물리과학에서 에어리 함수 (또는 제1종류의 에어리 함수 ) 아이(x ) 영국 의 천문학자 조지 비델 에어리 (1801–1892)의 이름을 딴 특수 함수 다. Ai(x ) 와 관련 함수 Bi(x ) 미분 방정식 에 대한 선형 독립 솔루션이다.
d 2 y d x 2 − x y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-xy=0,} 에어리 방정식 또는 스톡스 방정식 으로 알려져 있다.이것은 전환점(솔루션의 특성이 진동에서 지수적으로 변하는 지점)을 가진 가장 단순한 2차 선형 미분 방정식 이다.[citation needed
정의들 x 의 실제 값에 대해 첫 번째 종류의 에어리 함수는 부적절 한 리만 적분 으로 정의할 수 있다.
아이 ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ cas ( t 3 3 + x t ) d t ≡ 1 π 임이 있는 b → ∞ ∫ 0 b cas ( t 3 3 + x t ) d t , {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,} 디리클레의 테스트 에 의해 수렴되는 거야실제 {\displaystyle x } 3 x {\textstyle {\dfrac{t^{3}}{3}+xt} M ∞ ){\displaystystyle [M,\inforty )} 번호 {\ 대체 x t {\textstyle u={\dfrac{t^{3}}{3 }}+xt} .
y Ai(x ) 가 에어리 방정식을 만족함
이 방정식은 두 개의 선형 독립 해법이 있다. 스칼라 곱셈까지, ai(x ) 는 y 0 ∞ 조건의 대상 솔루션이다. 다른 솔루션에 대한 표준 선택은 Bi(x )로 표시된 두 번째 종류의 에어리 기능이다. 진동의 진폭이 Ai(x ) 와 x → π /2
비 ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ [ 생략하다 ( − t 3 3 + x t ) + 죄를 짓다 ( t 3 3 + x t ) ] d t . {\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}
특성. ai(x ) 와 Bi(x ) 의 값과 x 0 에서의 파생상품은 다음과 같다.
아이 ( 0 ) = 1 3 2 3 Γ ( 2 3 ) , 아이 ′ ( 0 ) = − 1 3 1 3 Γ ( 1 3 ) , 비 ( 0 ) = 1 3 1 6 Γ ( 2 3 ) , 비 ′ ( 0 ) = 3 1 6 Γ ( 1 3 ) . {\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{아이}(0)&,{}={\frac{1}{3^{\frac{2}{3}}\Gamma({\tfrac{2}{3}})}},&,\quad\operatorname{아이}'(0)&,{}=-{\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}\Gamma({\tfrac{1}{3}})}},\\\operatorname{비}(0)&,{}={\frac{1}{3^{\frac{1}{6}}\Gamma({\tfrac{2}{3}})}},&,\quad\operatorname{비}'(0)&,{}={\frac{3^.{\frac{1}{6}}}{\Gamma( {\tfrac {1}{3}}}}. \end{정렬}}} 여기서 γ 은 감마 함수 를 나타낸다. 이어 아이(x ) 와 비(x ) 의 룬스키안 이 1/10 이라는 것이다.
x 가 양수일 때 Ai(x ) 는 양수, 볼록 , 0으로 기하급수적으로 감소하는 반면, Bi(x ) 는 양수, 볼록, 기하급수적으로 증가한다.x 가 음수일 때, Ai(x ) 와 Bi(x ) 는 계속 증가하는 주파수와 계속 감소하는 진폭으로 0 주위에 진동한다.이것은 에어리 기능에 대한 아래의 점근성 공식에 의해 지지된다.
에어리 함수는 직교함수로서[1]
∫ − ∞ ∞ 아이 ( t + x ) 아이 ( t + y ) d t = δ ( x − y ) {\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\operatorname {Ai}(t+x)\operatorname {Ai}(t+y)dt=\delta(x-y)} 부적절한 Riemann 적분 사용.
점근성공식 Ai(파란색) 및 사인파/외전증 무증상 형태의 Ai(마젠타) Bi(파란색) 및 사인파/외부 점증적 형태의 Bi(마젠타) 아래에서 설명한 것처럼 에어리 기능은 복잡한 평면으로 확장되어 전체 기능 을 제공할 수 있다. z 가 arg (z ) arg(z ): 이것을 stokes 현상 이라고 한다.arg(z ) π Ai(z )에 대해 다음과 같은 점증식 공식 을 가지고 있다. [2]
아이 ( z ) ∼ e − 2 3 z 3 2 2 π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( n + 5 6 ) Γ ( n + 1 6 ) ( 3 4 ) n 2 π n ! z 3 n / 2 ] . {\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}}) \감마(n+{\frac {1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}}\오른쪽) ^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}\오른쪽]. } 그리고 Bi(z )에도 유사한 것이 있지만, arg(z ) π /3
비 ( z ) ∼ e 2 3 z 3 2 π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ Γ ( n + 5 6 ) Γ ( n + 1 6 ) ( 3 4 ) n 2 π n ! z 3 n / 2 ] . {\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}}) \감마(n+{\frac {1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}}\오른쪽) ^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}\오른쪽]. }
π /3 (z ) Ai( z ) 에 대해 보다 정확한 공식과 Bi(z) 에 대해 동등하게, arg(z ) )/3일 때 Bi (-z ) 에 대해서는 0이 아니라 다음과 같은 공식이다.[2] [3]
아이 ( − z ) ∼ 죄를 짓다 ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 5 6 ) Γ ( 2 n + 1 6 ) ( 3 4 ) 2 n 2 π ( 2 n ) ! z 3 n ] − cas ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 11 6 ) Γ ( 2 n + 7 6 ) ( 3 4 ) 2 n + 1 2 π ( 2 n + 1 ) ! z 3 n + 3 / 2 ] 비 ( − z ) ∼ cas ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 5 6 ) Γ ( 2 n + 1 6 ) ( 3 4 ) 2 n 2 π ( 2 n ) ! z 3 n ] + 죄를 짓다 ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 11 6 ) Γ ( 2 n + 7 6 ) ( 3 4 ) 2 n + 1 2 π ( 2 n + 1 ) ! z 3 n + 3 / 2 ] . {\displaystyle {\begin}\operatorname {Ai}(-z)\sim &}{}{\frac {2}{3}z^{3}{3}}{2}}{\frac {\frac {}}}{4}}\right) }}{{\sqrt{\pi}}\z^{1}{1}}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{\dfrac {(-1)^{n}}\감마(2n+{5}{6}}) \감마(2n+{\frac {1}{1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n}{2n}{2\pi(2n)!z^{3n}}\오른쪽]\ \[6pt]&{}-{\frac {\cos \left\frac {2}{3}z^{3}{3}}{2}}+{\frac {}{4}}\오른쪽) }}{{\sqrt{\pi}}\z^{1}{1}}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{\dfrac {(-1)^{n}}\감마(2n+{\frac{11}{6}}}}}}}} \감마(2n+{\frac {7}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n+1}{2n+1}{2\pi(2n+1)! z^{3n+3/2}}\\오른쪽]\ \[6pt]\operatorname {Bi}(-z)\sim &}{{}{\frac {2}{3}}}z^{3}{3}}}{\frac {}}}{\frac {}}}{4}}\right) }}{{\sqrt{\pi}}\z^{1}{1}}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{\dfrac {(-1)^{n}}\감마(2n+{5}{6}}) \감마(2n+{\frac {1}{1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n}{2n}{2\pi(2n)!z^{3n}}\오른쪽]\ \[6pt]&{}+{\frac {\sin \left\frac {2}}{3}z^{3}{3}}{2}}+{\frac {}}{4}}\오른쪽) }}{{\sqrt{\pi}}\z^{1}{1}}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{\dfrac {(-1)^{n}}\감마(2n+{\frac{11}{6}}}}}}}} \감마(2n+{\frac {7}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n+1}{2n+1}{2\pi(2n+1)! z^{3n+3/2}}:\오른쪽]. \end{정렬}}}
arg(z ) 0일 때, 이는 좋은 근사치지만, Ai(-z ) 또는 Bi(-z ) 와 위의 근사치 사이의 비율이 사인 또는 코사인(cosine)이 0이 될 때마다 무한대로 가기 때문에 무증상 근사치는 아니다.이러한 한계에 대한 점증적 팽창 도 이용할 수 있다. 이것들은 (Abramowitz and Stegun, 1983)와 (Olver, 1974년)에 열거되어 있다.
파생상품인 '아이'(z) 와 '비'(z )에 대해서도 점증적 표현을 얻을 수 있다. 이전과 마찬가지로, arg(z ) when [3]
아이 ′ ( z ) ∼ − z 1 4 e − 2 3 z 3 2 2 π [ ∑ n = 0 ∞ 1 + 6 n 1 − 6 n ( − 1 ) n Γ ( n + 5 6 ) Γ ( n + 1 6 ) ( 3 4 ) n 2 π n ! z 3 n / 2 ] . {\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}}) \감마(n+{\frac {1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}}\오른쪽) ^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}\오른쪽]. }
arg(z ) π /3[3]
비 ′ ( z ) ∼ z 1 4 e 2 3 z 3 2 π [ ∑ n = 0 ∞ 1 + 6 n 1 − 6 n Γ ( n + 5 6 ) Γ ( n + 1 6 ) ( 3 4 ) n 2 π n ! z 3 n / 2 ] . {\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}}) \감마(n+{\frac {1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}}\오른쪽) ^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}\오른쪽]. }
마찬가지 arg () 2π/3 >일 때의 ai(-z ) 와 Bi'(-z ) 의 표현은 다음과[3]
아이 ′ ( − z ) ∼ − z 1 4 cas ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π [ ∑ n = 0 ∞ 1 + 12 n 1 − 12 n ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 5 6 ) Γ ( 2 n + 1 6 ) ( 3 4 ) 2 n 2 π ( 2 n ) ! z 3 n ] − z 1 4 죄를 짓다 ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π [ ∑ n = 0 ∞ 7 + 12 n − 5 − 12 n ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 11 6 ) Γ ( 2 n + 7 6 ) ( 3 4 ) 2 n + 1 2 π ( 2 n + 1 ) ! z 3 n + 3 / 2 ] 비 ′ ( − z ) ∼ z 1 4 죄를 짓다 ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π [ ∑ n = 0 ∞ 1 + 12 n 1 − 12 n ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 5 6 ) Γ ( 2 n + 1 6 ) ( 3 4 ) 2 n 2 π ( 2 n ) ! z 3 n ] − z 1 4 cas ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π [ ∑ n = 0 ∞ 7 + 12 n − 5 − 12 n ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 11 6 ) Γ ( 2 n + 7 6 ) ( 3 4 ) 2 n + 1 2 π ( 2 n + 1 ) ! z 3 n + 3 / 2 ] {\displaystyle{\begin}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &}-{}-{\frac {z^{1}{4}}}}\cos \좌측({\frac {2}{3}}}}}}{2}}+{\frac {\pi}}}}}\오른쪽) }{{\sqrt {\pi }\}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\감마(2n+{5}{6}}) \감마(2n+{\frac {1}{1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n}{2n}{2\pi(2n)!z^{3n}}\오른쪽]\ \[6pt]&{}-{\frac {z^{1}{1}:{4}\sin \left\frac {2}{3}}}z^{3}}{3}}}}}{\frac {}}}{4}}\right) }{{\sqrt {\pi }\}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\감마(2n+{11}{6}}) \감마(2n+{\frac {7}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n+1}{2n+1}{2\pi(2n+1)! z^{3n+3/2}}\\오른쪽]\ \[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &}{{}{\frac {1}{1}{1}}}\sin \좌({\frac {2}{3}z^{3}}}}}{3}}}}}}{4}}\우) }{{\sqrt {\pi }\}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\감마(2n+{5}{6}}) \감마(2n+{\frac {1}{1}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n}{2n}{2\pi(2n)!z^{3n}}\오른쪽]\ \[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{1}:{4}\cos \left\frac {2}{3}}z^{3}}{3}}}}{\frac {}}}{4}}\frac) }{{\sqrt {\pi }\}}\왼쪽[\sum _{n=0}^{\inflt }{7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\감마(2n+{11}{6}}) \감마(2n+{\frac {7}{6})\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{2n+1}{2n+1}{2\pi(2n+1)! z^{3n+3/2}}\\오른쪽]\ \end{정렬}}}
복잡한 인수 우리는 에어리 함수의 정의를 다음과 같이 복잡한 평면으로 확장할 수 있다.
아이 ( z ) = 1 2 π i ∫ C 생략하다 ( t 3 3 − z t ) d t , {\displaystyle \operatorname {Ai}={\frac {1}{2\pi i}\int_{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}}}}{3}}-zt\,}\,dt,} 여기서 적분은 무한대의 지점에서 시작하여 무한대의 지점에서 시작하며 -1998/3 인수로 끝나는 경로 C 위 에 있다. 또는 미분방정식 y ′′ xy 0 을 사용하여 복잡한 평면의 전체 함수 로 Ai(x ) 와 Bi(x ) 를 확장할 수 있다.
ai(x )에 대한 점증식 공식은 x 의2/3 주값을 취하여 x가 음의 실제 축으로부터 멀리 떨어져 있으면 복잡한 평면에서 여전히 유효하다. Bi(x )의 공식은 유효하다. x 는 일부 양의 Δ에 대해 {x ∈ C arg(x ) < ( (/3 ) - Δ} 섹터에 있다. 마지막으로 ai(-x )와 Bi(-x ) 의 공식은 x {x x arg(x ) <(2 (/3) - Δ} 섹터에 있으면 유효하다.
그것은 Ai(x )와 Bi(x ) 모두 음의 실제 축에 0의 무한성을 갖는 에어리 함수의 점증거동으로부터 나타난다. Ai(x )함수는 복합평면에 다른 0이 없는 반면, Bi (x)함수는 또한 {z :C 3/3 < arg ( π /2}
플롯 ℜ [ 아이 ( x + i y ) ] {\displaystyle \re \left[\operatorname {Ai}(x+iy)\right]} ℑ [ 아이 ( x + i y ) ] {\displaystyle \Im \left[\operatorname {Ai}(x+iy)\right]} 아이 ( x + i y ) {\displaystyle \operatorname {Ai}(x+iy) \,} 아그 [ 아이 ( x + i y ) ] {\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai}(x+iy)\right]\,}
ℜ [ 비 ( x + i y ) ] {\displaystyle \re \left[\operatorname {Bi}(x+iy)\right]} ℑ [ 비 ( x + i y ) ] {\displaystyle \Im \left[\operatorname {Bi}(x+iy)\right]} 비 ( x + i y ) {\displaystyle \operatorname {Bi}(x+iy) \,} 아그 [ 비 ( x + i y ) ] {\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi}(x+iy)\right]\,}
기타 특수 기능과의 관계 양의 인수의 경우 에어리 함수는 수정된 베셀 함수 와 관련이 있다.
아이 ( x ) = 1 π x 3 K 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) , 비 ( x ) = x 3 ( I 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) + I − 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+ I_{-{\frac {1}{3}}\좌측({\tfrac {2}{3}x^{3}{3}{3}{2}}\우측)\우측)). \end{정렬}}} 여기 ±1/3 , 나와 1/3 x 2 y ″ + x y ′ − ( x 2 + 1 9 ) y = 0. {\displaystyle x^{2}y'+xy'-\왼쪽(x^{2}+{\tfrac {1}{9}\오른쪽)y=0. }
에어리 함수의 첫 번째 파생 모델은
A i ′ ( x ) = − x π 3 K 2 3 ( 2 3 x 3 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Ai'}(x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt{3}}}\,K_{\frac {2}}{3}}\좌({\tfrac {2}}{3}{3}}2}}\우). }
함수 K 와1/3 K 는2/3 빠른 수렴 통합의[4] 수정된 Besel 함수 참조).
음수 인수의 경우 에어리 함수는 베셀 함수 와 관련이 있다.
아이 ( − x ) = x 9 ( J 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) + J − 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) ) , 비 ( − x ) = x 3 ( J − 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) − J 1 3 ( 2 3 x 3 2 ) ) . {\displaystyle{\begin}\operatorname {Ai}(-x)&}={\sqrt {\\\frac{9}}}}\좌측(J_{\\prac {1}{1}{3}}}}{3}}}{3}\우측) J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)-J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right). \end{정렬}}} 여기서 J 는±1/3 의 해결책이다. x 2 y ″ + x y ′ + ( x 2 − 1 9 ) y = 0. {\displaystyle x^{2}y'+xy'+\왼쪽(x^{2}-{\tfrac {1}{9}\오른쪽)y=0. }
득점자의 함수 Hi (x)와 -Gi (x)는 y ′′ - xy = 1/4을 해결한다.또한 에어리 함수의 측면에서도 다음과 같이 표현할 수 있다.
GI ( x ) = 비 ( x ) ∫ x ∞ 아이 ( t ) d t + 아이 ( x ) ∫ 0 x 비 ( t ) d t , 안녕 ( x ) = 비 ( x ) ∫ − ∞ x 아이 ( t ) d t − 아이 ( x ) ∫ − ∞ x 비 ( t ) d t . {\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{기}())&,{}=\operatorname{비},{}=\operatorname{비}_{-\infty}^{)}\operatorname{아이}(t)\,dt-\operatorname{아이}())\int _{-\infty}^{)}\operatorname())\int{B_{)}^{\infty}\operatorname{아이}(t)\,dt+\operatorname{아이}())\int _{0}^{)}\operatorname{비}(t)\,dt,\\\operatorname{안녕하세요}())&())\int나는}(t)\, dt.\end{aigned}}
푸리에 변환 에어리 함수 Ai(x )의 정의를 이용하면 푸리에 변환 이 주어지는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.
F ( 아이 ) ( k ) := ∫ − ∞ ∞ 아이 ( x ) e − 2 π i k x d x = e i 3 ( 2 π k ) 3 . {\displaystyle {\mathcal {F}(\operatorname {Ai})(k): =\int _{-\pi k)^{{-\infit }^{\infit }\operatorname {Ai}\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{\frac {i}{3}}}}{3}}}}. }
적용들 양자역학 에어리 함수는 삼각 전위 우물 안 에 갇힌 입자와 1차원 상수력장 입자에 대한 시간 독립 슈뢰딩거 방정식 의 해법이다. 같은 이유로, 위치의 선형 함수에 의해 전위가 국소적으로 근사할 수 있는 경우, 그것은 또한 WKB 근사치의 전환점 근처에 균일한 반전도 근사치를 제공하는 역할을 한다. 삼각형 전위 웰 용액은 반도체 이질 결합에 갇힌 전자의 이해와 직접적으로 관련이 있다.
광학 전기장 프로파일이 에어리 함수에 의해 주어지는 횡단 비대칭 광학 빔은 대칭 빔의 경우와 같이 직선으로 전파되는 대신 최대 강도의 흥미로운 특성이 한쪽으로 가속 된다. 이것은 저강도 꼬리가 반대 방향으로 펼쳐지는 것을 희생하는 것이므로, 빔의 전체적인 모멘텀은 당연히 보존되어 있다.
카우스틱스 에어리 기능은 무지개와 같은 광학 방향 가성체 근처의 강도의 형태에 기초한다. 역사적으로 이것은 에어리가 이 특별한 기능을 개발하도록 이끈 수학적인 문제였다.
역사 에어리 함수는 영국 의 천문학자 겸 물리학자 인 조지 비델 에어리 (1801–1892)의 이름을 따온 것으로, 물리학의 광학 초기 연구(에어리 1838)에서 이를 접했다. 아이(x )라는 표기법은 해롤드 제프리스 에 의해 도입되었다. 에어리는 1835년에 영국 천문학자 로얄 이 되었고 1881년에 은퇴할 때까지 그 자리를 지켰다.
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![{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bcd1d018bad9c90fe2a8575dbb9038f2371ad4)
![{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac0de3f47f959911543e5cbabb8098ae5bb3cc8)
![{\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08bd4d24ec332406e1c1a96d83002b8e3be44ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a8b6907a3908d270c8d98fa305880b40caee7b)
![{\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491607498d24f9877d42607185e408a784e8e51)
![{\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56643de7b1a34d11f96e74847567dfbe63f56c9f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbab547f916956f832ac4325e5ed3266c8f54bd)
![{\displaystyle \Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d14f4ea89c98289bdd7724aa97a65bc37be26c)
![{\displaystyle \Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f188455d8f10f38330bed9927837e68fdbc9df46)
![{\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2722a1be5b008fee5231676bfbecc9a6a15f6da)
![{\displaystyle \Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2dd29c05abcff762111d663f165d7c1055d3de)
![{\displaystyle \Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456ed57b8b06b7da31229c0cb6989b24c2d9b3d8)
![{\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef422f3f85b66c485cf5b87ffa8b57b1b3e254a1)
