해결 가능한 그룹

수학에서, 더 구체적으로는 집단 이론 분야에서, 해결 가능한 집단이나 수용성 집단은 확장을 이용하여 아벨리아 집단으로부터 구성될 수 있는 집단이다. 마찬가지로, 해결 가능한 그룹은 파생된 시리즈가 사소한 부분군에서 종료되는 그룹이다.

동기

역사적으로 '해결 가능한'이라는 단어는 갈루아 이론과 5중 방정식의 일반적인 불능성의 증거에서 생겨났다. 구체적으로는 다항식(다항식)은 해당 갈루아군이 해결 가능한^[1] 경우에만 급진적으로 해결할 수 있다(이 정리는 특성 0에만 유지됨). 이는 다항식 $f\in F[x]$ f $f\in F[x]$ [ $f\in F[x]$ $f\in F[x]$ $f\in F[x]$ 에 필드 확장 탑이 있음을 $f\in F[x]$ 의미한다.

$F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K$

그런

$F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ where $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$ , so $\alpha _{i}$ is a solution to the equation $x^{m_{i}}-a$ where ${\displaysty$ $F_{i-1} 에요.$
$F_{m}$ $F$ $F_{m}$ ${\$ $displaystyle$ $F_{$ $m}}$ 에 $f(x)$ 분할 필드를 포함함 $F_{m}$

예

예를 들어 $\mathbb {Q}$ 가 포함된 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ 의 가장 작은 Galois 필드 확장

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt{2}}+{\sqrt{3}}}}$

해결 가능한 그룹을 제공하십시오. 연결된 필드 확장명이 있음

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)$

giving a solvable group containing $\mathbb {Z} /5$ (acting on the $e^{2\pi i/5}$ ) and $\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$ (acting on ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ).

정의

그룹 G는 요인 그룹(양적 그룹)이 모두 아벨리안인 하위 정규 계열을 가진 경우, 즉 부분군 1 = G₁ < G₀ < ⋅⋅⋅> < G = G_k = G가 G에서_j−1_j 정상인 경우, G_j /G는_j−1 j = 1, 2, …, k에 대해 아벨리안 그룹이다.

또는 파생된 영상 시리즈인 경우 내림차 정규 영상 시리즈

G\triangleright G^{(1)\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,

여기서 모든 부분군은 이전 부분군의 정류자 부분군이며, 결국 G의 사소한 부분군에 도달한다. H의 모든 그룹 H와 H의 모든 정규 부분군 N에 대해 N이 H의 정류자 부분군을 포함하는 경우에만 H/N이 아벨리안이기 때문에 이 두 정의는 동등하다. G⁽ⁿ⁾ = 1과 같은 최소 n을 해결 가능한 그룹 G의 파생 길이라고 한다.

유한집단의 경우, 해결 가능한 집단은 모든 요인이 프라임 순서의 순환 집단인 구성 계열의 집단이라는 것이 등가의 정의다. 유한집단은 구성 길이가 유한하고, 모든 단순한 아벨 집단은 원시 질서의 순환이기 때문에 이것은 동등하다. 더 요르단-쾰더 정리에서는 하나의 구성 시리즈가 이 속성을 가지고 있다면 모든 구성 시리즈도 이 속성을 가질 것이라고 보장한다. 다항식의 갈루아 그룹의 경우, 이러한 순환 그룹은 일부 분야에 걸쳐 n번째 루트(라디칼)에 해당한다. 등가성이 무한 그룹에 반드시 포함되는 것은 아니다. 예를 들어, 추가되는 정수의 그룹 Z의 모든 비경쟁 부분군은 Z 자체에 이형성이기 때문에 구성 시리즈가 없지만, 유일한 인자 그룹이 Z에 이형성을 갖는 정규 시리즈 {0, Z}은 그것이 사실 해결 가능하다는 것을 증명한다.

예

아벨 집단

해결 가능한 집단의 기본적인 예는 아벨 그룹이다. 그들은 그룹 자체와 사소한 그룹만이 주는 평범한 하위 시리즈이기 때문에 사소한 해결이 가능하다. 그러나 비아벨라주의 단체들은 해결이 가능할 수도 있고 불가능할 수도 있다.

닐포텐트군

더 일반적으로, 모든 영점 집단은 해결 가능하다. 특히 모든 유한 p-group은 영점이기 때문에 유한 p-group은 해결 가능하다.

쿼터니온 그룹

특히 쿼터니온 그룹은 그룹 확장에 의해 주어지는 해결 가능한 그룹이다.

$1\to \mathb {Z} /2\to Q\to \mathb {Z} /2\to 1$

여기서 커널 $\mathbb {Z} /2$ / $\mathbb {Z} /2$ ${\displaystyle \mathb {Z} /$ 2}은 $\mathbb {Z} /2$ $-1$ 는 $)$ - $-1$ ${\displaystyle -1$ }에 의해 생성된 하위 그룹이다 $-1$

그룹 확장자

그룹 확장은 해결 가능한 그룹의 프로토타입적인 예를 형성한다. 즉, $G$ $G$ 및 $G'$ $'$ ${\$ 이(가) 해결 가능한 그룹이면 $G'$ 모든 확장자

$G'\to G'\to 1을 표시하십시오.$

해결 가능한 그룹 $G$ $″$ ${\$ 을 정의한다 $G''$ 실제로 모든 해결 가능한 그룹은 그러한 그룹 확장자로부터 형성될 수 있다.

nilpotent가 아닌 Nonabelian 그룹

해결 가능한 nilpotent 그룹의 작은 예는 대칭 그룹 S이다₃. 실제로 가장 작은 단순 비아벨리안 집단이 A이기₅ 때문에(5도 교대 그룹) 순서가 60 미만인 집단은 모두 해결 가능하다.

유한한 순서의 홀수 그룹

명성 있는 페이트톰슨 정리는 모든 유한한 무질서 집단이 해결 가능하다고 말한다. 특히 이는 유한집단이 단순하면 원시순환이거나 짝수순이라는 것을 암시한다.

비예시

그룹₅ S는 해결할 수 없음 - 구성 시리즈 {E, A₅, S}(및₅ Jordan–)가 있음Hölder 정리에서는 다른 모든 구성 시리즈가 그것과 동등하다고 기술하고 있으며, A는 A와₅ C에₂ 이형성을 부여하며, A는₅ 아벨리안이 아니다. 이 주장을 일반화하면, A가_n n > 4에 대한 S의_n 정상적이고 최대적이며 비아벨적인 단순 부분군이라는 사실과 결합되어 S는_n n > 4에 대해 해결할 수 없다는 것을 알 수 있다. 이것은 매 n > 4마다 급진주의자들이 해결할 수 없는 n의 다항식들이 존재한다는 증거의 핵심 단계다(Abel-Ruffini 정리). 이 속성은 바링턴의 정리 증명에서도 복잡성 이론에 사용된다.

GL₂ 부분군

부분군 고려

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}$ of $GL_{2}(\mathbb {F} )$

$일부$ 필드 $\mathbb {F}$ ${\$ 에 대해 그룹 지수 $B/U$ ${\displaystyle$ B $/U}$ 을(를) $B,$ U $B,U$ 의 임의 요소를 $B,U$ 취합하여 이를 곱하고 이것이 어떤 구조를 제공하는지 파악하면 된다 $B/U$ . 그렇게

${\bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}\cdot {\bmatrix}1&d\0&1\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}a&ad+b\0&c\end{bmatrix}}}}}}}}}}$

Note the determinant condition on $GL_{2}$ implies $ac\neq 0$ , hence $\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B$ is a subgroup (which are the matrices where $b=0$ ). For fixed $a,b$ , the linear equation $ad+b=0$ implies $d=-b/a$ , which is an arbitrary element in $\mathbb {F}$ since $b\in \mathbb {F}$ . Since we can take any matrix in ${\displaystyle B$ ${}$ 을 $B$ (를) 매트릭스로 곱하십시오.

${\bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}$

with $d=-b/a$ , we can get a diagonal matrix in $B$ . This shows the quotient group $B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ .

비고

Notice that this description gives the decomposition of $B$ as $\mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$ where $(a,c)$ acts on $b$ by ${\displaystyle (a,c$ $)(b)=ab}$ . 이것은 ( $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ , c $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ) $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ + $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ) $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ = $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ( $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ , $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ) $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ + $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ( $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ) $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ + ( $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ , $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ) = $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ + $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ ${\$ ab+ $ab'}$ 을 암시한다 $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$ 또한, 형식의 행렬이 있다.

${\bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}$

그룹의 $(b)\times (a,c)$ 요소 $(b)\times (a,c)$ ) $(b)\times (a,c)$ ( $(b)\times (a,c)$ , $(b)\times (a,c)$ ) $(b)\c(a,c)$ 에 해당한다.

보렐 부분군

선형 대수 그룹 $G$ $G$ 의 경우 보렐 $G$ 하위 그룹은 $G$ ${\displaystyle G$ 에서 닫히고 연결되며 해결 가능한 하위 그룹으로 정의되며, 이러한 특성을 가진 최대 가능한 하위 그룹이다(두 번째 두 가지는 위상학적 속성임). 예를 들어 $GL_{n}$ $GL_{n}$ $GL_{n}$ ${\$ 및 S $SL_{n}$ $SL_{n}$ ${\$ 에서 $GL_{n}$ 상위 삼각형 또는 하위 삼각형 행렬의 그룹은 $SL_{n}$ 보렐 하위 그룹 중 두 개다. 위에 제시된 $GL_{2}$ 로는 $B$ $GL_{2}$ L $GL_{2}$ ${\$ 2}}의 $부분군$ B{\ $displaystyle B}$ 이(가) 보렐 하위군이다 $GL_{2}$ .

GL의₃ 보렐 부분군

$GL_{3}$ $GL_{3}$ $GL_{3}$ ${\$ 에 부분군이 있다 $GL_{3}$ .

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$

공지사항 $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ / $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ × F $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ ${\$ ^{\time $}\mathb {F}^{\time }\$ time $\mathb$ {F $}^{\time$ $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$ 이 때문에 보렐 그룹은 형식을 가지고 있다.

$U\rtimes(\mathb {F} ^{\time }\times \mathb {F} ^{\times }}}}}$

단순 선형 대수군 산물의 보렐 부분군

제품군 $GL_{n}\times GL_{m}$ $GL_{n}\times GL_{m}$ $GL_{n}\times GL_{m}$ $GL_{n}\times GL_{m}$ $GL_{n}\times GL_{m}$ $GL_{n}\times GL_{m}$ m ${\$ 에서 $GL_{n}\times GL_{m}$ 보렐 하위군을 형태의 행렬로 나타낼 수 있다.

${\bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}$

여기서 $T$ $T$ 은 $T$ $n\times n$ $×$ $m\times m$ $displaystyle$ n\ $times n$ } 상위 $삼각$ 행렬이고 $n\times n$ S {\ $displaystyle$ S}은 $m$ $m\times m$ m {\ $displaystyle$ m\ $times m}$ 상위 삼각 $m\times m$ 행렬이다 $S$ .

Z-그룹

p-Sylow 하위 그룹이 주기적인 유한 집단은 특히 해결 가능한 두 개의 주기적 집단의 반간접적 생산물이다. 그러한 그룹을 Z-그룹이라고 한다.

OEIS 값

순서가 n인 해결 가능한 그룹의 수는 (n = 0으로 시작)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (sequence A201733 in the OEIS)

해결할 수 없는 그룹의 순서는

60, 120, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1140, 1176, 1260, 1340, 1344, 1380, 1340, 1500, OEIS (시퀀스 A068666)

특성.

용해성은 여러 가지 작업 하에서 종결된다.

G가 해결가능하고 H가 G의 부분군이라면 H가 해결가능하다.^[2]
G가 해결가능하고, G에서 H에 이르는 동형성이 있으면 H가 해결가능하고, 동등하게(첫 번째 이형성 정리), G가 해결가능하고, N이 G의 정상 부분군이라면 G/N이 해결가능하다.^[3]
이전의 속성은 다음과 같은 "2가격을 위한 3" 속성으로 확장할 수 있다: G는 N과 G/N이 모두 해결 가능한 경우에만 해결 가능하다.
특히 G와 H가 해결 가능하다면 직접 제품 G × H가 해결 가능하다.

그룹 확장에 따라 해결 가능성이 닫힘:

H와 G/H가 해결 가능하다면 G도 해결 가능하다. 특히 N과 H가 해결 가능하다면 그들의 반간접 제품도 해결 가능하다.

또한 다음과 같은 화환 제품 하에서 폐쇄된다.

G와 H가 해결 가능하고 X가 G세트라면 X에 대한 G와 H의 화환 제품도 해결할 수 있다.

모든 양의 정수 N의 경우, 대부분의 N에서 파생된 길이의 해결 가능한 그룹은 동형상 이미지, 하위 게브라 및 (직접) 제품의 촬영에 따라 닫히기 때문에 다양한 그룹의 하위 변종을 형성한다. 무한 파생 길이를 가진 일련의 해결 가능한 그룹의 직접적인 생산물은 해결할 수 없으므로, 모든 해결 가능한 그룹의 클래스는 다양하지 않다.

번사이드 정리

번사이드의 정리에서는 G가 p와 q가 소수인 pq의^a^b 유한집단이고, a와 b가 음이 아닌 정수라면 G가 해결 가능하다고 밝히고 있다.

참고 항목

메모들

^ Milne. Field Theory (PDF). p. 45.
^ Rotman(1995), Organization 5.15, 페이지 102, Google Books
^ Rotman(1995), Organization 5.16, 페이지 102, Google Books

참조

Malcev, A. I. (1949), "Generalized nilpotent algebras and their associated groups", Mat. Sbornik, New Series, 25 (67): 347–366, MR 0032644
Rotman, Joseph J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate Texts in Mathematics, 148 (4 ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

외부 링크

[1] Milne. Field Theory (PDF). p. 45.

[2] Rotman(1995), Organization 5.15, 페이지 102, Google Books

[3] Rotman(1995), Organization 5.16, 페이지 102, Google Books

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