부적합 적분

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미적분학.
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미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
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전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
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v t

수학적 분석에서 부적절한 적분은 적분 간격의 끝점이 지정된 실수 또는 양 또는 음의 무한대에 접근하거나, 어떤 경우에는 양쪽 끝점이 모두 한계에 접근하는 경우로서 확실한 적분 한계다. 그러한 적분은 종종 표준 확정 적분과 마찬가지로 상징적으로 쓰여지는데, 어떤 경우에는 통합의 한계로서 무한성을 가지고 있다.

특히 부적절한 적분은 다음과 같은 형태의 제한이다.

${\displaystyle \lim_{b\to \infit }\int_{a}^{b}f(x)\,dx\not \lim_{a\to -\infit \int_{a^{b}f(x)\,dx}$

또는

${\displaystyle \lim_{c\to b^-}{-}\int_{a}^{c}f(x)\x\\dx,\lim_{c\to a^{+}\int_{c}{b}f(x)\dx}$

한 곳 또는 다른 곳(또는 두 곳 모두) 엔드포인트(Apostol 1967, §10.23)에서 한 곳을 제한한다.

표기법을 남용함으로써 부적절한 통합은 표준 확정 통합과 마찬가지로 상징적으로 쓰여지는 경우가 많으며, 아마도 통합의 한계 가운데 무한성이 있을 것이다. 확정 적분(리만 적분 또는 보다 진보된 르베그 적분 중 하나라는 의미에서)이 존재할 때, 적절한 적분과 부적절한 적분 모두 가치가 일치하므로 이 애매성은 해결된다.

함수의 특이점이나 통합의 한 범위가 무한하기 때문에 함수가 일반적인 의미(예를 들어 리만 적분으로)에서 통합할 수 없는 경우에도 부적절한 통합에 대한 값을 계산할 수 있는 경우가 많다.

예

리만 적분(Riemann 적분)의 원래 정의는 [1, ∞] 간격의 1 /${\displaystyle x{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$와 같은 함수에는 적용되지 않는다. 그러나 리만 적분은 종종 연속성에 의해 확장될 수 있는데, 그 대신에 부적절한 적분을 한계로 정의함으로써 말이다.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

Riemann 적분의 $좁은\sqrt{}$ 정의도 [0, 1] 간격의 $함수$ 1 / x {\$textstyle 1/{\$sqrt${x}}$을 포함하지 않는다. 여기서 문제는 통합이 통합의 영역(정의는 통합의 영역과 통합의 영역 둘 다 경계를 필요로 한다)에서 결합되지 않는다는 것이다. 그러나 한도로 이해되면 부적절한 적분이 존재한다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

때때로 통합은 부적절한 두 가지 특이점을 가질 수 있다. 예를 들어 0에서 to(오른쪽 표시)까지 통합된 함수 1/(x + 1) 1x)를 생각해 보십시오. 하한에서는 x가 0이 되면 함수가 ∞으로 가고, 함수가 0이 되기는 하지만 상한은 그 자체 ∞이다. 그러므로 이것은 이중으로 부적절한 일체형이다. 통합형, 말하자면 1부터 3까지 보통 리만 합계는 π/6의 결과를 산출하기에 충분하다. 1부터 ∞까지 통합하기 위해서는 리만 합이 불가능하다. 그러나 t(t > 1)라고 하는 유한한 상한이 2 arctan(tt) - 2/2라는 잘 정의된 결과를 제공한다. 이것은 t가 무한대로 갈 때 유한한 한계, 즉 π/2를 가진다. 마찬가지로 1/3부터 1까지의 적분 또한 리만 합을 허용하며, 공교롭게도 다시 π/6을 생산한다. 임의의 양의 값 s로 1/3을 대체하는 것(s < 1)도 마찬가지로 안전하며, //2 - 아크탄(an)을 준다. 이것 역시 s가 0으로 갈 때 유한한 한계, 즉 π/2가 된다. 두 조각의 한계를 합치면, 이 부적절한 적분의 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _{0}^{\infty}{\frac{dx}{(1+x){\sqrt{)}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac{dx}{(1+x){\sqrt{)}}}}+\lim _{\inftyt\to}\int _{1}^{t}{\frac{dx}{(1+x){\sqrt{)}}}}\\&,{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac{\pi}{2}}-2\arctan{\sqrt{s}}\right)+\lim _{\inftyt\to}\left(2\arctan{\sqrt{t}}-{\frac{\p.나는}{2}})오른쪽)\\\&}={\frac {\pi }{2}}+\왼쪽(\pi -{\frac {}{2}}\오른쪽)\\&{}=\pi.\end{정렬}}}$

이 과정은 성공을 보장하지 않는다; 한계는 존재하지 않을 수도 있고, 무한할 수도 있다. 예를 들어, 0에서 1까지의 경계 구간에서 1/x의 적분은 수렴되지 않으며, 1에서 to까지의 무한 구간에서는 1/4x의 적분은 수렴되지 않는다.

또한 내부 지점 근처에서 통합이 제한되지 않는 경우가 발생할 수 있으며, 이 경우 통합은 해당 지점에서 분리되어야 한다. 전체로서 일체형이 수렴하기 위해서는 양쪽의 한계적 통합이 존재해야 하며 경계해야 한다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0}\int _{-1}^{-s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{정렬}}}$

하지만 비슷한 적분은

${\displaystyle \int_{-1}^{1}{1}{\frac {dx}{x}}}}$

0의 위와 아래의 통합은 독립적으로 수렴되지 않기 때문에 이러한 방식으로 값을 할당할 수 없다. (단, Cauchy principal value 참조)

적분 수렴

정의한 한도가 존재할 경우 부적절한 적분은 수렴된다. 예를 들어, 부적절한 적분은

${\displaystyle \lim _{t\to \int_{a}^{t(x)\dx}$

한계 아래의 통합이 모든 충분히 큰 t에 대해 존재하며, 한계값이 L과 같다면 L과 같다.

또한 부적절한 적분이 무한대로 분산되는 것도 가능하다. 이 경우 ∞(또는 -∞)의 값을 적분(integrity)에 할당할 수 있다. 예를 들어.

${\displaystyle \lim_{b\to \flt }\int_{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\flt .}$

그러나 다른 부적절한 통합은 단순히 다음과 같은 특정한 방향으로 갈리지 않을 수 있다.

${\displaystyle \lim _{b\to \int_{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

실수의 연장선상으로도 존재하지 않는 것. 이것은 진동으로 인한 발산이라고 불린다.

부적절한 통합 기법의 한계는 한 번에 한 엔드포인트에 대해 한도를 적용해야 한다는 것이다. 따라서 예를 들어, 양식의 부적절한 적분

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\inf(x)\,dx}$

두 가지 한계를 가지고 정의될 수 있다; 재치 있게.

${\displaystyle \int _{b}f(x)\,dx=\lim _{a\to -\\ft }\lim _{b\to \inft \int_{a}^{b}f(x)\,dx}$

이중 한계가 유한할 경우. 또한 그것은 첫 번째 종류의 구별되는 부적절한 통합의 한 쌍으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \lim_{a\to -\infit }\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\lim_{b\to \inft_{c^{b}f(x)\,dx}$

여기서 c는 통합을 시작하는 편리한 지점이다. 이 정의는 또한 이러한 통합 중 하나가 무한할 때 또는 두 통합이 동일한 기호를 가진 경우 모두 적용된다.

An example of an improper integral where both endpoints are infinite is the Gaussian integral ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$. An example which evaluates to infinity is ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$. But one 이중 한계는 무한하고 이중 한계는 2중법이기 때문에 $\int {}_{}^{}$ -${}_{\mathrm{}}^{}$ $d$ x d x$$\\$textstyle \int$_{-\$infit$}^{\$infit }$x\,$dx}$과 같은 이러한 종류의 다른 통합도 명확하게 정의할 수 없다$.$

${\displaystyle \lim _{a\to -\infit }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b}^{b}x\,dx}$

$그러나$이 경우 Cauchy 기본 가치의 관점에서 부적절한 적분을 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle \p.v.} \int _{-\infit }^{\infit }x\,dx=\lim _{b}^{b}x\,dx=0.}$

부적절한 적분을 결정할 때 반드시 다루어야 할 질문은 다음과 같다.

• 한도가 존재하는가?
• 한도를 계산할 수 있는가?

첫 번째 문제는 수학적 분석의 문제다. 두 번째 방법은 미적분학 기법으로 다룰 수 있지만, 어떤 경우에는 등고선 통합, 푸리에 변환 및 기타 더 진보된 방법을 통해서도 다룰 수 있다.

통합 유형

통합의 이론은 하나 이상 있다. 미적분학의 관점에서 볼 때 리만 적분 이론은 보통 기본 이론으로 가정된다. 부적절한 통합을 사용하는 경우, 어떤 통합 이론이 실행 중인지에 문제가 될 수 있다.

• 리만 적분(또는 그에 상당하는 다르부 적분)의 경우, 한없는 간격(한 구간을 한정된 길이의 하위 구간으로 미세하게 나눌 수 없기 때문에)과 유한 적분을 가진 한적함수(위쪽이 한적하다고 가정할 때, 상부 적분 b) 모두에 대해 부적절한 통합이 필요하다.e 무한하지만 하위 적분은 유한하다).
• The Lebesgue integral deals differently with unbounded domains and unbounded functions, so that often an integral which only exists as an improper Riemann integral will exist as a (proper) Lebesgue integral, such as ${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$. On the other hand, there are also integrals that have an improper Riemann integral but do not have a (proper) Lebesgue integral, such as ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$. The Lebesgue theory does not see this as a deficiency: from the point of view of measure theory, ${\textstyle \$$int _{0}^{\inflt }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\inflt -\inflt$}}은$$(는) 만족스럽게 정의할 수 없다. 그러나 어떤 상황에서는 예를 들어, Cauchy 기본값을 정의할 때, 부적절한 Lebesgue 통합을 그대로 사용하는 것이 편리할 수 있다. 르베그 적분은 푸리에 변환의 이론적 처리에 다소 필수적이며, 전체 실제 라인에서 적분 사용이 보편화된다.
• Henstock-Kurzweil 일체형에는 부적절한 통합이 필요하지 않으며, 이는 모든 르베그 통합 기능과 부적절한 리만 통합 기능을 포괄하는 이론의 강점으로 보인다.

부적절한 리만 통합 및 르베그 통합

어떤 경우에는 적분자가

${\displaystyle \int _{a}^{c(x)\dx}$

한도를 참조하지 않고 적분(예: Lebesgue 적분)으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \lim_{b\to c^{-}\int_{a}^{b}f(x)\,dx}$

그러나 다른 방법으로는 편리하게 계산할 수 없다. 이러한 현상은 a에서 c까지 통합되는 함수 f가 c에 수직 점근증상 또는 c = ∞일 때 자주 발생한다(그림 1과 2 참조). 이러한 경우 부적절한 리만 적분은 함수의 르베그 적분을 계산할 수 있다. 구체적으로는 다음과 같은 정리(Apostol 1974년, 정리 10.33)가 유지된다.

• 함수 f가 모든 b ≥ a와 부분적 통합에 대해 [a,b]에서 Riemann 통합 가능한 경우

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x) \,dx}$

b → ∞으로 한정되어 있고, 그 다음에 부적절한 리만 통합으로 되어 있다.

${\displaystyle \int _{a}^{\infit }f(x)\,dx,\box{\nt{a}^{\int _{a}}{\infit \f(x) \dx}$

둘 다 존재한다. 더욱이 f는 [a, ∞]에서 르베그 통합이 가능하며, 르베그 적분은 부적절한 리만 적분과 동일하다.

예를 들면, 적분(integrated)

${\displaystyle \int _{0}^{\inflt }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}}$

대안으로 부적절한 적분으로 해석될 수 있다.

${\displaystyle \lim_{b\to \inflt }\int_{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}}}}=\lim _{b\to \inflt }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

또는 대신에 세트(0, ∞) 위에 있는 르베그 적분으로 해석될 수 있다. 이 두 종류의 적분은 모두 동의하기 때문에, 궁극적으로는 르베그 적분으로 간주하고 싶어도 적분의 가치를 계산하는 첫 번째 방법을 자유롭게 선택할 수 있다. 따라서 부적절한 통합은 통합의 실제 가치를 얻는 데 분명히 유용한 도구다.

그러나 다른 경우 f의 양의 부분과 음의 부분의 통합은 모두 무한하지만 부적절한 리만 적분은 여전히 존재할 수 있기 때문에 유한한 엔드포인트 사이의 르베그 적분은 정의되지 않을 수도 있다. 그러한 경우들은 "적당히 부적절한" 통합이다. 즉, 그러한 한계를 제외하고 그 가치를 정의할 수 없다. 예를 들어,

${\displaystyle \int_{0}^{\inflac {\sin(x)}{x}}{x}\,dx}$

때문에 르베그 적분으로 해석할 수 없다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\flack {\sin(x)}{x}}\오른쪽 \dx=\flast .}$

그러나 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$) x ${\$은(는) 두 개의 유한 끝점 사이에 통합할 수 있으며$$, 일반적으로 0과 between 사이의 적분은 다음과 같은 적분 한계로 이해된다.

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{\frac {\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\to \flt }\to \flot \py}{0}}{b}{\frac {\x}}},x={\frac {\pi}}}}}}.}$

특이점

어떤 사람은 부적절한 적분들의 특이점을 말할 수 있는데, 이는 한도가 사용되는 확장된 실수 선의 그러한 점들을 의미한다.

카우치 원금

두 가지 한계값의 차이를 고려하십시오.

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\왼쪽(\int _{-1}^{-a}{dx}}+\int _{a}^{a}^{1}{dx}}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\왼쪽(\int _{-1}^{-a}{dx}}+\int _{2a}^{1}{dx}}\right)=-\ln 2.}$

전자는 다르게 정의되지 않은 표현식의 카우치(Cauchy)의 주된 가치다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{}\}\좌측값\mbox{which}}\{\mbox}\{which}\\\\nfloth +\flothy \right)}$

마찬가지로, 우리는

${\displaystyle \lim _{a\to \int_{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}=0,}$

그렇지만

${\displaystyle \lim _{a\to \inflt }\{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}=-\ln 4.}$

전자는 달리 정의되지 않은 표현식의 주된 가치다.

${\displaystyle \int_{-\infit _{-\inflit }{2x\,dx}{x^{2}+1}:{\}\{{}\좌석\mbox\mbox{with}}}\ -\nflott +\infit \right.}$

위의 모든 한계는 불확실한 형태인 ∞ - ∞의 경우다.

이러한 병리학은 "Lebesgue-integrated" 함수, 즉 절대값이 유한한 통합 함수에는 영향을 미치지 않는다.

만족도

부적절한 적분은 그것을 정의하는 한계가 존재하지 않을 수 있다는 점에서 갈라질 수 있다. 이 경우, 부적절한 적분에 대한 수렴 값을 생성할 수 있는 한계에 대한 보다 정교한 정의가 존재한다. 이를 종합법이라고 한다.

푸리에 분석에서 인기 있는 한 가지 만족도 방법은 체사로 요약이다. 적분

${\displaystyle \int _{0}^{\\inf(x)\,dx}$

다음과 같은 경우 Cesaro를 합칠 수 있는가(C, α)

${\displaystyle \lim \to \inflt }\int _{0}^{\frac {x}{\flac {}}}}}\좌측(1-{\\frac{\f(x)}}}}^{\f(x)\dx}$

존재하며 유한하다(Titchmarsh 1948, §1.15). 이 한계의 값은, 존재한다면, 적분의 (C, α) 합이다.

적분(C, 0)은 부적절한 적분으로 존재하는 경우 정확하게 합산할 수 있다. 단, (C, α) 0에 합계가 되는 통합(Riemann 또는 Lebesgue의 의미에서)으로서 부적절한 통합으로 수렴하지 못하는 통합(C, α)이 있다. 한 예가 필수적이다.

${\displaystyle \int _{0}^{\npty }\sin x\,dx}$

부적절한 적분으로 존재하지 않지만 (C,α) 모든 α > 0에 대해 합계가 된다. 이것은 그랜디 시리즈의 필수 버전이다.

다변량 부적절한 통합

부적절한 적분은 여러 변수의 함수에 대해서도 정의할 수 있다. ${\displaystyle {}^{}}$는 R$$2 {\$displaystyle \mathb$ {$R} ^2$ 또는 $f{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{로그}}$log${\displaystyle (x{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2$)=\$와 같이 한없는 도메인에 대해 통합을 요구하는지 여부에 따라 약간 다르다.

임의 도메인에 대한 부적절한 통합

를 사용하는 리만 형태[−는]n{\displaystyle[-a,a]^{n}의 모든 소형차 큐브에}가적분의 경우 f:Rn→ R{\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}}은non-negative 기능,;0{\displaystyle a>0}, 다음은 부적절한 f의 Rn{\displaystyle \mathbb{R}에 적분.^{n}}$$ 한계로 정의된다.

${\displaystyle \lim_{a\to \infit }\int_{[-a,a]^{n}f,}$

그것이 존재한다면.

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 임의 도메인 A의 함수가 다음 A: 0으로 확장되어$$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$의 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\$

${\displaystyle {\tilde{f}(x)={\begin}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{case}}}}$

그런 다음 경계 영역 A에 대한 함수의 Riemann 적분은 A를 포함하는 큐브${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$[-$a,a]^{n}}$에 대한 확장 $함수{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 적분으로 정의된다.

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{-a,a]^{n}{\tilde {f}.}$

보다 일반적으로 A가 바인딩되지 않은 경우 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 임의 도메인에 대한 부적절한 Riemann 적분은 다음과 같이 제한으로 정의된다$$.

${\displaystyle \int_{A}f=\lim_{a\to \ft}\int_{A\cap [-a,a]^{n}f=\lim_{a\to \inft_{-a,a]^{\tilde}}.}$

특이점이 있는 부적절한 통합

f가 영역 A에서 바인딩되지 않은 비음수 함수인 경우, f의 부적절한 적분은 어떤 컷오프 M에서 f를 잘라내고 결과 함수를 통합한 다음 M이 무한대로 되는 경향이 있는 한계치를 취함으로써 정의된다. 즉, ${\displaystyle M_{}}$> ${\displaystyle M>0}$에 대해$f{\displaystyle {}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 최소}$ {${\displaystyle f,}$M ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle f_{M}=\min\{f,M\}}}$을(를) 설정한 다음 정의하십시오$.$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{M\to \inft}\int _{A}f_{M}}}$

이 한도가 존재한다면.

양의 값과 음의 값을 모두 갖는 함수

이러한 정의는 음성이 아닌 함수에 적용된다. 보다 일반적인 함수 f는 그것의 양의 $부분{\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 최대}${ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle f_{+}=\max\{f,0\}$ 및 음의$$ 부분 $f{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle {}_{}}$최대 {${\displaystyle \mathrm{-f},}$ 0${\displaystyle \}}$ ${\displaystyf_{-}=\-f,0\}$의 차이로 분해될 수 있다$.$

${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$

$f{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ 및$$ $f{\displaystyle {}_{}}$- ${\$ 둘$$ 다 음이 아닌 함수. $f{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ 및$$ $f{\displaystyle {}_{}}$- ${\$ 각각에 Riemann 적분 값이 있는$$ 경우 f 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.}$

이런 의미에서 존재하기 위해서는, 부적절한 적분은 반드시 절대적으로 수렴되기 때문에.

${\displaystyle \int _{A}f =\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.}$^[1][2]

메모들

참고 문헌 목록

• Apostol, T (1974), Mathematical analysis, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1.
• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (2nd ed.), Jon Wiley & Sons.
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerical Methods with Applications (1st ed.), autarkaw.com
• Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd ed.), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (published 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Cooper, Jeffery (2005), Working analysis, Gulf Professional
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), A course in multivariable calculus and analysis, Springer

외부 링크

• 총체적 수치해석연구소의 부적합한 집적화 해소를 위한 수치적 방법