일반적인 샌드파일 그룹은 이산 하위 그룹이다.그러나 일반적인 샌드파일 그룹과 달리 확장 샌드파일 그룹은 연속 리 그룹입니다.그리드의 경계 $(\displaystyle\partial$ \Gamma $)$ 에만 $\partial \Gamma$ 모래알을 첨가하여 생성되므로 확장 샌드파일군은 $displaystyle\partial\Gamma)$ ^[12]의 $|\partial \Gamma |$ 토폴로지와 일반 샌드파일군의 순서로 주어진 부피를 가지고 있다.

특정한 관심사는 동일성을 통과하는 이 토러스의 연속적인 측지학을 따라 반복되는 구성이 어떻게 동적으로 변화하는지에 대한 질문이다.이 질문은 샌드파일 역학의 정의로 이어집니다.

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

(

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

t )

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

(

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

-

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

H )

∘

{

displaystyle D_{H}(t)

= (

I-t\Delta

H

)^{\circ

}}

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

(모래줄 모델)

각각 다음과 같다.

D

~

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

(

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

t )

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

(

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

+

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

-

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

H

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

)

、

{

display

{

t

}

_

{

H

} ( t ) = (

I

+ \

lfloor

- t \

Delta

H \

rfloor )^{

\

rfloor }

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

（ sandpile model ）

시간 $t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ R $t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ Z $t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ \ $style$ t $\in$ \ $mathbb {R}$ \ $setminus \mathbb {Z$ 에서의 정수값 고조파 $함수$ H {\ $displaystyle$ H $}$ 에 $H$ 의해 유도되며 $,$ Sandpile 그룹의 식별성과 $I$ 바닥 함수 $\lfloor .\rfloor$ ^[12] $\lfloor .\rfloor$ . . . $\lfloor .\rfloor$ . . （ $displaystyle \lfloor$ . rfloor $\lfloor .\rfloor$ $）$ $}$ $induced$ induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced induced저차 다항식 고조파 함수의 경우, 샌드파일 역학은 샌드파일 동일성을 구성하는 패치의 부드러운 변환과 외관 보존에 의해 특징지어진다.예를 들어, $H=xy$ $H=xy$ $H=xy$ y { $displaystyle$ H $=xy}$ 에 $H=xy$ $H=xy$ 유도되는 고조파 역학은 애니메이션에서 시각화된 주요 대각선을 따라 동일성의 "확장"과 유사하다.서로 다른 크기의 정사각형 그리드에서 동일한 고조파 함수에 의해 유도되는 역학에서 나타나는 구성은 weak-* 수렴에 더 추측되었으며,^[12] 이는 아마도 스케일링 한계가 있음을 의미한다.이는 확장되고 통상적인 샌드파일 그룹에 대한 자연스러운 재규격화를 제안한다. 즉, 주어진 그리드의 반복 구성을 하위 그리드의 반복 구성에 매핑하는 것을 의미한다.비공식적으로, 이러한 정규화는 단순히 대형 그리드의 일부 고조파 $H에$ 의해 유도된 샌드파일 역학에서 주어진 $시간$ t\{ $displaystyle$ t $}$ 에 $t$ $H$ 나타나는 구성을H의 $H$ 에 의해 유도된 샌드파일 역학에서 동시에 나타나는 해당 구성에 매핑한다. $\displaystyle$ H $}$ 를 $H$ 각 서브 ^[12]그리드에 연결합니다.

분리할 수 있는 모래톱

Levine과 Peres가 ^[13]2008년에 도입한 이른바 분할 가능한 샌드파일 모델(divible sandpile model)로, 각 $사이트$ x(\ $displaystyle$ x $x$ 에 서로 다른 수의 입자가 아닌 현장의 질량을 나타내는 $s(x)$ $($ 가 존재한다.이러한 질량이 음의 경우 구멍으로 이해할 수 있다.토플은 사이트의 질량이 1보다 클 때마다 발생합니다. $이것$ 에 의해, 인접 사이트간에 과잉이 균등하게 토플 되어 $,$ 사이트가 가득 찬 $경우$ , 나중에 모두 가득 찬 상태가 됩니다 $t$

문화 레퍼런스

수학자 찰리 엡스가 동료들에게 범죄 수사의 해결책을 설명하는 가운데 박-탕-비센펠트 샌드파일은 저린3rs 에피소드 "램파지"에서 언급되었습니다.

컴퓨터 게임 Hexplode는 유한한 육각형 그리드 상의 아벨리안 샌드파일 모델을 기반으로 하며, 여기서 랜덤한 곡립 배치 대신 플레이어에 의해 곡물이 배치됩니다.

레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

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