등각장론

컨포멀 필드 이론(CFT)은 컨포멀 변환 하에서 불변하는 양자장 이론입니다.2차원에서는 국소적 등각 변환의 무한 차원 대수가 존재하며, 때로는 등각장 이론이 정확하게 풀리거나 분류될 수 있습니다.

등각장 이론은 응집 물질 물리학, 통계 역학, 양자 통계 역학, 끈 이론에 중요한 응용^[1] 분야를 가지고 있습니다.통계 및 응축 물질 시스템은 실제로 열역학 또는 양자 임계점에서 일치 불변하는 경우가 많습니다.

스케일 불변성 vs 준거 불변성

양자장 이론에서, 스케일 불변성은 공통적이고 자연스러운 대칭이다. 왜냐하면 재규격화 그룹의 고정점은 정의 불변이기 때문이다.등각대칭은 규모 불변성보다 강하며, 자연에서 나타나야 한다고 주장하기 위해서는 추가적인^[2] 가정이 필요하다.그 타당성 배후에 있는 기본적인 생각은 국소 스케일 불변 이론이 $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ μ μ μ $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ {\ ${\$ （ \ $display$ $style$ $\xi ^{\nu }$ T _ { \ $mu$ \ $nu$ $T_{\mu \nu }$ } \ $xi$ ^ { \ $nu$ $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ } } { $\xi ^{\nu }$ { 、 $T_{\mu \nu }$ $T_{\mu \nu }$ \ $display style$ $T$ $T_{\mu \nu }$ _ { \ $nu$ $}$ } $}$ {------------- ( ( ( (--- ( ( ( ( $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ ( ( by by by by by ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (n $정확히$ d{\ $displaystyle$ d $d$ 연관된 대칭에 스케일이 포함되지만 적합 변환이 아닌 $(\$ {\mu $}^{\$ mu $}})$ 는 $T_{\mu }^{\mu }$ 정확히 d - $(\displaystyle d-1$ 의 보존되지 않은 연산자가 $d-1$ 을 나타내는 0이 아닌 총 미분이어야 합니다.

어떤 가정에서는 이러한 유형의 비 정규화를 완전히 배제할 수 있으며, 따라서 스케일 불변성이 양자장 이론, 예를 들어 2차원의 단일 콤팩트 등각장 이론에서 등각 불변성을 내포한다는 것을 증명할 수 있다.

양자장 이론이 스케일이 불변하는 것은 가능하지만 순응적으로 불변하는 것은 아니지만,^[3] 예는 드물다.이러한 이유로, 이 용어들은 양자장 이론의 맥락에서 종종 서로 바꿔서 사용된다.

2차원 대 고차원

독립적 등각 변환의 수는 2차원에서는 무한하고 고차원에서는 유한합니다.이것은 2차원에서 등각대칭을 훨씬 더 구속력 있게 만든다.모든 컨포멀 필드 이론은 컨포멀 부트스트랩의 아이디어와 기술을 공유합니다.그러나 결과 방정식은 2차원에서 더 강력하며, 수치적 접근법이 지배적인 고차원과 대조적으로 때로는 정확하게 풀 수 있다(예: 최소 모델의 경우).

특히 벨라빈, 폴랴코프,^[4] 자몰로드치코프의 1983년 논문 이후 등각장 이론의 발전은 2차원 사례에서 더 빠르고 더 깊어졌습니다.컨포멀 필드 이론이라는 용어는 1997년 교과서 ^[5]제목에서와 같이 2차원 컨포멀 필드 이론의 의미와 함께 사용되기도 한다.고차원 컨포멀 필드 이론은 1990년대 후반 AdS/CFT 대응과 2000년대 수치 컨포멀 부트스트랩 기술의 개발로 더욱 인기를 끌고 있다.

2차원에서의 글로벌과 로컬의 등각대칭

리만 구의 글로벌 컨포멀 그룹은 유한 차원인 뫼비우스 $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ S $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ ( $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ ) \ $displaystyle PSL$ _ { $2}$ ( \ $mathbb$ { $C }$ $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ 의 그룹입니다.한편, 무한소 등각 변환은 무한 차원 위트 대수를 형성한다: 2차원에서의 등각 킬링 방정식 $\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~$ = $\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~$ $μ$ μ $\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~$ 、 { \ $}$ \ $xi _$ { \ $nu$ } + \ $nu =$ { $xi$ } _ xi _ { \ $nu$ }auchy-Riemann 방정식, $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ z $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ $z$ z $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ ( $z$ ) $= 0 =$ \ $bar {z}$ \ $xi$ ( z ) = 0 = \ $bar$ _ ${z}$ \ xi ( $\ bar$ { $z$ ) 임의 해석 좌표 변환의 무한 모드 $\xi (z)$ ( $z )\$ $displaysty \ xi$ ( xi $\xi (z)$ )수율) $yle$ z $^{n}\syslog$ _ ${z$

엄밀히 말하면, 2차원 등각장 이론은 (응력센서를 소유한다는 의미에서) $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ P $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ L 2 $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ ( $)\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C})$ 아래에서 불변성만을 나타내면서도 국소적일 수 있다 $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ 이것은 비단일 이론에만 있는 것으로 판명되었습니다.예를 들어 바이하모닉 스칼라입니다.^[6]이 특성은 $(\$ }})가 $T_{\mu }^{\mu }$ 총 2차 도함수가 $T_{\mu }^{\mu }$ 하므로 등각 불변성이 없는 척도보다 더 특별하다고 보아야 한다.

2차원에서의 글로벌 컨포멀 대칭은 고차원에서의 컨포멀 대칭의 특수한 경우이며, 동일한 기술로 연구된다.이는 글로벌한 이론뿐만 아니라 국소적인 등각대칭이 아닌 이론에서도 이루어지며, 고차원 CFT의 기술이나 아이디어를 테스트하기 위해 국소 등각대칭이 있는 이론에서도 이루어집니다.특히 수치 부트스트랩 기법은 최소 모델에 적용하고 결과를 국소적 등각대칭에 따른 알려진 분석 결과와 비교함으로써 테스트할 수 있다.

비라소로 대칭대수를 이용한 등각장 이론

컨포메이션 불변 2차원 양자 이론에서, 무한소 컨포메탈 변환의 위트 대수는 중앙에서 확장되어야 한다.따라서 양자 대칭 대수는 중심 전하라고 불리는 숫자에 의존하는 비라소로 대수이다.이 중앙 확장은 컨포멀이상으로도 이해할 수 있습니다.

알렉산더 자몰로치코프(Alexander Zamolodchikov)는 2차원 양자장론의 재규격화 군 흐름 아래 단조롭게 감소하는 함수와 2차원 등위장 이론의 중심 전하와 같은 함수가 존재한다는 것을 보여주었다.이것은 Zamolodchikov C-이론으로 알려져 있으며, 2차원에서의 정규화 그룹의 흐름은 되돌릴 ^[7]수 없다는 것을 알려준다.

중심적으로 확장되는 것 외에도, 대칭 불변 양자 이론의 대칭 대수는 복잡해야 하며, 결과적으로 비라소로 대수의 두 복사본이 만들어집니다.유클리드 CFT에서는 이러한 복사본을 홀모픽과 안티홀모픽이라고 합니다.로렌츠식 CFT에서는 좌이동과 우이동이라고 합니다.두 복사본 모두 동일한 중앙 전하를 가집니다.

이론의 상태 공간은 두 비라소로 대수의 곱을 나타낸 것이다.이론이 단일이라면 이 공간은 힐베르트 공간이다.이 공간에는 진공 상태 또는 통계 역학에서는 열 상태가 포함될 수 있습니다.중심 전하가 사라지지 않는 한, 무한 차원 등각 대칭 전체를 깨트리지 않는 상태는 존재할 수 없습니다.Virasoro 대수의 $L_{n\geq -1}$ $L_{n\geq -1}$ n $L_{n\geq -1}$ - $L_{n\geq -1}$ {\ $displaystyle L_{n\geq -1}$ 에서는 $L_{n\geq -1}$ 불변한 상태를 얻을 수 있습니다.기본값은 $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ ( $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ n $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ Z \ $displaystyle (L_{n) _$ { $n\in$ \ $mathbb {Z$ 입니다. $L_{-1},L_{0},L_{1}$ 에는 글로벌 컨포멀 변환의 $L_{-1},L_{0},L_{1}$ - 1, $L_{-1},L_{0},L_{1}$ $L_{-1},L_{0},L_{1}$ , $L_{-1},L_{0},L_{1}$ 1({ $displaystyle$ L_ ${-1$ }, $L_{0$ }, L_{ $1})$ 이 $L_{-1},L_{0},L_{1}$ 포함됩니다.나머지 컨포멀 그룹은 자발적으로 망가졌다.

등각대칭

정의와 야코비안

주어진 시공간 및 메트릭에 대해 등각 변환은 각도를 보존하는 변환입니다. $평면$ d $\displaystyle$ $\mathbb {R} ^{d}$ d_차원 $d$ 유클리드 $\mathbb {R} ^{d}$ R $\mathbb {R} ^{d}$ d_d $또는$ 민코프스키 $\mathbb {R} ^{1,d-1}$ R $\mathbb {R} ^{1,d-1}$ , $\mathbb {R} ^{1,d-1}$ - $(\$ 의 $\mathbb {R} ^{d}$ 등각 변환에 초점을 맞춘다.

x $x\to f(x)$ ( $x\to f(x)$ x $){style$ x $\to$ f $($ $x$ $)}$ 가 $x\to f(x)$ 등각 변환인 $x\to f(x)$ $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ J $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ ( $=$ $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ x $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ { $displaystyle J_{\nu$ }^{\ $mu$ }( $x)= frac$ {\ $displayfrac f^{\nu }\$ nu } { $x}$ } $}$ ^{\nu} } } }

J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega(x)R_{\nu }^{\mu }(x),

여기서 $\Omega (x)$ ( $\Omega (x)$ ) { $displaystyle \Omega (x)}$ 는 $\Omega (x)$ 스케일 팩터이며, $R_{\nu }^{\mu }(x)$ ( $x$ { $displaystyle R_{\$ nu }^{\ $mu$ }( $x)}$ 는 $R_{\nu }^{\mu }(x)$ 회전(즉, 직교 매트릭스) 또는 로렌츠 변환입니다.

등각군

컨포멀 그룹은 S $SO(1,d+1)$ ( $SO(1,d+1)$ , $d$ + $1 ){$ $displaystyle SO$ ( 1, $SO(2,d)$ $SO(1,d+1)$ + 1 $)}$ (유클리드) $SO(2,d)$ $SO(2,d)$ O $SO(2,d)$ ( $SO(2,d)$ , d $){$ $displaystyle$ SO $( 2$ , d $)}$ (민코프스키)와 국소적으로 동형입니다.여기에는 변환, 회전(유클리드) 또는 로렌츠 변환(민코프스키) 및 확장(예: 스케일 변환)이 포함됩니다.

{\displaystyle x^{\mu}에서 \displayda x^{\mu }로 이동합니다.

여기에는 특수한 컨포멀 변환도 포함됩니다. $T_{a}(x)=x+a$ $T_{a}(x)=x+a$ $T_{a}(x)=x+a$ a $T_{a}(x)=x+a$ ( $T_{a}(x)=x+a$ x ) $=$ + $T_{a}(x)=x+a$ { $displaystyle T_{a}(x$ )= $x+a$ 에 대해 특별한 등각 변환이 있습니다.

S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,

$I$ 서 $I은$ 반전입니다.

I\left(x^{\mu}\right)=frac {x^{\mu}}{x^{2}}.

$S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ { $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ display $}$ { $displaystyle$ $\infty$ S^ { d } = \ $mathbb$ { R } $^$ { $d$ } \ $cup$ \ { \ $infty$ $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ $\$ $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$ $\infty$ displaydisplay $0$ $\infty$ $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ displaydisplaydisplay $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$

등각 대수

대응하는 리 대수의 교환 관계는 다음과 같다.

디스플레이 스타일 { display style \ arigned \ ][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\[][D,K_{\mu },\\\[][D,P_{\mu },\]&=P_{\mu },\[][][K_{\mu },\NU]

$P$ 서P(\ $displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 변환을 생성하고 D $(\displaystyle$ D $)$ 는 $D$ 확장을 $K_{\mu }$ 하며 K $(\$ {\ $mu})$ 는 $K_\mu$ 특수 등각 변환을 생성하고 M $(\$ 은 $M_{\mu\nu}$ $M_{\mu \nu }$ 또는 로렌츠 변환을 생성합니다.텐서 $\eta _{\mu \nu }$ μ $\eta _{\mu \nu }$ { $displaystyle \eta$ _ { \ $mu$ \ $nu }}$ 는 $\eta_{\mu\nu}$ 플랫 메트릭입니다.

민코프스키 공간의 글로벌 이슈

민코프스키 공간에서 등각군은 인과관계를 보존하지 않습니다.상관함수와 같은 관측가능성은 등각대수에서는 불변하지만 등각군에서는 불변한다.Lüscher와 Mac에 의해 보여지듯이, 평평한 민코프스키 공간을 로렌츠 ^[8]원통으로 확장함으로써 등각군 아래의 불변성을 회복할 수 있다.원래의 민코프스키 공간은 Poincaré patch라고 불리는 실린더의 영역과 일치합니다.실린더에서 글로벌 컨포멀 변환은 인과관계를 위반하지 않습니다.대신 Poincaré 패치 밖으로 포인트를 이동할 수 있습니다.

상관 함수 및 적합 부트스트랩

컨포멀 부트스트랩 접근법에서 컨포멀 필드 이론은 다수의 공리에 따르는 상관 함수 집합입니다.

$n$ { $displaystyle$ n} - 포인트 $n$ $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ ( $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ 1 ) $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ ( $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ ( x n ) $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ {\ { $displaystyle$ \ $langle$ O_ ${$ $1$ } ( $x _$ { n )\ $cdots$ O_ ${n}$ ( $x$ _ n $)\ right$ \ $rangle$ $x_{i}$ $}$ 는 x $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ $x_{i}$ i $x_{i}$ 의 $위치$ 및 $기타 파라미터$ 의 $x_{i}$ $함수$ 입니다. $O_{1},\dots ,O_{n}$ , $O_{n$ 부트스트랩접근법에서는 필드 자체는 상관함수의 컨텍스트에서만 의미가 있으며 상관함수의 공리를 기술하기 위한 효율적인 표기법으로 간주될 수 있습니다 $.$ 상관함수는 필드에 따라 선형적으로 의존합니다.특히 $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ x $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ 1 $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ $1$ ） $。\$ $display$ style $\ _$ _ { $x _$ ${$ 1} \ $cdots$ \ $right$ \ $rangle =$ \ $left$ \ { 1 $} 。$

우리는 유클리드 $\mathbb {R} ^{d}$ R $\mathbb {R} ^{d}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $d$ 에 CFT를 집중한다. 이 경우, 상관 함수는 슈윙거 함수이다.이러한 값은 x $x_{i}\neq x_{j}$ " $x_{i}\neq x_{j}$ j $x_{i}\neq x_{j}$ { $displaystyle$ x _ { $i$ } \ $neq$ x _ { $j$ 에 $x_{i}\neq x_{j}$ 정의되며 필드의 순서에 의존하지 않습니다.민코프스키 공간에서 상관함수는 와이트만 함수이다.필드는 공간처럼 분리된 경우에만 이동하므로 필드의 순서에 따라 달라질 수 있습니다.예를 들어, Osterwalder-Schrader 정리 덕분에 유클리드 CFT는 윅 회전에 의한 밍코스키안 CFT와 관련될 수 있다.이러한 경우, 밍코프스키의 상관함수는 필드의 순서에 따라 달라지는 해석적 연속성에 의해 유클리드 상관함수로부터 얻어진다.

컨포멀 변환 시의 동작

$f\to \pi _{f}$ 변환 $x\to f(x)$ $x\to f(x)$ ( $x$ ) $x\to f(x)$ → f ( $x\to f(x)$ ) $O(x)\to \pi _{f}(O)(x)$ $f$ $O(x)\to \pi _{f}(O)(x)$ ( $O(x)\to \pi _{f}(O)(x)$ ) $O(x)\to \pi _{f}(O)(x)$ ( $O(x)\to \pi _{f}(O)(x)$ ) 、 $x$ ) 、 f ( x ) \ $to$ \ $pi$ _ { $f$ （ $O ）$ ） $f\to \pi _{f}$ $f\to \pi _{f}$ → $displaystyle$ f \ $to \ pi$ _ { $f$ } $is$ $f\to \pi _{f}$ ,, 、 f ( x ) $。$

\displaystyle \left \pi _{f}(O_{1})(x_{n})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\right\rangle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_rightrangle.rangle)

프라이머리 필드는 " $\$ 를 통해 그 자체로 변환되는 필드입니다.1차 필드의 동작은 등각 차원이라고 불리는 숫자 $\Delta$ (\ $displaystyle \Delta)$ 와 $\Delta$ 회전 또는 로렌츠 그룹의 표현 $\rho$ (\ $displaystyle \rho)$ 로 $\rho$ 특징지어집니다.프라이머리 필드의 경우, 다음과 같이 합니다.

\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega(x')^{-\Delta }\rho(R(x')O(x'),\quad {text{where}}=f^{-1}(x)'(x)'.}

여기서 $\Omega (x)$ ( $\Omega (x)$ ) { $display$ style $\Omega (x)}$ $R(x)$ R $R(x)$ $)$ { $displaystyle$ R $(x)}$ 은 $\Omega (x)$ $R(x)$ 등각 $변환$ f { $displaystyle$ f $f$ 와 관련된 스케일 팩터와 회전입니다.스칼라 필드의 경우 $\rho$ ${\(\displaystyle \rho$ ）는 $\rho$ .X $'$ 에 대해 $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ f ( $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ ) $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ O ( x ) $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ - $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ O ( $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ ) \ $displaystyle$ \ $pi _$ { $f$ （ $O$ ） $=$ \ $Omega$ ( x $)^{$ - $Delta$ } 로 변환됩니다.uld는 $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ μ $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ ) $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ μ （ x $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ - $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ R $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ x $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ （ x $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$ （ $display$ style \ $pi _{\mu$ }(x) $=$ $\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')$ $O_{\nu }(x$

컨포멀 치수 $\Delta$ (\ $displaystyle\Delta)$ 및 $\Delta$ 표현 $\rho$ (\ $displaystyle\rho)$ 로 $\rho$ 특징지어지는 1차 필드는 확장 및 회전에 의해 생성된 서브그룹으로부터의 컨포멀 그룹의 유도 표현에서 가장 높은 무게의 벡터로서 동작한다.특히 등각 치수 $\Delta$ (\ $displaystyle \Delta)$ 는 희석 부분군을 나타내는 특성을 가진다 $\Delta$ .2차원에서는 이 유도 표현이 Verma 모듈이라는 사실이 문헌 전체에 나타난다.고차원 CFT(최대 콤팩트 서브대수가 카르탄 서브대수보다 크다)의 경우, 최근 이 표현이 포물선 또는 일반화 Verma ^[9]모듈이라는 것이 인식되고 있다.

(임의의 순서로) 기본 필드의 파생물을 하위 필드라고 합니다.컨포멀 변환 하에서의 그들의 행동은 더 복잡하다.예를 들어 O $(\displaystyle$ O $\pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)$ 가 $O$ 프라이머리 필드인 $\pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)$ $\pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)$ ) $=$ $\pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)$ O $)$ { $displaystyle \pi _{\mu }$ O $(x)=\partial _$ {\mu }\ $left(x)$ 하위 필드의 관계 함수는 기본 필드의 상관 함수에서 추론할 수 있습니다.그러나 모든 필드가 프라이머리 또는 그 하위 필드인 일반적인 경우에도 컨포멀블록과 연산자 곱의 확장은 모든 하위 필드에 대한 합계를 포함하기 때문에 하위 필드가 중요한 역할을 합니다.

$\Delta _{p}$ 치수 $O_{p}$ p $\Delta _{p}$ \ $displaystyle$ \ Delta $_$ { $p}$ 및 $\Delta _{p}$ 표현 $\rho _{p}$ p \ $displaystyle \rho$ _ { $p$ 로 특징지어지는 모든 프라이머리 $O_{p}$ Op $O_{p}$ { $displaystyle$ O_{ $p$ 의 컬렉션을 이론의 스펙트럼이라고 부릅니다.

필드 위치에 대한 의존도

등각 변환 하에서의 상관 함수의 불변성은 필드 위치에 대한 의존성을 심각하게 제한한다.2점 및 3점 함수의 경우, 그 의존성은 최대 다수의 상수 계수까지 결정된다.고점 함수는 보다 자유도가 높고 위치 조합의 일치 불변 함수에 대해서만 결정됩니다.

두 개의 기본 필드의 2점 함수는 등각 치수가 다를 경우 사라집니다.

\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle = 0.}

확장 연산자가 대각선화 가능한 경우(즉, 이론이 로그가 아닌 경우), 2점 함수가 대각선인 1차 필드의 기초가 존재합니다. $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ , i $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ j $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ \ $display style$ i $\neq$ j $\display$ \ left \ $neq } O_{j}\0right$ .일드는

(\displaystyle\left\langle O(x_{1})O(x_{2}\right\rangle = specfrac {1} {x_{1}-x_{2} ^{2\Delta }}}.

여기서 우리는 등각 대칭에 의해 결정되지 않는 상수 계수가 1이 되도록 필드의 정규화를 선택한다.마찬가지로 비스칼라 프라이머리 필드의 2점 함수는 1로 설정할 수 있는 계수까지 결정된다. $\ell$ ${\$ { \ $displaystyle$ \ell $\ell$ 의 대칭 트레이스리스 텐서의 경우, 2점 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots,\mu _{\ell}}}(x_{1})O_{\nu _{1},\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle={i=1}^{\ell}I_{{\mu _{i},\nu _{i}}-{\nu _{1}-{\text{1}-{x}-{_{1}-{x}-{x}-{1}-{x}-{_{_1}-{x}}-{x}-{x}}-{x}-{x}}-{_{_1}-{_1}-}}}-{{

여기서 $I_{\mu ,\nu }(x)$ $I_{\mu ,\nu }(x)$ μ , $I_{\mu ,\nu }(x)$ ( x $){displaystyle I_{\mu,\nu }(x)}$ 는 $I_{\mu ,\nu }(x)$ 다음과 같이 정의됩니다.

I_{\mu,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}}{x^{2}}}.

3개의 스칼라 프라이머리 필드의 3포인트 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle = specfrac {C_{12}} {x_{12} ^{\Delta_{1} +\Delta_{13} ^{\Delta_{1} ^{\Delta_{23}}

$x_{ij}=x_{i}-x_{j}$ 서 x $x_{ij}=x_{i}-x_{j}$ j $=$ $x_{ij}=x_{i}-x_{j}$ i - $x_{ij}=x_{i}-x_{j}$ j({ $displaystyle$ x_{ $ij$ }= $x_{i}-x_{j$ $C_{123}$ $({$ 은 $C_{123}$ 3점 구조 상수입니다.반드시 스칼라일 필요는 없는 1차장의 경우, 컨포멀 대칭은 한정된 수의 텐서 구조를 허용하며, 각 텐서 구조에는 구조 상수가 있다.2개의 스칼라 필드와 $\ell$ 대칭의 트레이스리스 텐서 ${\(\displaystyle\ell$ 의 경우 텐서 구조는 1개뿐이며 3점 함수는 다음과 같다.

\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle = scfrac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}-{\text{\text}}}\right}_{x_12}^{Del}\Ta}_{{{{{{{}}}}}\}\Ta}_1}_{{{{\}\}_Ta}_{{{\}}}

여기서 우리는 벡터를 도입한다.

{\displaystyle V_{\mu }= flac {x_{13}^{{23}^{-x_{23}^{\mu}x_{13}^{2}{x_{13} x_{23}}}}.

스칼라 프라이머리 필드의 4점 함수는 2개의 교차 비율 중 임의의 $g(u,v)$ g $g(u,v)$ $g(u,v)$ ) { $displaystyle$ g $(u, v)}$ 까지 $g(u,v)$ 결정된다.

{{displaystyle u=svfrac {x_{12}^{2}x_{34}^2}{x_{2}\,\,v=svfrac {x_{14}^{2}x_{23}{x_2}{x_{13}^{2}{x_{24}^2}}{2}}.}

4점 함수는 다음과 같습니다^[11].

{\displaystyle\left\control_{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle = frfr frac { x _ { 24 } { x _ { 14 } } } \ right )^{ \델타 _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac { x_{14}}{x_{13}}}}\right)^{\델타 _{3}-\Delta _{4}}{ x_{12} ^{\Delta _{1}+\Delta _{2} ^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}g(u,v)}

오퍼레이터 제품 확장

연산자곱팽창(OP)은 일반 양자장 이론보다 등각장 이론에서 더 강력합니다.이것은 등각장 이론에서, 연산자 곱 팽창의 수렴 반경이 유한하기 때문이다(즉,^[12] 0이 아니다).두 필드의 $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ 1, $x_{1},x_{2}$ 2({ $style x_{1$ }, $x_{2})$ 가 $x_1,x_2$ 충분히 가깝다면 오퍼레이터 제품 전개는 이 두 필드의 곱을 특정 지점에서 필드의 선형 조합으로 고쳐 씁니다. 이 두 필드의 곱은 기술적 $x_{2}$ 를 $위해$ x $x_{2}$ 2({ $display$ style x_ ${2$ }})로 선택할 수 있습니다.

두 필드의 연산자 제품 확장은 다음 형식을 취합니다.

O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),

$c_{12k}(x)$ 서 c $c_{12k}(x)$ ( $c_{12k}(x)$ ) { $displaystyle c_{12k}(x)}$ 는 $c_{12k}(x)$ 계수 함수이며, 원칙적으로 합계는 이론의 모든 필드에 걸쳐 있습니다(동등하게, 상태-필드 대응에 의해, 합계는 상태 공간의 모든 상태에 걸쳐 있습니다).일부 필드는 특히 대칭의 제약으로 인해 실제로 존재하지 않을 수 있습니다. 즉, 등각 대칭 또는 추가 대칭입니다.

또는 하위 를 고쳐 쓰면 수 .

O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}}) O_{p}(x_{2}),

$O_{p}$ 서 필드 $(\$ 는 $O_{p}$ 모두 프라이머리이고 $(\$ 는 $C_{12p}$ 3점 구조 상수입니다(이 때문에 OPE 계수라고도 불립니다).미분 $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ p ( $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ - $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ 2, $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ ∂ $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ ) $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ { $displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial$ _ ${x_{2}})$ 는 $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ 등각 대칭에 의해 결정되므로 원칙적으로 알려진 도함수의 무한 급수입니다.

OPE를 상관 함수 간의 관계로 보면 OPE가 연관성이 있어야 한다는 것을 알 수 있습니다.또한, 공간이 유클리드인 경우, OPE는 교환적이어야 한다. 왜냐하면 상관 함수는 $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ 의 순서에 의존하지 않기 때문이다. $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ , $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ 1) $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ ( $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ ( $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ { $displaystyle$ O_ ${1$ } ( $x_{$ 1}) $O_{2}(x_{2})$ $=O_{2}(x_{$ $O_{1}(x_{1$

연산자 곱 확장의 존재는 컨포멀 부트스트랩의 기본 원칙입니다.그러나 일반적으로 연산자 곱의 확장을 계산할 필요는 없으며, 특히 미분 $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ p ( $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ - x $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ , $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ x $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ ) $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ { $displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2}}})\partial$ _ ${x_{$ 2 $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ displaystyle P_{p}( $x_$ {p}(x_{1}-x_{2}}})\displaystylemental _{p}}}}}}}}}}\discomparial_compative block으로 분해하는 것이 필요합니다.OPE는 원칙적으로 등각 블록을 계산하는 데 사용할 수 있지만 실제로는 더 효율적인 방법이 있습니다.

등각 블록 및 교차 대칭

$O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ ( $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ 1) $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ ( x $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ ) $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ { $displaystyle O_{1}$ ( $x_{1})$ 사용 $O_{2}(x_{2$ 4점 함수는 3점 구조 상수와 s-채널 컨포멀 블록의 조합으로 쓸 수 있다.

{\displaystyle\left\control_{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p}G_{p}^{(s)}(x_{i})}

적합 $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ p ( $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ ) ( $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ ) ${{$ $displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})$ 는 $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ 프라이머리 $O_{p}$ $O_{p}$ p $(\$ 와 $O_{p}$ 그 하위 필드의 기여 합입니다. $OI 필드$ 및 $위치$ 에 따라 달라집니다.3점 함수 $\left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle$ $\left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle$ $\left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle$ ${\$ { $displaystyle \ left$ \ $langle O_{1} O_{p}$ \ $right$ \ $rangle }$ 또는 $\left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle$ $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ ${\$ { $display$ \ $langle O_{ 3$ }의 경우 $}O_{4}O_{p}\right$ \rangle $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ }는 $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ 여러 독립적인 텐서 구조를 포함하며, 구조 상수와 등각 블록은 이러한 텐서 구조에 따라 달라지며, $O_{p}$ 필드 $O_{p}$ {\ $displaystyle O_{$ p}는 $O_{p}$ 여러 독립적인 블록을 기여한다 $.$ 컨포멀 블록은 컨포멀 대칭에 의해 결정되며 원칙적으로 알려져 있습니다.이를 계산하기 위해서는 재귀^[9] 관계와 통합 가능한 ^[13]기법이 있습니다.

$O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ ( x $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ ) $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ ( $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ 4 $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ ) { $displaystyle O_{1$ } ( $x_{1})$ 사용 $O_{4}(x_{4})$ $O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})$ $O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})$ $)$ { $display style$ O_ ${1}(x_{1})$ $O_{3}(x_{3$ 동일한 4점 함수는 t채널 적합 블록 또는 u채널 적합 블록에 대해 작성됩니다.

{\displaystyle\left\control_{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{p23}G_{p}{(t)}=\sum _{p}C_{13p}C_{p}{p}{p}{u(x})_i}.}

s채널, t채널 및 u채널 분해의 동일성을 교차 대칭이라고 합니다. 즉, 1차 필드의 스펙트럼과 3점 구조 상수에 대한 제약 조건입니다.

컨포멀 블록은 4점 함수와 동일한 컨포멀 대칭 제약 조건을 따릅니다.특히, s채널 컨포멀블록은 크로스 레이트의 $g_{p}^{(s)}(u,v)$ g $g_{p}^{(s)}(u,v)$ ( $g_{p}^{(s)}(u,v)$ ) ( $g_{p}^{(s)}(u,v)$ , v $g_{p}^{(s)}(u,v)$ ){ $display style g_{$ p}^{( $s)}(u,$ v)}의 $g_{p}^{(s)}(u,v)$ 관점에서 쓸 수 있다. $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ ( $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ 1) $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ ( $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ 2) $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ { $displaystyle O_{1}$ ( $x_{1})$ 동안 $O_{2}(x_{2})$ 은 $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ x $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ < $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ ( $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ , $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ 24 $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ { $display$ style $x_{12} <\min$ ( $x_{23}$ , $x_{24$ 의 $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$ 에만 수렴합니다. 등각 블록은 해당 위치의 모든 (쌍으로 일치하지 않는) 값에 해석적으로 연속할 수 있습니다.유클리드 공간에서 컨포메이션 블록은 4개의 $x_{i}$ $(\$ style $x_{i$ })가 $x_{i}$ 원 위에 있지만 단일 변환된 순환 순서[1324]에 있는 경우를 제외하고 위치의 단일값 실해석 함수이며, 이러한 예외적인 경우에만 컨포메이션 블록으로의 분해가 수렴되지 않는다.

따라서 평탄한 유클리드 $\mathbb {R} ^{d}$ R $\mathbb {R} ^{d}$ \ $displaystyle$ \mathbb { $R} ^{d$ }의 $\mathbb {R} ^{d}$ $\{(\Delta _{p},\rho _{p})\}$ 등각장 이론은 스펙트럼 $\{(\Delta _{p},\rho _{p})\}$ {( $δ$ p, $δ$ p ) $\{(\Delta _{p},\rho _{p})\}$ {\ $display \{display$ \ $style$ $\{(\Delta _{p},\rho _{p})\}$ \{ $p}})$ 및 OPEC $\{C_{pp'p''}\}$ (또는 3점 구조 상수 $\{C_{pp'p''}\}$ { $\{C_{pp'p''}\}$ p $}$ 로 정의된다 $\{C_{pp'p''}\}$ 모든 4점 함수가 교차 교차한다는 것을 강조합니다.스펙트럼과 OPE 계수(CFT 데이터 총칭)로부터 임의의 차수의 상관 함수를 계산할 수 있다.

등각장 이론의 특징

유니티

등각장 이론은 만약 그 상태 공간이 확장 연산자가 자기접합이 되도록 양의 유한 스칼라 곱을 갖는다면 통일적이다.그리고 스칼라 곱은 힐베르트 공간의 구조를 가진 상태 공간을 나타낸다.

유클리드 등각장 이론에서, 단일성은 상관 함수의 반사 양성과 동등하다: 오스터발더-슈레이더 ^[11]공리들 중 하나이다.

단일성은 기본 필드의 등각 치수가 실재하고 아래에서 경계가 있음을 의미합니다.하한은 시공간 $치수$ d(\ $displaystyle$ d $d$ 및 기본 필드가 변환되는 회전 또는 로렌츠 그룹의 표현에 따라 달라집니다.스칼라 필드의 경우 유니티 바운드는^[11] 다음과 같습니다.

{\displaystyle\Delta\geq{frac{1}{2}}(d-2).}

단일 이론에서, 3점 구조 상수는 반드시 실재해야 하며, 이는 다시 4점 함수가 특정한 부등식을 따른다는 것을 의미한다.강력한 수치 부트스트랩 방법은 이러한 부등식을 이용하는 것에 기초하고 있습니다.

콤팩트함

등각장론은 다음의 3가지 ^[14]조건을 만족하는 경우 콤팩트합니다.

모든 등각 치수는 실재합니다.
$\Delta \in \mathbb {R}$ 의 $\Delta \in \mathbb {R}$ R $(\$ 에 $\Delta \in \mathbb {R}$ 대해 치수가 $\Delta$ (\ $displaystyle\Delta$ 보다 작은 상태가 다수 존재합니다.
차원 $\Delta =0$ 0 { $displaystyle \Delta$ = $0$ 인 고유한 상태가 있으며, 진공 상태 즉, 해당 필드가 식별 필드입니다.

(identity 필드는 상관함수에 삽입해도 변경되지 않는 필드입니다.즉 $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ " $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ $x )"$ $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ " $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ " " $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ " $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ " \ $display$ \ $left$ \ \ $right$ \ $rangle$ = \ $left$ \ $cdots \ right$ \ $rangle$ } ) $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$ 。이 이름은 2D 컨포멀 필드 이론이 시그마 모델인 경우 대상 공간이 작을 경우에만 이러한 조건을 충족할 수 있다는 사실에서 유래했습니다.

$d>2$ 유니터리 컨포멀 필드 이론은 차원 d $d>2$ > $(\displaystyle$ d>2 $d>2$ 에서 콤팩트하다고 생각되며, 단위가 없으면 차원 4와 $4-\epsilon$ - ${\(\displaystyle 4-\epsilon)$ 에서 $4-\epsilon$ ^[16] 연속 스펙트럼을 갖는 CFT를 찾을 수 있다.그리고 2차원에서, Liouville 이론은 단일적이지만 콤팩트하지는 않습니다.

추가 대칭

등각장 이론은 등각대칭 외에 추가적인 대칭을 가질 수 있다.예를 들어, Ising $\mathbb {Z} _{2}$ 은 Z 2 $(\$ $\mathbb {Z} _{2}$ 을 가지며, 초정식 필드 이론은 초대칭입니다.

예

평균장론

일반화 자유장(Generalized Free Field)은 윅의 정리에 의해 상관함수가 2점 함수로부터 추론되는 장이다.예를 들어, $"\displaystyle$ $\phi$ 가 $\phi$ 치수 $δ$ 의 스칼라 프라이머리 필드일 경우 4점 함수는^[17] 다음과 같습니다.

\left \paramle _{i}\phi (x_{i}\rangle = phi frac {1} {x_{12} ^{2\Delta} ^{2\Delta}} ^{2\frac {13} ^{2\Delta}

예를 들어, $\phi _{1},\phi _{2}$ 1인 경우, ${\$ 2(\ $displaystyle$ \ $phi$ _{ $1},\phi$ _{ $2})$ 는 $\phi _{1},\phi _{2}$ $\langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0$ $\langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0$ ar 2 = 0 (\ $displaystyle \phi$ _ ${1}\phi$ _ ${2}\rangle$ $\Delta _{1}\neq \Delta _{2}$ $0}$ (\ $display$ 1DISPLAYSE $\Delta _{1}\neq \Delta _{2}$ 인 경우)와 같은 2개의 스칼라 프라이머리 필드입니다.

{\big \phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\big \rangle } =bigfrac {1}_{x}_Del_34}_1}

평균장 이론은 일반화된 자유장으로부터 만들어진 등각장 이론의 총칭이다.예를 들어 1개의 스칼라 프라이머리 필드 ${\(\displaystyle\phi$ 에서 평균 필드 이론을 구축할 수 있습니다. $\phi \phi$ 이론에는 ${\(\displaystyle\phi$ $)$ 와 그 하위 필드 및 OPE $(\$ $displaystyle\phi)$ 에 $\phi \phi$ 표시되는 필드가 포함됩니다 $.$ 4점 함수 $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ display $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ display $display$ $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ \ displaystyle \ $langle \phi \phi$ \phi \ $phi \$ rangle $}$ in $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ al ）^[17] determ determ determ determ determ determ 、 determ $2\Delta +2\mathbb {N}$ 2 、 $2\Delta +2\mathbb {N}$ 2 2 （ $displaystyle$ 2 \ $Delta$ + $2\Delta +2\mathbb {N}$ \ 2 \ $Delta$ + 2 \ $mathbb { N ）$ ）） mean { N mean { N } $2\Delta +2\mathbb {N}$ ） mean mean mean mean mean $2\Delta +2\mathbb {N}$ mean mean $2\Delta +2\mathbb {N}$

마찬가지로, 비사소한 로렌츠 스핀을 가진 장에서 시작하는 평균 장 이론을 구성할 수 있습니다.예를 들어, 4d Maxwell 이론은 (전하 물질장이 없는 경우) 스케일링 $\Delta =2$ $\Delta =2$ $=$ 2 ${\displaystyle$ \ $Delta$ $2$ }인 반대칭 $F_{\mu \nu }$ $F_{\mu \nu }$ $F_{\mu \nu }$ ${\$ ${\mu \nu }$ 로 $F_{\mu \nu }$ 이루어진 평균장 이론이다.

평균장 이론은 라플라시안을 임의의 실승으로 끌어올리는 2차 작용의 관점에서 라그랑지안 설명을 가지고 있다.일반적인 스케일링 치수의 경우 Laplacian의 검정력은 정수가 아닙니다.해당하는 평균장 이론은 국소적이지 않다(예: 보존된 응력 텐서 ^{[citation needed]}연산자가 없다).

크리티컬 아이징 모델

임계 Ising 모델은 2차원 또는 3차원의 초입방체 격자에 있는 Ising 모델의 임계점이다. $(\$ $\mathbb {Z} _{2}$ 대칭을 가지며, 모든 스핀을 플립하는 데 해당합니다.2차원 임계 Ising 모델에는 정확하게 풀 수 ${\mathcal {M}}(4,3)$ M ${\mathcal {M}}(4,3)$ ${\mathcal {M}}(4,3)$ , ${\mathcal {M}}(4,3)$ ) { $displaystyle$ { $mathcal$ { $M}}$ ( 4, $3$ ) Virasoro ${\mathcal {M}}(4,3)$ minimal model이 포함되어 있습니다.d $d\geq 4$ 4 ( \ $displaystyle d$ \ $geq$ 4 ) $d\geq 4$ 에는 $d\geq 4$ Ising CFT가 없습니다.

크리티컬 포트 모델

$q=2,3,4,\cdots$ $q=2,3,4,\cdots$ 2, $q=2,3,4,\cdots$ , 4, ${\$ { $displaystyle$ q $=$ 2, $3$ , 4 $,$ \ $cdots }$ $q=2,3,4,\cdots$ 의 $q=2,3,4,\cdots$ 크리티컬 포츠 모델은 치환 $S_{q}$ $S_{q}$ q { $displaystyle S_{q$ 에서 불변하는 유니터리 CFT입니다. 이는 $q=2$ $display$ $2$ 에 $q=2$ 하는 크리티컬 아이징 모델의 일반화입니다.중요 포트 모델은 q $\displaystyle$ q에 $따라$ 다양한 차원으로 존재합니다.

임계 포츠 모델은 d차원 초입방체 격자에서 포츠 모델의 연속 한계로 구성될 수 있다.클러스터 측면에서 Fortuin-Kastelyn의 재구성에서는 $(\$ q\ $in\mathbb {C$ 에 $q\in \mathbb {C}$ Potts 모델을 정의할 수 있지만q(\ $displaystyle$ q})가 $q$ 정수가 아닌 $경우$ 단일 모델이 아닙니다.

중요 O(N) 모델

임계 O(N) 모델은 직교 그룹 아래의 CFT 불변량입니다.임의의 $정수$ N $({displaystyle$ N $N$ 에 대해 d $=$ $d=3$ ({ $displaystyle$ d $=3$ } 치수 $d=3$ 및 N $N=1$ $({displaystyle$ N $=1})$ 의 $N=1$ $N=1$ 작용, 단일 및 콤팩트 CFT로 존재합니다. $이$ 는 N $=$ $style$ N=1)에서 O(N) CFT에 해당하는 중요 Ising 모델의 일반화입니다 $.$

O(N) CFT는 여기에서 논의된 N 벡터의 스핀을 갖는 격자 모델의 연속체 한계로 구성될 수 있다.

$O(N)$ 임계 $O(N)$ O ( $O(N)$ ) \ $displaystyle$ O ( $N$ ) can $d=4-\varepsilon$ $d=4-\varepsilon$ $\varepsilon \to 1$ \ $d=4-\varepsilon$ displaystyle \ $varepsilon$ \ $to$ 1 \ displaystyle → 4 - $d=4-\varepsilon$ \ $displaystyle$ d $= 4$ - ε \ $varepsilon$ $\varepsilon \to 1$ $}$ 치수로 $O(N)$ $d=4-\varepsilon$ $d=4-\varepsilon$ 할 수 있습니다. $\varepsilon =0$ $\varepsilon =0$ 0 { $displaystyle$ \ $varepsilon$ $= 0$ }에서 Wilson-Fisher 고정점은 치수 $\Delta =1$ $\Delta =1$ 1 { $displaystyle$ $\ Delta = 1$ $0<\varepsilon <1$ 인 $0<\varepsilon <1$ N{\ $displaystyle$ N $}$ 자유 $N$ 스칼라의 $텐서$ 곱이 됩니다. $0<\varepsilon <1$ 의 $0<\varepsilon <1$ 해당 모델은 비유니터리입니다.^[18]

N이 클 때, O(N) 모델은 Hubbard-Stratonovich 변환을 통해 1/N 팽창에서 섭동적으로 해결될 수 있다.특히, 임계 O(N) $N\to \infty$ 의 N $N\to \infty$ $∞$ \ $displaystyle N$ \ $to$ \ infty $N\to \infty$ } 한계를 $N\to \infty$ 잘 이해하고 있다.

등각 게이지 이론

3차원과 4차원의 일부 등각장 이론은 게이지 이론의 형태로 라그랑지안 기술을 아벨리안 또는 비벨리안 중 하나로 인정한다.이러한 CFT의 예로는 d $d=3$ ({ $displaystyle d=$ 3)의 $d=3$ 충전 필드가 충분히 많은 적합 QED 또는 d $d=4$ $({displaystyle$ d $=4$ 의 뱅크잭스 고정점이 있습니다.

적용들

연속적인 위상 전이

d 공간 차원을 갖는 고전 통계 물리학 시스템의 연속 위상 전이(임계점)는 종종 유클리드 등각장 이론으로 설명된다.이를 위해 필요한 조건은 공간 회전 및 변환 시 임계점이 불변해야 한다는 것입니다.그러나 이 조건은 충분하지 않다. 일부 예외적인 임계점은 척도 불변으로 설명되지만, 일치 불변 이론은 아니다.고전 통계 물리학 시스템이 반사 양의 경우, 임계점을 설명하는 해당 유클리드 CFT는 단일화될 것이다.

D 공간 차원을 가진 응축 물질 시스템에서 연속적인 양자 위상 전이는 로렌츠 D+1 차원 컨포멀 필드 이론(D+1 차원에서의 유클리드 CFT에 대한 위크 회전에 의해 관련됨)에 의해 설명될 수 있다.변환 및 회전 불변성과 별도로, 이를 위해 필요한 추가 조건은 동적 임계 지수 z가 1과 같아야 한다는 것이다. 그러한 양자 위상 전이를 기술하는 CFT는 (급랭 무질서가 없는 경우) 항상 통일적이다.

끈 이론

끈 이론의 월드 시트 기술에는 동적 2차원 양자 중력(또는 초중력 이론의 경우 초중력)과 결합된 2차원 CFT가 포함됩니다.끈 이론 모델의 일관성은 이 CFT의 중심 전하(보손 끈 이론에서는 c=26, 슈퍼 끈 이론에서는 c=10)에 제약을 가한다.끈 이론이 존재하는 시공간 좌표는 이 CFT의 보손장에 해당합니다.

AdS/CFT 대응

등각장 이론은 AdS/CFT 대응에서 중요한 역할을 하는데, AdS 공간(AdS)의 중력 이론은 AdS 경계에서의 등각장 이론과 같다.주목할 만한 예 d다=4, N=4초대칭성 Yang–Mills 이론은 이중에 형식 국제 투자 은행 끈 이론에 AdS5 × S5, d=3, N=6super-Chern–Simons 이론은 이중에 M이론에 AdS4×S7.(접두사"슈퍼"을 나타내초대칭성, N을 나타내는 정도의 확장 초대칭성 홀린 그 이론, 그리고 d 수 space-tim.ed경계상의 치수).

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

Wikimedia Commons의 Conformal 필드 이론 관련 매체

[1] Paul Ginsparg(1989), 응용 등각장론. arXiv:hep-th/9108028.Ecole d'Eté de Ficture Théorque에 게재: E. Brézin과 J. Zinn-Justin, Elsevier Science Publisher B.V.의 편집자, Champs, cordes et phénoménes critical/Fields, string and critical expositions.

[Polchinski88-2] Polchinski, Joseph (1988). "Scale and conformal invariance in quantum field theory". Nuclear Physics B. Elsevier BV. 303 (2): 226–236. Bibcode:1988NuPhB.303..226P. doi:10.1016/0550-3213(88)90179-4. ISSN 0550-3213.

[3] 물리적인 예로는 2차원 및 3차원의 탄성 이론(게이지 불변성 없는 벡터장 이론이라고도 함)이 있습니다.참조

[BPZ-4] Belavin, A.A.; Polyakov, A.M.; Zamolodchikov, A.B. (1984). "Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory" (PDF). Nuclear Physics B. 241 (2): 333–380. Bibcode:1984NuPhB.241..333B. doi:10.1016/0550-3213(84)90052-X. ISSN 0550-3213.

[BYB-5] P. 디 프란체스코, P. 마티외, D.Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

[raj11-6] M. A. Rajabpour (2011). "Conformal symmetry in non-local field theories". JHEP. 06 (76): 76. arXiv:1103.3625. Bibcode:2011JHEP...06..076R. doi:10.1007/JHEP06(2011)076. S2CID 118397215.

[zam86-7] Zamolodchikov, A. B. (1986). ""Irreversibility" of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory" (PDF). JETP Lett. 43: 730–732. Bibcode:1986JETPL..43..730Z.

[lm75-8] Lüscher, M.; Mack, G. (1975). "Global conformal invariance in quantum field theory". Communications in Mathematical Physics. 41 (3): 203–234. Bibcode:1975CMaPh..41..203L. doi:10.1007/BF01608988. ISSN 0010-3616. S2CID 120910626.

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[10] Francesco, Philippe (1997). Conformal Field Theory. New York, NY: Springer New York. p. 104. ISBN 978-1-4612-2256-9.

[prv18-11] Poland, David; Rychkov, Slava; Vichi, Alessandro (2019). "The conformal bootstrap: Theory, numerical techniques, and applications". Reviews of Modern Physics. 91 (1): 15002. arXiv:1805.04405. Bibcode:2019RvMP...91a5002P. doi:10.1103/RevModPhys.91.015002. ISSN 0034-6861. S2CID 119317682.

[Pappadopulo12-12] Pappadopulo, Duccio; Rychkov, Slava; Espin, Johnny; Rattazzi, Riccardo (2012-08-31). "Operator product expansion convergence in conformal field theory". Physical Review D. 86 (10): 105043. arXiv:1208.6449v3. Bibcode:2012PhRvD..86j5043P. doi:10.1103/PhysRevD.86.105043. S2CID 119155687.

[is18-13] Isachenkov, Mikhail; Schomerus, Volker (2018). "Integrability of conformal blocks. Part I. Calogero-Sutherland scattering theory". Journal of High Energy Physics. 2018 (7): 180. arXiv:1711.06609. Bibcode:2018JHEP...07..180I. doi:10.1007/JHEP07(2018)180. ISSN 1029-8479.

[br19-14] Binder, Damon; Rychkov, Slava (2020), "Deligne categories in lattice models and quantum field theory, or making sense of O(N) symmetry with non-integer N", Journal of High Energy Physics, 2020 (4): 117, arXiv:1911.07895, Bibcode:2020JHEP...04..117B, doi:10.1007/JHEP04(2020)117, S2CID 208158396

[15] Levy, T.; Oz, Y. (2018). "Liouville Conformal Field Theories in Higher Dimensions". JHEP. 1806 (6): 119. arXiv:1804.02283. Bibcode:2018JHEP...06..119L. doi:10.1007/JHEP06(2018)119. S2CID 119441506.

[jm18-16] Ji, Yao; Manashov, Alexander N (2018). "On operator mixing in fermionic CFTs in non-integer dimension". Physical Review. D98 (10): 105001. arXiv:1809.00021. Bibcode:2018PhRvD..98j5001J. doi:10.1103/PhysRevD.98.105001. S2CID 59401427.

[fkps12-17] Fitzpatrick, A. Liam; Kaplan, Jared; Poland, David; Simmons-Duffin, David (2013). "The analytic bootstrap and AdS superhorizon locality". Journal of High Energy Physics. 2013 (12): 004. arXiv:1212.3616. Bibcode:2013JHEP...12..004F. doi:10.1007/jhep12(2013)004. ISSN 1029-8479. S2CID 45739036.

[18] Hogervorst, Matthijs; Rychkov, Slava; van Rees, Balt C. (2016-06-20). "Unitarity violation at the Wilson-Fisher fixed point in 4 − ε dimensions". Physical Review D. 93 (12): 125025. arXiv:1512.00013. doi:10.1103/PhysRevD.93.125025. ISSN 2470-0010. S2CID 55817425.

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v t 통계역학
Theory	Principle of maximum entropy ergodic theory
Statistical thermodynamics	Ensembles partition functions equations of state thermodynamic potential: U H F G Maxwell relations
Models	Ferromagnetism models Ising Potts Heisenberg percolation Particles with force field depletion force Lennard-Jones potential
Mathematical approaches	Boltzmann equation H-theorem Vlasov equation BBGKY hierarchy stochastic process mean-field theory and conformal field theory
Critical phenomena	Phase transition Critical exponents correlation length size scaling
Entropy	Boltzmann Shannon Tsallis Rényi von Neumann
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스케일 불변성 vs 준거 불변성

2차원 대 고차원

2차원에서의 글로벌과 로컬의 등각대칭

비라소로 대칭대수를 이용한 등각장 이론

등각대칭

정의와 야코비안

등각군

등각 대수

민코프스키 공간의 글로벌 이슈

상관 함수 및 적합 부트스트랩

컨포멀 변환 시의 동작

필드 위치에 대한 의존도

오퍼레이터 제품 확장

등각 블록 및 교차 대칭

등각장 이론의 특징

유니티

콤팩트함

추가 대칭

예

평균장론

크리티컬 아이징 모델

크리티컬 포트 모델

중요 O(N) 모델

등각 게이지 이론

적용들

연속적인 위상 전이

끈 이론

AdS/CFT 대응

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정의와 야코비안

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상관 함수 및 적합 부트스트랩

컨포멀 변환 시의 동작

필드 위치에 대한 의존도

오퍼레이터 제품 확장

등각 블록 및 교차 대칭

등각장 이론의 특징

유니티

콤팩트함

추가 대칭

예

평균장론

크리티컬 아이징 모델

크리티컬 포트 모델

중요 O(N) 모델

등각 게이지 이론

적용들

연속적인 위상 전이

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