아디안-라빈 정리

집단 이론의 수학 과목에서, 아디안-라빈 정리는 정밀하게 표현 가능한 집단의 대부분의 "합리적" 성질은 알고리즘적으로 해석할 수 없는 것이라고 기술한 결과물이다.이 정리는 세르게이 아디안(1955)^[1]과 독립적으로 마이클 오 라빈(1958) 때문이다.^[2]

마르코프 속성

정확하게 표시 가능한 그룹의 마르코프 속성 P는 다음 중 하나이다.

P는 추상적인 속성, 즉 P는 집단의 이형성 하에서 보존된다.
속성 P와 함께 $A_{+}$ 정확하게 나타낼 수 있는 $A_{+}$ A $A_{+}$ + ${\$ 가 있다.
정밀하게 표현 가능한 그룹 $A_{-}$ - ${\$ 가 존재하며, 속성 $A_{-}$ P가 있는 미세하게 표현 가능한 그룹에는 하위 그룹으로 포함될 수 없다.

예를 들어 유한집단이 되는 것은 마르코프 속성이다. $A_{+}$ + ${\$ 를 $A_{+}$ 사소한 그룹으로 삼고 $A_{-}$ - ${\$ 를 $A_{-}$ 무한 순환 그룹 Z ${\$ 로 가져갈 수 있다 $\mathbb {Z}$

아디안-라빈 정리 정밀한 진술

현대적 출처에서는 일반적으로 아디안-라빈 정리가 다음과 같이 명시된다.^[3]^[4]^[5]

P를 정확하게 표현 가능한 집단의 마르코프 속성이 되게 하라.그 다음 유한한 $G=\langle X\mid R\rangle$ G = $G=\langle X\mid R\rangle$ $G=\langle X\mid R\rangle$ R $G=\langle X\mid R\rangle$ {\ $displaystyle$ G $=\langle$ X\ $mid$ R $\rangele}$ 이(가) $G=\langle X\mid R\rangle$ 이 프레젠테이션에 의해 정의된 $G$ 그룹 $G$ $G$ 에 속성 P가 있는지 여부를 결정하는 알고리즘은 존재하지 않는다.

여기서 '알고리즘'이라는 단어는 재귀 이론의 의미로 쓰인다.보다 공식적으로, 아디안-라빈 정리의 결론은 모든 유한한 표시의 집합을 의미한다.

\langle x_{1},x_{2},x_{3},\dots \mid R\angle

(여기서 x $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ , $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ , $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ , $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ … $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ 은(는) 셀 수 없이 무한정 고정된 알파벳이며 $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ , $R$ $R$ 은 $R$ (는) 속성 P를 가진 그룹을 정의하는 유한한 관계 집합이 아니다.

역사 노트

아디안-라빈 정리의 성명은 안드레이 마르코프 주니어에 의해 다른 방법으로 증명된 ^[6]세미그룹에 대한 유사한 초기 결과를 일반화한다.마코프가 그룹 이론가들이 정확하게 제시된 그룹의 마르코프 속성을 부르러 왔다는 위의 개념을 도입한 것도 세미그룹 맥락에서였다.소련의 저명한 논리학자인 이 마르코프는 그의 아버지인 유명한 러시아 확률론자 안드레이 마르코프와 혼동해서는 안 되며, 마르코프 과정은 마르코프 체인과 마르코프 과정으로 명명된다.

돈 콜린스에 따르면 위에서 정의한 마르코프 속성 개념은 윌리엄 분에 의해 아디안-라빈 정리에 대한 라빈의 증거를 담은 1958년 라빈의 논문 수학 리뷰에서 소개되었다.^[7]

증거 아이디어

현대적 출처에서는 아디안-라빈 정리의 증명이 합병 제품과 HNN 확장을 교묘하게 사용함으로써 노비코프-보온 정리의 축소에 의해 진행된다.^[3]^[4]

$P$ $P$ 을(를) 마르코프 속성으로 하고 $P$ $A_{+},A_{-}$ + $A_{+},A_{-}$ , $A_{+},A_{-}$ - ${\$ 을(를) 위의 마르코프 속성의 정의와 같이 $A_{+},A_{-}$ 두십시오.Let $G=\langle X\mid R\rangle$ = $G=\langle X\mid R\rangle$ $G=\langle X\mid R\rangle$ $G=\langle X\mid R\rangle$ $G=\langle X\mid R\rangle$ $G=\langle X\mid R\rangle$ ${\displaystyle$ G $=\langle X\mid R\angle }$ 은(는) 불해독 단어 문제가 있는 정밀하게 제시된 그룹이며 $G=\langle X\mid R\rangle$ , 그 존재는 노비코프-보네 정리에 의해 제공된다.

The proof then produces a recursive procedure that, given a word $w$ in the generators $X\cup X^{-1}$ of $G$ , outputs a finitely presented group $G_{w}$ such that if $w=_{G}1$ then ${\displ$ $aystyle G_{w}$ 는 $A_{+}$ + ${\$ 에 이형이며 $A_{+}$ $w\neq _{G}1$ g $w\neq _{G}1$ 1 $w\neq _{G}1$ {\ $displaystyle$ w $\neq_{G1}$ 일 경우 $w\neq _{G}1$ $A_{-}$ w ${\$ 는 A $A_{-}$ - ${\$ 를 하위 $A_{-}$ 그룹으로 포함한다 $G_{w}$ .따라서 $G_{w}$ $G_{w}$ ${\$ 는 $w=_{G}1$ = $w=_{G}1$ 1 $w=_{G}1$ 인 경우에만 $P$ $속성$ P $P$ 을(를) 가지고 $G_{w}$ 있다 $w=_{G}1$ $w=_{G}1$ = $w=_{G}1$ $w=_{G}1$ $w=_{G}1$ 인 경우, $w=_{G}1$ finallow된 $그룹$ 에 속성 $P$ P ${\data$ .

적용들

정밀하게 제시된 집단의 다음과 같은 성질은 마르코프(Markov)이므로 아디안-라빈(Adian-Rabin) 정리에 의해 알고리즘적으로 해석할 수 없는 것이다.

사소한 그룹이 되는 것.
유한 집단이 되는 것.
아벨 그룹으로서.
잘 만들어진 자유 그룹이 되는 것.
순수하게 생성되는 영감 그룹인 것.
잘 표현 가능한 해결 가능한 그룹이 되는 것.
잘 적응할 수 있는 그룹이 되는 것.
말발랄한 그룹이 되는 것.
비틀림 없이 잘 표현되는 그룹이 되는 것.
다순환 그룹으로서.
해결 가능한 단어 문제를 가진 엄밀히 표현 가능한 그룹이 되는 것.
미세하게 표현 가능한 잔류성 유한 집단이 되는 것.
유한한 코호몰로지 차원의 미세한 표현 가능한 집단이 되는 것.
자동 그룹이 되는 것.
미세하게 표현 가능한 단순한 집단이 되는 것. ( $A_{+}$ + $A_{+}$ {\ $displaystyle A_{+}})$ 사소한 $A_{+}$ 집단은 A $A_{-}$ - ${\$ 를 $A_{-}$ , $A_{-}$ 는 노비코프-보네 정리에 의해 제공되는 분해할 수 없는 단어 문제의 정밀한 집단은 A - {\displaystystystyle A_{-}를 취할 수 있다.그렇다면 쿠즈넷소프의 정리는 $A_{-}$ - ${\$ 가 미세하게 표현 가능한 어떤 단순한 그룹에도 내장되어 있지 $A_{-}$ 않다는 것을 암시한다.따라서 정확하게 표현 가능한 단순한 그룹이 되는 것은 마르코프 속성이다.)
유한한 점근차원의 미세한 표현 가능한 집단이 되는 것.
힐베르트의 공간에 유니폼을 끼워넣는 것을 인정하는 아주 훌륭한 그룹이 되는 것.

아디안-라빈 정리는 또한 정밀하게 표현 가능한 그룹의 등급에서 마르코프 특성의 보완이 알고리즘적으로 불측정한 것임을 암시한다는 점에 유의한다.예를 들어, 근사하게 표현할 수 있는 그룹에 대해 비독점적, 무한적, 비아벨리안적 등등의 속성은 불분명하다.그러나 이러한 속성이나 그 보완물이 마르코프일 수 없을 정도로 흥미롭고 불가해한 속성의 예가 존재한다.이리하여 콜린스(1969)는 홉피안이 되는 속성은 홉피안이거나 비홉피안이거나 마코프가 아니라는 것을 증명했다.

참고 항목

참조

^ S. I. Adian, 알고리즘은 그룹의 특정 속성의 인식 문제에 대한 불확실성.(러시아어) 독레이디 아카데미 나우크 SSSR 103, 1955, 페이지 533–535
^ Michael O. Rabin, 집단 이론 문제의 반복 불능성, 수학 연보(2), 제 67권, 1958, 페이지 172–194
^ ^a ^b 로저 린든과 폴 슈프, 콤비네토리얼 집단 이론.1977년 판의 재인쇄.수학의 고전.2001년 베를린 스프링거-베를라크. ISBN 3-540-41158-5; Ch.IV, 정리 4.1, 페이지 192
^ ^a ^b G. 바움슬랙.조합 그룹 이론의 주제.수학 ETH 주리히 강의.1993년 바젤의 비르카유저 베를라크.ISBN 3-7643-2921-1; 정리 5, 페이지 112
^ 조셉 로트먼, 그룹 이론 소개, 수학, 스프링거, 제4판, ISBN 0387942858; 정리 12.32, 페이지 469
^ A. Markov, "Невозможность алгорифмов распознавания некоторых свойств ассоциативных систем" [The impossibility of algorithms for the recognition of certain properties of associative systems].(러시아어로) 독레이디 아카데미 나우크 SSSR 제77권, (1951), 페이지 953–956.
^ ^a ^b Donald J. Collins, Hopf 그룹 인식, Archiv der Matheatik, 1969, 페이지 235–240.

추가 읽기

C. F. Miller, III, 그룹의 의사결정 문제 - 설문 조사와 성찰.조합군 이론(Berkeley, CA, 1989), 페이지 1-59, 수학에서의 알고리즘 및 분류.Sci. Res.inst.Public, 23, Springer, 1992, ISBN 0-387-97685-X

[1] S. I. Adian, 알고리즘은 그룹의 특정 속성의 인식 문제에 대한 불확실성.(러시아어) 독레이디 아카데미 나우크 SSSR 103, 1955, 페이지 533–535

[R-2] Michael O. Rabin, 집단 이론 문제의 반복 불능성, 수학 연보(2), 제 67권, 1958, 페이지 172–194

[LS-3] 로저 린든과 폴 슈프, 콤비네토리얼 집단 이론.1977년 판의 재인쇄.수학의 고전.2001년 베를린 스프링거-베를라크. ISBN 3-540-41158-5; Ch.IV, 정리 4.1, 페이지 192

[B-4] G. 바움슬랙.조합 그룹 이론의 주제.수학 ETH 주리히 강의.1993년 바젤의 비르카유저 베를라크.ISBN 3-7643-2921-1; 정리 5, 페이지 112

[5] 조셉 로트먼, 그룹 이론 소개, 수학, 스프링거, 제4판, ISBN 0387942858; 정리 12.32, 페이지 469

[6] A. Markov, "Невозможность алгорифмов распознавания некоторых свойств ассоциативных систем" [The impossibility of algorithms for the recognition of certain properties of associative systems].(러시아어로) 독레이디 아카데미 나우크 SSSR 제77권, (1951), 페이지 953–956.

[Collins-7] Donald J. Collins, Hopf 그룹 인식, Archiv der Matheatik, 1969, 페이지 235–240.

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