대수 사이클

수학에서 대수적 다양성 V의 대수적 주기는 V의 하위 분리의 공식 선형 결합이다.이것들은 대수적 방법에 의해 직접 접근할 수 있는 V의 대수적 위상의 부분이다.다양성의 대수학적 주기를 이해하는 것은 다양성의 구조에 심오한 통찰력을 줄 수 있다.

가장 사소한 경우는 코다이멘션 제로 사이클이며, 이는 품종의 수정 불가능한 성분의 선형 결합이다.첫 번째 비견례는 부차라고 불리는 부차적인 하나의 부차적인 경우다.대수적 주기에 대한 초기 연구는 특히 대수적 곡선에 대한 구분자의 경우에 초점을 맞췄다.대수 곡선상의 칸막이는 곡선상의 점들의 공식 선형 결합이다.대수곡선에 대한 고전적인 연구는 이러한 것들이 콤팩트한 리만 표면의 일반적 미분들과 같은 내인적 데이터와 관련되었고, 곡선을 투영 공간에 내장시키는 것과 같은 외인적 특성들과 관련이 있었다.

고차원 다양성의 디비저는 그 다양성의 구조를 결정하는데 중요한 역할을 계속하는 반면, 2차원 이상의 다양성에는 또한 고려해야 할 더 높은 코디네이션 사이클이 있다.이러한 사이클의 동작은 디비저의 동작과는 현저하게 다르다.예를 들어, 모든 곡선에는 도 0의 모든 점이 대부분의 N에서 두 개의 유효 도수의 차이에 선형적으로 등가하도록 상수 N이 있다. David Mumford는 양의 기하학적 속성이 있는 매끄러운 완전 복합 대수 표면 S에서 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{CH}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$ $){\displaysty$에 대한 유사 문장이 있음을 증명했다.$\operatorname {CH} ^{2}(S)}$ 코드션의 합리적$$ 동등성 등급 S의 두 $사이클$은 거짓이다.^[1]The hypothesis that the geometric genus is positive essentially means (by the Lefschetz theorem on (1,1)-classes) that the cohomology group ${\displaystyle H^{2}(S)}$ contains transcendental information, and in effect Mumford's theorem implies that, despite ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ hav순수 대수적 정의로 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{2}(S)}$와 초월적 정보를 공유한다. 이후$$뭄포드의 정리는 크게 일반화되었다.^[2]

대수학 사이클의 동작은 현대 수학에서 가장 중요한 공개 문항에 속한다.클레이수학연구소의 밀레니엄상 문제 중 하나인 호지 추측에서는 복잡한 대수적 다양성의 위상이 특정 대수적 주기의 존재를 강요한다고 예측한다.테이트의 추측은 에탈 코호몰로지에도 비슷한 예측을 한다.알렉산더 그로텐디크의 대수 사이클에 대한 표준적인 추측은 그의 범주의 동기를 구성하기에 충분한 사이클을 산출하고 대수적 사이클이 대수적 변종의 어떤 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 한다는 것을 암시할 것이다.반대로, 알렉산더 빌린슨은 동기의 범주의 존재가 표준적인 추측을 내포하고 있다는 것을 증명했다.또한, 사이클은 Bloch의 공식에 의해 대수학 K 이론과 연결된다. Bloch는 사이클 모듈로 이성적 등가성의 그룹을 K 이론의 공동 호몰로지로서 표현한다.

정의

X는 필드 k에 걸쳐 유한한 유형이 되도록 한다.X에 대한 대수적 r 사이클은 공식 선형 조합이다.

${\displaystyle \sum n_{i}[V_{i}]}$

X의 R차원 폐쇄 적분 k-제곱의.계수 n은_i V의_i 다중성이다.모든 r 사이클의 집합은 자유 아벨리아 그룹이다.

${\displaystyle Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z}\cdot [V],}$

합계가 닫힌 적분 X의 V를 상회하는 경우.r을 함께 변화시키기 위한 주기 그룹들이 그룹을 형성한다.

${\displaystyle Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.}$

이것을 대수 사이클의 그룹이라고 하며, 어떤 원소라도 대수 사이클이라고 한다.모든 계수가 음수가 아닌 경우 주기는 효과적이거나 양수적이다.

X의 폐쇄 적분 하위 체계는 지도 아래 X의 계획-이론적 지점과 일대일 일치하며, 한 방향은 각 하위 체크를 그것의 일반 지점으로 가져가고, 다른 방향은 각 점을 지점 폐쇄 시 지원되는 고유한 축소 하위 체크로 가져가는 것이다.결과적으로 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{*}X}$는 X의 지점에 있는 자유 아벨리아 그룹으로 설명될 수도$$ 있다.

A cycle ${\displaystyle \alpha }$ is rationally equivalent to zero, written ${\displaystyle \alpha \sim 0}$, if there are a finite number of ${\displaystyle (r+1)}$-dimensional subvarieties ${\displaystyle W_{i}}$ of ${\displaystyle X}$ and non-zero rational functions ${\displaystyle r_i\in k(W_i}$${\displaystyle r_{i}\in k(W_{i})^{\times }}$ such that ${\displaystyle \alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]}$, where ${\displaystyle \operatorname {div} _{W_{i}}}$ denotes the divisor of a rational function on W_i.합리적으로 0과 동등한 주기는 ${\displaystyle {}_{}}$ $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}{}_{}}$( ${\displaystyle X{}_{}}$) ${\displaystyle {\text{랫드}}_{}{}_{}}$ Z${\displaystyle }$r ( ${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle Z_{r}(X)_{\text{rat}}}\subseteq Z_{r}(X$이고, r-주기 모듈로 이성적 동등성 집단은 몫이다.

${\displaystyle A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.}$

이 그룹은 또한 ${\displaystyle \mathrm{CH}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X$ . 그룹의 요소

${\displaystyle A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)}$

X의 사이클 클래스라고 불린다.사이클 클래스는 유효 사이클로 나타낼 수 있다면 효과적이거나 양적이라고 한다.

X가 매끄럽고 투영적이며 순수한 차원 N인 경우, 위의 그룹은 때때로 다음과 같이 코호몰리학적으로 재색인된다.

${\displaystyle Z^{N-r}X=Z_{r}X}$

그리고

${\displaystyle A^{N-r}X=A_{r}X.}$

${\displaystyle {}^{}}$ 경우 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ X ${\displaystyle A^{*}X}$는 교차로 제품이 주는 곱셈 연산을 하기 때문에 X의 차우 링이라고 불린다$$.

위의 정의에는 몇 가지 변형이 있다.계수가 울리면 다른 반지를 정수로 대체할 수도 있다.합리적인 계수의 사례가 널리 이용되고 있다.베이스에 걸쳐 사이클 패밀리와 함께 작업하거나 산술 상황에서 사이클을 사용하려면 상대 설정이 필요하다.$\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to S}$을(를) 두십시오$.$ 여기서 S는 일반적인 노메테리아식 계략이다.An r-cycle is a formal sum of closed integral subschemes of X whose relative dimension is r; here the relative dimension of ${\displaystyle Y\subseteq X}$ is the transcendence degree of ${\displaystyle k(Y)}$ over ${\displaystyle k({\overline {\phi (Y)}})}$ minus the codimension of ${\displaystyle \stackrel{}{\varphi (}}$$){\$S.

합리적 등가성은 대수적 주기에 대한 몇 가지 다른 등가성 관계로도 대체될 수 있다.기타 등가관계는 위의 모든 모듈로 비틀림뿐만 아니라, 고정 코호몰로지 이론(단수 코호몰로지 또는 에테일 코호몰로지 등)에 대한 대수적 동등성, 동질성, 수적 동등성 등을 포함한다.이러한 등가관계는 동기 이론에 응용된다.

평평한 풀백과 적절한 푸시포워드

대수학 주기 그룹에는 공변량과 역변동적 교호성이 있다.f : X → X'를 품종의 지도가 되게 하라.

f가 어떤 일정한 상대적 차원(즉, 모든 섬유들이 동일한 치수)의 평탄한 경우, 우리는 모든 하위 변수 Y' ⊂ X'에 대해 정의할 수 있다.

${\displaystyle f^{*}([Y']=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

가정으로 Y′과 동일한 코디네이션이 있다.

반대로 f가 적절하다면 Y의 경우 푸시포워드는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

여기서 n은 기능장 확장 정도[k(Y) : k(f(Y)]로 f에 대한 제한이 유한하고, 그렇지 않으면 0이다.

선형성에 의해, 이 정의들은 아벨 그룹의 동형성으로 확장된다.

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X')\to Z^{k}(X')\to Z_{k}(X')\,\!}$

(관습에 의한 후자)는 아벨 집단의 동형상이다.링 구조와 관련된 functoriality에 대한 설명은 Choo ring을 참조하십시오.

참고 항목

• 구분 기호(수직 기하학)
• 상대 사이클

참조

• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Third series. A Series of Modern Surveys in Mathematics, vol. 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
• Gordon, B. Brent; Lewis, James D.; Müller-Stach, Stefan; Saito, Shuji; Yui, Noriko, eds. (2000), The arithmetic and geometry of algebraic cycles: proceedings of the CRM summer school, June 7–19, 1998, Banff, Alberta, Canada, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1954-8