추상적 단순화 복합체

3차원 추상 단순화 복합체의 기하학적 구현

조합학에서 추상적 단순화 콤플렉스(ASC)는 하위 집합을 취하면서 닫히는 집합의 집합으로, 즉, 집합의 모든 부분 집합은 또한 가족 내에 있다.그것은 단순한 콤플렉스의 기하학적 개념에 대한 순전히 조합적인 설명이다.^[1]예를 들어 2차원 단순화 콤플렉스에서 패밀리의 집합은 삼각형(크기 3의 집합), 모서리(크기 2의 집합), 정점(크기 1의 집합)이다.

모성애와 탐욕의 맥락에서 추상적 단순화 콤플렉스는 독립체제라고도 불린다.^[2]

추상 단순화는 스탠리-라이스너 링을 형성하여 대수학적으로 연구될 수 있다; 이것은 결합학 및 정류 대수학 사이의 강력한 관계를 설정한다.

정의들

집합 S의 비어 있지 않은 유한 부분 집합의 $Δ$ 를 집합 집합 집합이라고 한다.

집합군 $Δ$ 는 $Δ$ 의 모든 집합 $X$ 와 모든 비어 있지 않은 부분 $집합$ Y $x$ X에 대해 $집합$ $Y$ 도 Δ에 속한다면 추상적 단순화 콤플렉스라고 불린다.

$Δ$ 에 속하는 유한집합은 콤플렉스의 $면$ 이라고 하며, $면$ $Y$ 는 Y $x$ X에 속한다고 하니, 추상적인 단순화 콤플렉스의 정의는 콤플렉스 $Δ$ 의 면 하나하나가 $Δ$ 의 면 하나하나가 Δ의 면 하나하나가 그 자체라고 말하는 것으로서 재작성할 수 있다. $Δ$ 의 정점 집합은 $V (Δ)$ = $Δ$ 의 모든 면의 결합인 $Δ$ 로 정의된다.정점 집합의 원소를 콤플렉스의 정점이라고 한다. $Δ$ 의 모든 정점 v에 대해 집합 {v}은 콤플렉스의 면이며, 콤플렉스의 모든 면은 정점 집합의 유한 부분 집합이다.

$Δ$ (즉, 다른 면의 하위 집합이 아닌 면)의 최대 면은 복합체의 면이라고 한다. $Δ$ 에서 면 $X$ 의 치수는 $딤(X)$ = $X$ - $1$ : 단일 원소로 구성된 면은 0차원, 두 원소로 구성된 면은 1차원 등으로 정의된다. $복합체$ 딤 $(Δ)$ 의 치수는 그 면의 어떤 면의 가장 큰 치수, 또는 면의 치수에 유한한 구속이 없는 경우 무한대로 정의된다.

복합 $Δ$ 는 표면이 미세하게 많으면 유한하거나, 정점 세트가 유한하면 동등하게 유한하다고 한다.또한 $Δ$ 는 유한 차원(그러나 반드시 유한한 것은 아님)이고 모든 면에 동일한 치수가 있으면 순수하다고 한다.즉 $Δ$ 는 딤( $Δ)$ 이 유한하고 모든 얼굴이 치수 $딤(Δ)$ 의 면에 포함되어 있으면 순수하다.

1차원 추상적 단순화 콤플렉스는 수학적으로 단순한 비방향 그래프와 동등하다. 콤플렉스의 꼭지점 집합은 그래프의 꼭지점 집합으로 볼 수 있으며, 콤플렉스의 2요소 면은 그래프의 비방향 가장자리에 해당한다.이 보기에서 콤플렉스의 1요소 면은 입사 모서리가 없는 분리된 정점에 해당한다.

$Δ$ 의 하위 콤플렉스는 L의 모든 $면$ 이 Δ에 속할 정도로 추상적인 단순 복합체 L이다. $즉$ , L and $Δ$ 와 L은 추상적인 단순 복합체다. $Δ$ 의 단일 면의 모든 부분 집합으로 구성된 하위 복합체를 흔히 $Δ$ 의 단순함이라고 부른다.(그러나 일부 저자는 비추상적(기하학) 단순화 용어와 유사하게 얼굴 및 얼굴 관련 하위 복합체 모두에 대해 "단순함"이라는 용어를 사용한다.모호함을 피하기 위해, 우리는 추상적인 콤플렉스의 맥락에서 얼굴을 "단순함"이라는 용어를 이 글에서 사용하지 않는다.)

$Δ$ 의 d-골격은 $Δ$ 의 모든 면으로 구성된 $Δ$ 의 하위 복합체로서 최대 d의 치수를 가진다.특히 1-골격은 $Δ$ 의 기초 그래프로 불린다. $Δ$ 의 0골격은 정점 집합으로 식별할 수 있다. 단, 정점 집합은 정점 집합 전체가 하나의 집합인 반면, 정점 집합은 단일 요소 집합이다.

흔히 $Δ/ Y$ 또는 $lk Δ (Y$ )로 표시되는 면 $Y$ 의 링크는 $Δ$ /Y 또는 lk(Y)로 정의되는 Δ의 하위 복합체다.

\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothy,\,X\cup Y\in \Delta \}

빈 집합의 링크는 $Δ$ 그 자체라는 점에 유의하십시오.

$Δ$ 와 $Δ$ 라는 두 개의 추상적 단순화 콤플렉스를 감안할 때, $Δ$ 의 정점에 $Δ$ 의 정점을 매핑하는 함수 $f$ 이며, $Δ$ 의 어떤 면 $X$ 에 대해서도 이미지 $f$ ( $X)$ 는 $Δ$ 의 면이라는 특성을 가지고 있다.추상적 단순화 콤플렉스를 대상으로 한 SCpx, 단순화 맵을 형태론으로 한 범주가 있다.이는 비추상적 단순화 단지를 사용하여 정의한 적합한 범주에 해당한다.

더욱이, 범주형 관점은 추상적 단순화 복합체 $Δ$ 의 기초 집합 S와 $Δ$ 의 정점 $집합$ V $(Δ)$ Δ $S$ 사이의 관계를 강화할 수 있도록 한다: 추상적 단순화 복합체의 범주를 정의할 목적으로, $V (Δ)$ 에 속하지 않는 S의 요소는 무관하다.더 정확히 말하면, SCPx는 다음과 같은 범주와 동일하다.

물체는 모든 단골격을 포함하는 비빈 유한 부분 집합 $Δ$ 가 장착된 집합 S로, $X$ 가 $Δ$ 에 $있고$ Y ⊆ $X$ 가 비어 있지 않으면 $Y$ 도 $Δ$ 에 속한다.
$(S, Δ)$ 에서 $(T, Δ)$ 까지의 형태론은 $Δ$ 의 어떤 원소의 이미지가 $Δ$ 의 원소인 $f$ : S → T $함수$ 다.

기하학적 실현

우리는 추상적인 단순화 복합체 K와 연관시킬 수 있는데 $|K|$ 그것은 기하학적 실현이라고 불리는 위상학적 $|K|$ K $displaystyle$ K $}$ 를 단순화 복합체의 매개체라고 할 수 있다.공사는 다음과 같다.

먼저 $|K|$ $displaystyle$ K $}$ 을 $[0,1]^{S}$ 를) [ $[0,1]^{S}$ $[0,1]^{S}$ $[0,1]^{S}$ $[0,1]^{S}$ ${\$ 의 하위 집합으로 $|K|$ 정의하십시오. ${S}$ 은(는) $t\colon S\to [0,1]$ 두 조건을 만족하는 $t\colon S\to [0,1]$ 함수 t $t\colon S\to [0,1]$ : S $t\colon S\to [0,1]$ → $t\colon S\to [0,1]$ [ $t\colon S\to [0,1]$ , $t\colon S\to [0,1]$ $t\colon S\to [0,1]$ $t\colon S\to [0,1]$ 로 구성된다 $[0,1]^{S}$ .

\{s\in S:t_{s}>0\}\in K

\sum _{s\in S}t_{s}=1

$[0,1]^{S}$ [ $[0,1]^{S}$ $[0,1]^{S}$ $[0,1]^{S}$ S ${\$ 의 요소 집합을 생각해 보십시오. ${$ $[0,1]^{A}$ $}$ 은 $[0,1]^{A}$ 는) [ 0, 1 $[0,1]^{A}$ $[0,1]^{A}$ {\ $디스플레이$ 스타일 [ $0,1]^$ 의 직접 한계로서 유한 지원을 받는 경우 $[0,1]^{S}$ ${A}$ 여기서 $[0,1]^{A}$ A는 S의 유한 부분 집합에 걸쳐 있으며, 유도 위상(direct limited topology)을 제공한다.이제 $|K|$ $displaystyle$ K $}$ 에 하위 $|K|$ 공간 토폴로지를 부여하십시오.

또는 ${\mathcal {K}}$ ${\$ 이(가) $K$ 의 면과 형태변환이 포함된 범주를 나타내도록 ${\mathcal {K}}$ 한다.다음으로 $K$ 의 꼭지점 집합에서 전체 순서를 선택하고 ${\mathcal {K}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{K}}$ 의 functor F를 다음과 같이 위상학적 공간의 범주로 정의한다 ${\mathcal {K}}$ .치수 n의 K에 있는 면 X의 경우, $F (X)$ = $Δ$ 를ⁿ 표준 n-심플렉스라고 한다.그런 다음 정점 세트의 순서는 통상적인 $방법$ 으로₀ 순서가 $정해진$ X $원소$ 와ⁿΔ의 정점 사이의 고유한 편차를 $지정$ 한다₁ $.$ $Y is$ $X$ 가 치수 $m n$ < $n$ 의 면이라면, 이 $편차$ 는ⁿ Δ의 고유한 m차원 면을 지정한다. $F$ (Y $)$ → $F(X)$ 를 $Δ$ 의ⁿ 구별되는 면으로서 $Δ$ 의^m 고유한 아핀 선형 내장이 되도록 정의하여 정점 위의 지도가 순서를 보존하도록 한다.

그런 다음 우리는 Functor F의 콜리미트로 기하학적 $|K|$ 실현 $|K|$ $displaystyle$ K $}$ 을 정의할 수 있다.좀 더 구체적으로 $|K|$ K $displaystyle$ K $}$ 은 $|K|$ (는) 분리노조의 지분의 공간이다.

\coprod _{X\in K}{F(X)}}}

모든 포함 $Y$ $for$ $X$ 에 대해 $지도 F(Y)$ → F( $X$ ) 아래에 있는 이미지와 함께 점 $y$ ∈ $F (Y)$ 를 식별하는 동등성 관계에 의해 $.$

유한 케이스

K가 유한하다면 $|K|$ $displaystyle$ K $}$ 을(를) 좀더 간단하게 $|K|$ 설명할 수 있다.충분히 높은 치수 N의 $\mathbb{R} ^{N}$ 일부 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{N}$ $\mathbb {R} ^{N}$ ${\$ 의 부속품으로 K의 꼭지점 집합의 내장을 선택한다.그런 다음 K의 어떤 면 X는 해당 내장 정점에 의해 확장된 $\mathbb {R} ^{N}$ $\mathbb {R} ^{N}$ $\mathbb {R} ^{N}$ ${\$ 의 기하학적 심플렉스 로 식별할 수 있다. $|K|$ $displaystyle K}$ 을(를) 이러한 모든 단순함의 조합으로 삼으십시오 $|K|$ .

$|K|$ 가 표준 조합 n-심플렉스라면 K $displaystyle$ K $}$ 을(를) Δ로 자연스럽게 $식별$ 할ⁿ 수 있다 $|K|$ .

예

1. V를 카디널리티 $n$ + $1$ 의 유한 집합으로 한다.정점 집합 V가 있는 조합 n-심플렉스(bominatorial n-simplex)는 얼굴이 모두 V의 하위 집합(즉, V의 전원 집합)인 ASC이다. $V$ = $S =$ ${0,$ 1, $...,$ $n}$ 인 경우 이 ASC를 표준 결합기 n-심플렉스라고 한다.

2. G를 비방향 그래프로 삼아라.G의 clique complex는 ASC이며, 얼굴은 모두 G의 clique(완전한 subgraph)이다.G의 독립 콤플렉스는 ASC로서 얼굴은 모두 G의 독립 세트(G의 보완 그래프의 클라이크 콤플렉스)이다.클라이크 콤플렉스는 국기 콤플렉스의 원형적 사례다.국기 콤플렉스란 한 쌍의 원소가 K의 면에 속하는 모든 원소가 그 자체로 K의 면이라는 속성을 가진 복합 K이다.

3. H를 하이퍼그래프가 되게 하라.H의 일치는 H의 가장자리 집합으로, 두 가장자리가 모두 분리된다.H의 매칭 콤플렉스는 얼굴이 모두 H의 매칭인 ASC이다.H의 선 그래프의 독립 콤플렉스다.

4. P를 부분적으로 주문한 세트(포셋)가 되게 한다.P의 오더 콤플렉스는 얼굴이 모두 P의 유한체인 ASC이다.그것의 호몰로지 그룹들과 다른 위상학적 불변들은 poset P에 대한 중요한 정보를 포함하고 있다.

5. M을 미터법으로 하고 Δ를 실수로 한다.베토리스-립스 콤플렉스는 ASC로서 얼굴은 지름이 Δ인 M의 유한 부분 집합이다.호몰로지 이론, 쌍곡선 그룹, 이미지 처리, 모바일 애드혹 네트워킹 등의 응용 프로그램을 가지고 있다.그것은 국기 콤플렉스의 또 다른 예다.

6. $I$ {\ $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $I}$ 을(를) 다항 링 S $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ = $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ [ $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ , $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ … , $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ {\ $displaystyle$ S= $K[x_{1},\dots ,x_{n}}}}($ 변수의 하위 집합 제품에서 생성되는 이상)에 제곱이 없는 단항 이상적이 되게 $I$ 하라.Then the exponent vectors of those square-free monomials of $S$ that are not in $I$ determine an abstract simplicial complex via the map $\mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}$ . In fact, there is a bijection b $등간$ (비어 있지 않음) N 정점과 $S$ 에서 사각형이 없는 단일 이상에 대한 추상적 단순화 콤플렉스.If $I_{\Delta }$ is the square-free ideal corresponding to the simplicial complex $\Delta$ then the quotient $S/I_{\Delta }$ is known as the Stanley–Reisner ring of ${\Delta }$ .

7. 위상학적 공간의 C를 덮는 열린 모든 것에 대해, C의 신경 복합체는 비어 있지 않은 교차점이 있는 C의 하위 패밀리를 포함하는 추상적인 단순화 복합체다.

열거

최대 n개의 라벨 부착 요소(n 크기의 S 집합에 있음)에 있는 추상적 단순 복합체의 수는 n번째 데데킨트 수보다 1개 적다.이러한 숫자는 매우 빠르게 증가하며, $n$ ≤ $8$ 에만 알려져 있다. 데데킨드 숫자는 (n = 0으로 시작) 다음과 같다.

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787(시퀀스 A014466 in OEIS).

이

는 n 집합의 하위 집합의 비어 있지 않은 반제점의 수에 해당한다.

정점이 정확히 n개 라벨로 표시된 요소의 수는 n = 1로 시작하는 "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209320320359966"(OEIS의 순서 A006126) 순서로 지정된다.이는 n-set의 반물질 커버 수에 해당하며, 최대 면의 측면에서 기술된 n-set와 n-set의 반물질 커버 사이에 분명한 편차가 있다.

정확히 n개의 라벨이 부착되지 않은 요소에 대한 추상적 단순화 콤플렉스의 수는 n = 1로 시작하는 "1, 2, 5, 20, 180, 16143"(OEIS의 순서 A006602)의 순서로 주어진다.

다른 개념과의 관계

증축 속성 또는 교환 속성이라고 불리는 추가적인 속성을 가진 추상적인 단순화 단지는 매트로이드(matroid)를 산출한다.다음 표현은 용어 간의 관계를 보여준다.

하이퍼그래프스 = SET-FAMILD-SYSTEMs = 추상-심층-복합체 ⊃ MATROIDS.

참고 항목

참조

^ Lee, John M, 위상학 다지관 소개, Springer 2011, ISBN 1-4419-7939-5, p153
^ Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991). Greedoids. Springer-Verlag. p. 9. ISBN 3-540-18190-3.

[Lee-1] Lee, John M, 위상학 다지관 소개, Springer 2011, ISBN 1-4419-7939-5, p153

[2] Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991). Greedoids. Springer-Verlag. p. 9. ISBN 3-540-18190-3.

[1]

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