추상세포복합체

Abstract cell complex

수학에서 추상 세포 콤플렉스는 알렉산드로프 위상과의 추상적인 집합으로, 차원이라고 하는 비 음의 정수 숫자를 각 점에 할당한다.이 단지는 '셀'이라고 불리는 포인트가 유클리드, CW단지처럼 하우스도르프 공간의 서브셋이 아니기 때문에 '추상'으로 불린다.추상 세포 콤플렉스는 이미지 분석과 컴퓨터 그래픽에 중요한 역할을 한다.

역사

추상 세포 콤플렉스(추상 세포 콤플렉스라고도 한다)의 아이디어는 J. Listing(1862)과 E와 관련이 있다. 슈타이니츠(1908)[3]또한 A.W 터커(1933년),[4][5] K. 레이데미스터(1938년), P.S 알렉산드로프(1956년), R. 클렛과 A.로젠펠드(2004)는 추상적인 세포 콤플렉스를 묘사했다.E. Steinitz는 추상적인 세포 를C= (E, m ){\로 정의했는데 여기서 E는 추상적인 집합이며, B는 E의 요소들 사이의 경계 관계라고 불리는 비대칭적이고 불변적이며 전이적인 이진관계이며, 딤은 그러한 방식으로 E의 각 요소에 비음 정수를 할당하는 기능이다. B ) 이가) 있다면, () m )V. Kovalevsky(1989)는 3D 이상 치수에 대한 추상적인 세포 콤플렉스를 묘사했다.그는 또한 이미지 분석에 많은 응용 프로그램을 제안했다.그의 저서(2008)에서 그는 추상 세포 복합체의 일반화인 국소 유한 위상학적 공간에 대한 자명한 이론을 제시했다.이 책에는 미터법과 무관한 위상학적 공과 구에 대한 새로운 정의, 결합 다지관의 새로운 정의, 이미지 분석에 유용한 많은 알고리즘이 수록되어 있다.

기본결과

추상 세포 복합체의 위상은 그 점이나 세포 집합의 부분적 순서에 기초한다.

E가 정의한 추상 세포 복합체의 개념.Steinitz는 추상적인 단순화 복합체의 개념과 관련이 있으며, 그 요소들이 단순화되지 않는다는 특성에 의한 단순화 복합체와는 다르다.추상 콤플렉스의 n차원 요소는 n+1 0차원 면을 가지면 안 되며, 셀의 0차원 면 집합의 각 부분집합이 셀이 되어서는 안 된다.이는 추상적인 셀 콤플렉스의 개념이 이미지 처리에 사용되는 2차원 및 3차원 그리드에 적용될 수 있기 때문에 중요한데, 이는 단순화된 콤플렉스에 해당되지 않는다.비-심폐 복합체는 셀 좌표의 도입을 가능하게 하는 일반화다.이러한 "선형" 1차원 복합체의 데카르트 산물인 비심형 복합체들이 있는데, 이들 중 2개 외에도 각 0차원 셀이 정확히 2개의 1차원 셀을 경계한다.그러한 데카르트 콤플렉스만이 각각의 셀이 일련의 좌표를 가지고 있고 어떤 두 개의 다른 셀이 다른 좌표 세트를 가지고 있는 그러한 좌표를 도입하는 것을 가능하게 한다.좌표 집합은 단지 처리 시 중요한 단지의 각 셀의 명칭으로 기능할 수 있다.

추상적 콤플렉스는 그리드에 고전적 위상(알렉산드로프-토폴로지)을 도입하여 디지털 이미지 처리의 기초가 되게 한다.이러한 가능성은 추상적인 세포 복합체의 큰 장점을 규정한다.연결 개념과 하위 집합의 경계를 정확하게 정의할 수 있게 된다.세포 및 복합체의 치수에 대한 정의는 일반적으로 단순화 복합체의 치수와 다르다(아래 참조).

추상 세포 복합체의 개념은 본질적으로 CW 복합체의 개념과 다르다. 왜냐하면 추상 세포 복합체는 하우스도르프 공간이 아니기 때문이다.컴퓨터 안에서 비분해적인 하우스도르프 공간을 명시적으로 나타내는 것은 불가능하기 때문에 컴퓨터 과학의 관점에서 이것은 중요하다.(그런 공간에 있는 각 점의 주변은 무한히 많은 점을 가지고 있어야 한다.)

V. 코발레프스키가 쓴 이 책에는 추상 세포 복합체의 일반화인 국소 유한 공간 이론에 대한 설명이 들어 있다.국소적으로 유한한 공간 S는 S의 각 점 P에 대해 S의 부분 집합이 정의되는 지점의 집합이다.제한된 수의 점을 포함하는 이 부분집합을 P의 가장 작은 근린이라고 한다. 이항 근린 관계는 국소적으로 유한한 공간 S의 점 집합에서 정의된다: 요소(점) b는 요소 a의 가장 작은 근린에 속하는 경우 요소 a와 근린 관계에 있다.국지적으로 유한한 공간의 새로운 공리가 공식화되었으며, 근린관계가 반대칭적이고 전이적인 경우에만 공간 S가 공리에 따른다는 것이 증명되었다.근린관계는 역행관계의 반사적 선체다.위상의 고전적 공리는 새로운 공리로부터 이론으로 추론할 수 있다는 것을 보여주었다.따라서 새로운 공리를 만족하는 국소적으로 유한한 공간은 고전적인 위상학적 공간의 특별한 경우다.그것의 위상은 포셋 위상 또는 알렉산드로프 위상이다.추상 세포 복합체는 각 점에 대해 치수가 정의되는 국소적으로 유한한 공간의 특별한 경우다.추상 세포 복합체의 세포 c의 치수가 복합체의 어떤 세포에서 세포 c로 이어지는 최대 경계 경로의 길이(세포 수 - 1)와 동일하다는 것이 입증되었다.경계 경로는 각 셀이 다음 셀을 경계하는 셀의 순서다.이 책은 2D 콤플렉스의 디지털 직선 세그먼트 이론, 2D와 3D의 경계를 추적하는 수많은 알고리즘을 담고 있으며, 경제적으로 경계를 인코딩하고 경계 코드에서 서브셋을 정확히 재구성하기 위한 것이다.

추상 셀 복합 디지털 이미지 표현

3x4 디지털 이미지가 추상 셀 복합체 치수 구성요소로 분해됨.

디지털 이미지는 포인트(0-셀), 균열/에지(1-셀), 픽셀/페이스(2-셀) 등 ACC 치수 구성요소로 이미지를 분해하여 2D 추상 셀 복합체(ACC)로 나타낼 수 있다.

디지털 이미지 ACC 좌표 할당

영상 픽셀에서 치수 성분으로 좌표를 명확하게 할당하기 위한 좌표 할당 규칙과 함께 이러한 분해는 균열 경계 추적, 디지털 직선 세그먼트 분할 등과 같은 우아한 알고리즘을 사용하여 영상에서 특정 영상 분석 작업을 수행할 수 있도록 허용한다.그러한 규칙 중 하나는 픽셀의 왼쪽 상단 좌표에 포인트, 균열 및 면도를 매핑한다.이러한 치수 구성요소는 자신의 데이터 구조로 명시적인 변환을 요구하지 않지만, 디지털 이미지의 일반적인 데이터 구조 표현인 2D 어레이와 암묵적으로 이해되고 관련될 수 있다.이 좌표 할당 규칙과 각 셀 사건을 이 영상에 렌더링하는 것이 오른쪽 영상에 묘사되어 있다.

참고 항목


참조

  1. ^ 라인하르트 클렛:세포는 시간을 통해 복잡해진다.http://spie.org/Publications/Proceedings/Paper/10.1117/12.404813
  2. ^ J. 목록: "Der Census raumlicher Complexe".Abhandlungen der Königlichen Geselschaft der Wissenschaften Zu Götingen, v. 10, Götingen, 1862, 97–182.
  3. ^ 스타이니츠 E. : "Beitrége jur 분석"1908년 7월 7일, 29-49일, 시퉁스베리히트 베를린 사람 수학천 게셀샤프트.
  4. ^ 터커 A.W.: "다지관에 대한 추상적 접근", 실록 수학, v. 34, 1933, 191-243.
  5. ^ 레이데마이스터 K.: "토폴로지 데 폴리네르와 콤비네토리스체 토폴로지 데 콤플렉스"Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 라이프치히, 1938년 (제2판 1953)
  6. ^ 알렉산드로프 PS: 조합 토폴로지, 그레이록 프레스, 로체스터, 1956,
  7. ^ 클렛 R.와 로젠펠드.A.: "디지털 기하학", 2004년.
  8. ^ V. Kovalevsky, V.: "이미지 분석에 적용된 최종 토폴로지", 컴퓨터 비전, 그래픽 및 이미지 처리, v. 45, 2번, 1989, 141–161.
  9. ^ http://www.geometry.kovalevsky.de.
  10. ^ V. 코발렙스키: "지역 유한공간의 측량"편집소 베르벨 코발레프스키 박사, 2008년 베를린 ISBN978-3-9812252-0-4.